复习 1. 区域 区域 连通的开集 邻域 : 2. 多元函数概念 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 n 元函数

3. 多元函数的极限 有 当 时， 4. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续

不同. 与累次极限 注. 二重极限 二次极限（累次极限）与二重极限（重极限） 的存在性之间没有必然的联系。 如果它们都存在, 则三者相等. 若累次极限存在但不相等，则重极限必不存在 （可用于否定重极限的存在性）。

例1 (两个二次极限存在且相等，二重极限不存在） 例2 (两个二次极限存在但不相等，二重极限不存在） 例3 (二重极限存在，但两个二次极限不存在）

第二节 偏 导 数 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数

一、 偏导数定义及其计算法 引例: 就是 中的 x 固定于 x0 处, 将振幅 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度, 求 的一阶导数与二阶导数. 关于 t

称此极限为函数 在点 存在,则 偏导数， 的某邻域内 极限 设函数 点 关于x 的 定义1. 记为 或 注意:

同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称 为偏导数 , 记为

例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为 (请自己写出)

由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。 只要把 x 之外的其他自变量暂时看 时， 成常量，对 x 求导数即可。 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 时 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似。

例1 求 的偏导数． 解: 把 y 看成常量 把 x 看成常量 例2 求 的偏导数． 解 把 y 看成常量 把 x 看成常量

例3. 设 求证 证: 例4. 求 的偏导数 . 解:

例5. 设 求 解

求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求. 有关偏导数的几点说明： 1. 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求.

例6 . 求 在点(1 , 2) 处的偏导数. 解法1 先求后代 解法2 先代后求

求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求. 有关偏导数的几点说明： 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求. 1. 偏导数记号是一个 不能拆分。 整体记号, 2.

求证: (R 为常数) , 例7. 已知理想气体的状态方程 证: 不能看作 分子与分母的商 ! 偏导数记号是一个 此例表明, 整体记号, 说明:

求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求. 有关偏导数的几点说明： 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求. 1. 偏导数记号是一个 不能拆分。 整体记号, 2. 3. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

例8. 设 求 解:

求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求. 有关偏导数的几点说明： 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也可以先代后求. 1. 偏导数记号是一个 不能拆分。 整体记号, 2. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 3. 函数在 函数在某点各偏导数都存在 4. 该点连续.

例如, 显然 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!

例：设 解： 不存在！

思考题 若函数 在点 连续，能否断定 在点 的偏导数必定存在？ 思考题解答 不能. 例如, 在 处连续, 但 不存在.

二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 是曲线 在点M0 处的切线 斜率. 对 y 轴的

二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称他们是 的二阶偏导数. 例如，

按求导顺序不同, 有下列二阶偏导数： 混合导数

例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的 一阶偏导数为 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例9. 设 求 解: 、

相等!

例10. 设 ，求二阶偏导数. 解 相等!

例11. 求函数 的二阶偏导数及 解 : 相等!

问题： 混合偏导数都相等吗？ 的二阶混合偏导数。 例12 解 当 时，

当 时， 按定义可知：

问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 定理. 连续， 则 (证明略) 说明：定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.

例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 说明: 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶 导数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回.

内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在此点连续 函数在一点偏导数存在 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 先代后求 求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)

满足拉普拉斯 方程 例13. 证明函数 证： 利用对称性 , 有

练习 验证函数 满足拉普拉斯方程 解

P130 题 5 求 及 解： 当 时,

P130 题 5(续) 求 及 当 时, 即 时,

P130 题6 求下列函数的一阶和二阶偏导数 解：(1)

P130 题6 求下列函数的一阶和二阶偏导数 (2)

设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 备用题 解:

备用题 解：

作 业 P69. 1(4, 6, 8), 3, 5, 6(3), 7, 8 提交时间：2012年3月5日上午8:00