第八章 多元函数微分学

第八章 多元函数微分学 本章以二元函数为主，对多元函数进行讨论。 重点内容为：偏导数、方向导数及全微分的概念， 第八章 多元函数微分学 本章以二元函数为主，对多元函数进行讨论。 重点内容为：偏导数、方向导数及全微分的概念， 偏导数的几何意义；多元函数（特别是多元复合 函数）的一阶、二阶偏导数的求法；方向导数与 梯度的概念与计算；多元函数的极值（含条件极 值的拉格朗日乘子法）；

第一节 多元函数的基本概念 一、二元函数的概念 1．区域（平面区域） ⑴邻域 ： 圆形邻域： 矩形邻域：

⑵区域： 内 点 开集 开区域 边界点 闭集 闭区域 连通性 ⑶有界区域：对于平面区域 ，存在一个以 为半 径的圆完全包含了区域 ，则称平面 区域 为有界区域。

2．二元函数的定义 定义. 设有变量 ，平面点集 ；当 时，按照一定的法则 ，总有唯一确定的 值与之对应，称 为变量 的函数，即二 元函数，记作： ， ；称 ~~为函数的自变量 ~~为函数的因变量 ~~为函数的定义域 ~~为函数的值域

如函数 ，定义域为： ~~无界的开区域； 函数 的定义域则为： ~~有界的闭区域； 函数 的定义域则为：

注：①二元函数的定义域是平面上的区域，而二元 函数的图像是空间的曲面。如二元函数 的图像是上半球面，定义域的是平面圆域 ②同理可知，三元函数 的定义域是空 间的区域，如三元函数： 的 的定义域： 是空间 的球体；一般自变量为两个或两个以上的函数统 称为多元函数。

二、多元函数的极限 1．极限的定义 定义. 设二元函数 在点 的某 邻域内有定义（ 可以除外）， 是一确 定的常数。若 ， ，当邻域内 的任意一点 ，满足不等式 时，均有 ，称 为函数 当 时的二重极限， 简称为函数的极限，记作

注：①根据定义，极限存在与否与函数 在 点 的状态无关，只与 在点 的周围邻域内的状态有关； ②定义中极限存在，是指 以任何方式趋于 时，函数都无限的接近于 ；即极限值 与 的方式无关，即极限与路径无关； ③但是如果 以不同的方式趋于 时， 函数趋于不同的值，可以断定函数的极限一定不 存在，即如果极限值与路径有关，函数的极限不 存在。

④二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与 一元函数类似，可以借助于一元函数求极限的方 法求一些简单的二元函数的极限。 例1．求极限 解： 例2．求极限 解：

例3．求极限 解： （ ）

例4．说明函数 ，当 时的极限不存在。 解： 的定义域是整个 平面，只要说明 的极限与路径有关即可。 让 沿过 点的直线 （ ）趋向 于 点： 与 有关

表明极限值与路径有关，从而 不存在。 注：当 沿 轴趋于 时， 当 沿 轴趋于 时， 表明特殊路径的极限存在且相等并不能推出二 重极限的存在。

例5．证明极限 不存在。 证：考虑经过 的任一直线 （ 轴除外） 如果 ，则考虑 沿 趋于 ，此时

表明极限与 的取值即与路经有关； 从而证得极限 不存在。 注：二重极限 不能写作 或 后两者称为累次极限（二次极限）。 即二重极限不是二次极限。

对于函数 二次极限存 在并且相等 但是前面讨论已知，二重极限 不存在。

此例表明二次极限与二重极限是两个完全不 同的概念，二者没有必然的联系。但是如果二次 极限与二重极限都存在，可以证明极限值一定相 等。

例6．函数 ，求极限 解： 因为 ，由夹逼准则，

三、二元函数的连续性 1．连续的定义 定义. 设 在包含点 的某邻域内 有定义，若极限 存在且 则称函数 在点 连续； 注：①若 在定义域 内点点连续，则称 在 内连续；

②如果函数 不满足连续的定义，则称点 为函数的间断点。 ③二元连续函数的图像是无缝隙、无孔的空间曲面； ④二元函数的间断“点”可能是孤立的点，也可能是 曲线，如函数 间断点为： 间断“点”的全体实际上是平面上的圆：

⑴所有多元初等函数在其定义区域内都是连续的； 2．多元初等函数的性质 ⑴所有多元初等函数在其定义区域内都是连续的； ⑵有界闭区域上的多元连续函数有最大值和最小 值定理、介值定理。 练习1. 求下列二元函数的极限

解： 令 因为： 所以

因为 ，所以 因为 ， 由夹逼准则

练习2. 讨论函数 在 点是否连续？ 解： ，且 由于 ，由夹逼准则， 所以 在 点连续。

练习3. 证明极限 不存在。 证：取过原点路径 ( )，则 ~~此值与 有关 即上述极限与 的路径有关，从而极限 不存在。 返回 继续

第二节 偏导数 一、偏导数 1．偏导数的定义 定义1. 设 在 的某邻域内有定义， 固定 ，给 以增量 ，称增量 第二节 偏导数 一、偏导数 1．偏导数的定义 定义1. 设 在 的某邻域内有定义， 固定 ，给 以增量 ，称增量 为函数 在 关于 的偏增量， 若极限

存在，称极限值为 在 点关于 的 偏导数，记作 同理，可以定义 在 点关于 的 的偏导数：

注：①由偏导数的定义不难看出，计算偏导数不需 要再引入新的方法，对x求偏导时，只要将y 视为常数即可，故一元函数中的求导法则在 此仍然适用； ②若函数 在区域 内点点偏导数存在， 称 在区域 内可导，并且将偏导函数 记作：

例1．设函数为 ，求 及 。 解： ，所以

例2．设 ，求 。 解：求 时，视 为常数，则 关于 是指数 函数，故： 求 时，视 为常数，则 关于 是幂指函数， 用对数求导法：

例3．设 ，求 、 、 。 解： ，故 ； ，故 ； ，故 ； 注意到： ，表明 、 、 没有独立的意义，即 、 、 是 一个完整的记号，不能拆开使用。

注：若 的偏导数存在，则 为函数关于 的偏微分； 为函数关于 的偏微分； 记作： ， 。

2．偏导数的几何意义 以 在点 的偏导数 为例。 此时总有 。考虑在平面 上的曲线 或

由导数的几何意义，对于函数 ， 表示交线 上点 处相对于 轴方向的切线 的斜率； 同理， 表示在交线 上 处相对于 轴方向的切线的斜率；

例4．求曲线 在点 处的切线对于 轴的倾角。 解： 即 ， 。

3．偏导数与函数连续的关系 在一元函数中，有“可导必然连续”。在多元函数中 偏导数与函数连续之间有什么关系呢？ 例5．已知函数 在 的极限不存在，即在 点不连续。考察 偏导数： ， 。

、 不仅存在而且还相等，但仍然无法 保证函数在 的连续性。表明在多元函数中由偏 导数存在推不出函数的连续。 二、高阶偏导数 设 的两个一阶偏导数 均存在，则它 们仍然是 的函数；对这样的函数定义其偏导数， 即为函数 的二阶偏导数。 二元函数 的二阶偏导数共有四个：

二阶混合偏导数 其中 ……

将二阶偏导数视为函数，再定义偏导数即为三阶偏 导数，二元函数 的三阶偏导数有8个，如 ...... 二元函数 的 阶偏导数共有 个。 对于三元函数 的 阶偏导数有 个...... 定理1. 若二阶混合偏导数 ， 连续，则 即混合偏导数连续时，与求导的顺序无关（此结论 可以推广到 n 阶混合偏导数）。

例6．求函数 的 ， 及 。 解：

例7．设 ，求 解： 所以

第三节 全微分 定义. 设函数 在点 的某邻域内有 定义，给自变量 分别以增量 ，则 称改变量 为函数 在点 的全增量，若 第三节 全微分 定义. 设函数 在点 的某邻域内有 定义，给自变量 分别以增量 ，则 称改变量 为函数 在点 的全增量，若 全增量 可以表示为 其中 与 无关，仅与 有关， 是比 高阶的无穷小， ， 则 称函数 在点 可微， 为 在点 的全微分，记作：

注：①因为 是自变量，故 ， ， 故函数在 的全微分 ②若函数 在区域 内点点可微，则全微 分通常写作：

定理1. 设 在点 可微，则在此点 其偏导数一定存在，且 证： 在点 可微，由定义，对于自变 量的任意增量 ，总有： 特别当 时，有（ ）：

当 时， ，则有 同理可得

注：①二元函数的全微分 是两个 偏微分的叠加，即全微分又可以写作： ~~ 称为叠加原理；同理对于 三元的可微函数 ，其全微分为： ②根据可微的定义 ，则 或 对于多元函数 可微必然连续 或

③由可微的定义： 当 在点 可微时，近似计算公式： 误差 ； ④问题：如果函数在一点偏导数存在，可以写出： 但是不一定等于函数的全微分，因为不能保证 是比 高阶的无穷小。 即由偏导数存在推不出函数可微；

如函数 ，已知 故

定理2. 设函数 在点 的一阶偏导数 存在且一阶偏导数连续，则函数 在点 可微。 几个概念之间的关系： 可微 函数连续 偏导数连续 偏导数存在

例1．设 ，求在点 ，且 ， 时的全微分。 解： 以及 ， 故 返回 继续

第四节 多元复合函数的求导法则 对于非抽象的函数构成的复合函数，可以直接 按照求导公式和法则求其偏导数及其高阶偏导数。 如 ，则 第四节 多元复合函数的求导法则 对于非抽象的函数构成的复合函数，可以直接 按照求导公式和法则求其偏导数及其高阶偏导数。 如 ，则 也可以按照下面的复合函数的求导法则求偏导。

一、复合函数 的偏导数 考虑复合函数 的偏导数 函数 由 复合而成；固定 ，给 以增量 ，相应于函数 有偏增量 、 ；

如果 一阶偏导数连续，则必然可微， 对于其自变量 的增量 ，函数 的全增量为 其中 。从而对于增量 、 ， 函数 的增量可以表示为： 其中

对于复合函数而言，有 ，即： 当 时， 有： 如果函数 ， 一阶偏导存在，则

定理1. 设 ， 在点 的偏导 数存在，而 在相应的 点偏导 数连续，则复合函数 在点 有连续的一阶偏导数，且 或写作 以上复合函数的求导规则称为链导规则。

例1．设 ， ， ，求 。 解： ， ；

例2．设 ， ， ，求 。 解： 注：也可写出 或 再求偏导。

二、全微分的形式不变性 设函数 一阶偏导数连续，则一定可微。 即 ； 又设函数 ， 一阶偏导数连续， 则有： ， ；从而

表明不论是自变量还是中间变量，全微分的形式 都是相同的，此性质称为全微分的形式不变性。

例3．设 ， ， ，用全微分 形式不变性，求 、 。 解： 所以：

三、含抽象函数的复合函数求导法则 1．设函数 ， ， 构成复合函数： ，则 注：①图示法：

②增加一个中间变量，规则中每个公式增加一项； 构成复合函数，则

③增加一个自变量 ，即 构成复合函数： 规则中增加一个公式：

例4．设 ，其中 偏导数连续， 求 。 解：设 ， ， ，则函数结构图为：

2．特殊复合函数的偏导数 ⑴设 的偏导数连续， ， 可导，则复合函数为一元函数： 函数结构图为 ~~全导数 注：如遇一元函数求导则应写导数符号，多元函数 求导则写偏导数符号。

例5．设 ， 一阶偏导数连续，求 。 解：设 ， ， ，则复合关系图：

⑵设 ， ， ，其中 的一阶偏导数连续， 偏导数存在，则复合函 数为： 复合关系图：

注：此例中的 既是中间变量也是自变量，此时 表示复合函数对于作为自变量的 求导； 则表示复合函数对作为中间变量的 求导； 即当 具有 “双重身份” 时， 与 的含义 不同，除此之外， 与 是通用的 。

⑶设 ， 构成复合函数： 其中 一阶导函数连续， 一阶偏导数连续； 复合关系图

例6．设 ， 的一阶偏导数连续，求 解： ， ， 函数关系图为

四、偏导数的简单记号 例7．设 ， 的一阶偏导数连续，求 解：若设 ， ，则

用“1”表示第一个中间变量，“2”表示第二个中间变 量，则复合函数关系图可以写为： 注：约定按照从前向后的顺序，一次用“1”、“2”… 表示中间变量，故可以省去设中间变量的过程。

例8．设 ， 的一阶偏 导数连续，求 。 解：

五、复合函数的高阶偏导数 例9．设 ， 的二阶偏导数连续，求 解：

注：①注意到 、 仍然保持原有的复合关系； ②为了书写简便，在不混淆的情况下，写为： ... ③此处“1”表示第一个中间变量，“2”表示第二个中 间变量，... ④因为 的二阶偏导数连续，故与求导的次序无关， 即 ，...

注：如果函数中含有四则运算，则尽量先处理四 则运算的求导，然后再考虑复合函数求导。 例10．设 ， 二阶偏导数连续，求 解： 注：如果函数中含有四则运算，则尽量先处理四 则运算的求导，然后再考虑复合函数求导。 返回 继续

第五节 隐函数求导公式 在一元函数中，对于隐函数方程如 ，只 需视 为 的函数，方程两边关于 求导，得： 从而求得： 第五节 隐函数求导公式 在一元函数中，对于隐函数方程如 ，只 需视 为 的函数，方程两边关于 求导，得： 从而求得： 利用多元复合函数的求导法则，可以推出隐 函数导数的一般的计算公式。

一、单个方程的情形 定理1. 设 在 的某邻域内一阶偏导 数连续，且 ，则在此邻域内， ；二元函数方程 唯一地确定了一个单值的有连续导数的一 元函数 ，满足 ，且

因为 由方程 所确定，故 从而 ，或 所以： 注： 是指二元函数 的偏导数。

例1．设隐函数方程 ，求 解：设 ，则 求得： ，或

注：①在不混淆的情况下，通常将隐函数的导数 公式写作： ②如果函数 的二阶偏导数连续，可以推出 的计算公式。 记： ，则，

用复合函数的链导规则：

在实际计算时，一般不需使用上面的公式，而是直 接计算，只需要注意到 。 如上例中，已知 ，此时只需要两边 关于 x 求导，而注意到 y 是 x 的函数即可：

定理2. 设函数 在 的某邻域内一 阶偏导数连续，且 ，及 ，则在此邻域内，三元函数 方程 唯一地确定了一个单值的 有连续偏导数的二元函数 ，满足 ，且

例2．设 ，求 解： ，则

例3．设 具有连续的偏导，证明由方程 所确定的函数 满足： 证：记 ，则 从而：

例4．设方程 确定了一个函数 ，F 的一阶偏导数连续，证明： 证：记 ，则 确定了函数 ，从而

二、方程组的情形 如方程组 ，在一定条件下 (P40)， 确定了两个二元函数 与 ； 以下举例说明偏导数 的求法。 例5．设 ，求 。

解：先求 ；方程两端对 x 求偏导，u，v 都 是 x ，y 的函数： ，整理可得 ☆ 用加减消元法，解得： ，即 从而可得 同理可以求得

例6．设 ，其中 是由方程 确定的 函数， 均满足一阶偏导数连 续，证明： 证：因 是由方程 确定的 的函数， 或写作： ， ；

又因为 ，则 ，或 记： ，有

例7．设 ， 是由方程 确定的 的函数，其中 均可微，求 。 解：因为 是由方程 即 确定的 的函数，记 ，则

所以 另外，由 ，以及 是 的函数 ： 返回 继续