第一节 多元函数 空间直角坐标系 多元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续 小结与思考题

6.1.、空间直角坐标系 6.1.1、空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向符合右手系. 竖轴 定点 纵轴 横轴 空间直角坐标系

Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点

6.1.2、空间两点间的距离

空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为

解 原结论成立.

解 设P点坐标为 所求点为 返回

6.1.3、曲面方程的概念 曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：

以下给出几例常见的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为

解 根据题意有 所求方程为

解 根据题意有 化简得所求方程

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）

旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放

旋转过程中的特征： 如图 将 代入

将 代入 得方程

解 圆锥面方程

例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． 旋转双曲面

旋转椭球面 旋转抛物面

柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 播放 上页 下页 返回

柱面举例 平面 抛物柱面

从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴

四、小结 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).

思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

思考题解答 方程 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 上页 下页 返回

6.2.1、多元函数的概念 1、邻域

2、区域 例如， 即为开集．

连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如，

例如， 有界闭区域； 无界开区域．

3、二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数．

例1 求 的定义域． 解 所求定义域为

（6） 二元函数 的图形 （如下页图）

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 返回

6.2.2、二元函数的极限

说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

例2 求 解

例3 求极限 解 其中

例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．

确定极限不存在的方法： 返回

6.2.3、二元函数的连续性

闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．

多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．

例７ 解 返回

四、小结 多元函数的定义 多元函数极限的概念 （注意趋近方式的任意性） 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质

思考题

6.3 偏导数与全微分 偏导数的概念 高阶偏导数 全微分 全微分在近似计算中的应用 小结与思考题

6.3.1、偏导数的概念

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处

解

证 原结论成立．

解

不存在．

证

有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解

例 5 解

按定义可知：

？ ３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 但函数在该点处并不连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， ？ 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 返回

6.3.2、高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

解

解

问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 解

证毕． 返回

6.4.1、全微分 1、全微分的概念 由一元函数微分学中增量与微分的关系得

全增量的概念

全微分的定义

事实上

2、可微的条件

习惯上，记全微分为 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 叠加原理也适用于二元以上函数的情况．

解 所求全微分

解

解 所求全微分

6.4.2、复合函数微分法

链式法则如图示

解

解

解 令 记 同理有

于是 返回

6.4.3 、全微分在近似计算中的应用 也可写成

解 由公式得 返回

四、小结 1、偏导数的定义 2、偏导数的计算、偏导数的几何意义 纯偏导 3、高阶偏导数 混合偏导 4、多元函数全微分的概念； （偏增量比的极限） 2、偏导数的计算、偏导数的几何意义 纯偏导 3、高阶偏导数 混合偏导 （相等的条件） 4、多元函数全微分的概念； 5、多元函数全微分的求法；

思考题

思考题解答 不能. 例如,

6.5 偏导数的应用 二元函数的极值 条件极值 小结与思考题

6.5.1、二元函数极值 1、二元函数极值的定义

例1 (1) (2) 例２ (3) 例３

2、极值的检验法 证

仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

解

6.5.2、多元函数的最值 求最值的一般方法： 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.

解 如图,

解 由

无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 返回

6.5.3、条件极值 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 ．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极值点．

条件极值：对自变量有附加条件的极值．

解 则

解

可得 即 返回

小结 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法

思考题

思考题解答