弹性地基梁理论

弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁 本讲内容—弹性地基梁理论 概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁 算例

1. 概述 定义： 弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁，等等。 通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。 地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。

1. 荷载种类和组合 弹性地基梁与普通梁的区别： 普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有限个未知力，因此，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。 弹性地基梁是无穷多次超静定结构。超静定次数是无限还是有限，这是它们的一个主要区别。 普通梁的支座通常看作刚性支座，弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。一方面梁给地基以压力，使地基沉陷，反过来，地基给梁以相反的压力，限制梁的位移。而梁的位移与地基的沉陷在每一点又必须彼此相等，才能满足变形连续条件。 地基的变形是考虑还是略去，这是它们的另一个主要区别。

. 2. 弹性地基梁的计算模型 计算模型分类： 局部弹性地基模型 2. 半无限体弹性地基模型 由于地基梁搁置在地基上，梁上作用有荷载，地基梁在荷载作用下与地基一起产生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用反力 ，的大小与地基沉降y 有密切关系，很显然，沉降越大，反力 也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定地基反力与地基沉降之间的关系，或者说如何选取弹性地基的计算模型问题。 . 计算模型分类： 局部弹性地基模型 2. 半无限体弹性地基模型

局部弹性地基模型 （3.1） 1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即 （3.1） 式中,y 为地基的沉陷，m ；k 为地基系数， ，其物理意义为： 使地基产生单位沉陷所需的压强；p为单位面积上的压力强度， 。 这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。当地基表面上某一点受压力p时，由于弹簧是彼此独立的，故只在该点局部产生沉陷y，而在其他地方不产生任何沉陷。因此，这种地基模型称作局部弹性地基模型。

局部弹性地基模型 优点： 缺点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直线分布假设中的缺点。 没有反映地基的变形连续性，当地基表面在某一点承受压力时，实际上不仅在该点局部产生沉陷，而且也在邻近区域产生沉陷。由于没有考虑地基的连续性，故温克尔假设不能全面地反映地基梁的实际情况，特别对于密实厚土层地基和整体岩石地基，将会引起较大的误差。 但是，如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，则地基情况与图中的弹簧模型比较相近，这时将得出比较满意的结果。

2. 半无限体弹性地基模型 优点： 缺点： 本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。 把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。 优点： 一方面反映了地基的连续整体性，另一方面又从几何上、物理上对地基进行了简化，可以把弹性力学中有关半无限弹性体这个古典问题的已知结论作为计算的基础。 缺点： 其中的弹性假设没有反映土体的非弹性性质，均质假设没有反映土体的不均匀性，半无限体的假设没有反映地基的分层特点等。此外，这个模型在数学处理上比较复杂，因而在应用上也受到一定的限制。 本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。

3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其初参数解 基本假设： 除局部弹性地基模型假设外，还需作假设： （1）地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等； （2）由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； （3）地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。

1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 左图所示为局部弹性地基梁上的长为l、宽度b为单位宽度1的等截面直梁，在荷载 及Q作用下，梁和地基的沉陷为 ，梁与地基之间的反力为 。 在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉陷函数 作为基本未知量，地基梁在外荷载 、 Q作用下产生变形，最终处于平衡状态，选取坐标系xoy，外荷载，地基反力，梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。

1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 （3.4） 为建立 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 ，考察该段的平衡有： 得： （3.2） 为建立 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 ，考察该段的平衡有： 得： （3.2） 化简得： 2010-3-25 得： 略去二阶微量得： （3.3） 将上式对于x求导得： （3.4）

1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式 如果梁的挠度已知，则梁任意截面的转角Q，弯矩M，剪力Q可按材料力学中的公式来计算，即: 此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式

2. 对应齐次微分方程的通解 上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分方程，令式中 ，即得对应齐次微分方程： （3.7） 由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为寻找四个线性无关的特解，令 并代入上式有： 或 由复数开方根公式得： （3.8） （3.9） 令 ， 若地基梁宽度为b，则有 是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， 称为换算长度。

2. 对应齐次微分方程的通解 式中B1、B2、B3、及B4均为待定积分常数 由上式（3.8），分别令时k=1,2,3时，即可得四个线性无关的特解，将其进行组合并引入四个积分常数，即得齐次微分方程式（3.7）的通解； （3.10） 利用双曲函数关系： 且令 式中B1、B2、B3、及B4均为待定积分常数 则有 （3.11） 式（3.10）和式（3.11）均为微分方程（3.7）的通解，在不同的问题中，有各自不同的方便之处。

3. 初参数解 （一）初参数法 由式（3.11），再据式（3.5）有 （3.12） 式（3.12）中积分常数B1、B2、B3、B4的确定是一个重要环节，梁在任一截面都有四个参数量，即挠度y、转角 、弯矩M、剪力Q、而初始截面（x=o）的四个参数 、 、 、 就叫做初参数。

3. 初参数解 用初参数法计算了弹性地基梁的基本思路是，把四个积分常数改用四个初参数来表示，这样做的好处是: 使积分常数具有明确的物理意义; 根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。 （二）用初参数表示积分常数 如图3.4所示，梁左端的四个边界条件（初参数）为 （3.13） 将上式代入式（3.12），解出积分常数得：

3. 初参数解 （3.14） 再将式（3.14）代入式（3.12），并注意 ，则有 （3.15）

3. 初参数解 其中 、 、 、 称为双曲线三角函数，它们之间有如下微分关系：

表示原点有单位转角时梁的挠度方程，等等； 3. 初参数解 式（3.15）即为用初参数表示的齐次微分方程的;， 该式的一个显著优点是式中每一项都具有明确的物理意义; 如式（3.15）中的第一式中， 表示当原点有单位挠度（其他三个初参数均为零）时梁的挠度方程， 表示原点有单位转角时梁的挠度方程，等等； 另一个显著优点是，在四个待定常数 、 、 、 中有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，另两个待定初参数由另一端的边界条件来确定。这样就使确定参数的工作得到了简化。表3.1列出了实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值。

3. 初参数解

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 （一）集中荷载作用的特解项 1、集中力作用的特解项。 式（3.7）等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程，式（3.6）等价于地基梁既有初参数作用，又有外荷载作用的挠曲微分方程，其特解项就是仅在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项。下面根据梁上作用的各种形式荷载分别加以讨论。 （一）集中荷载作用的特解项 1、集中力作用的特解项。 如图3.5为一弹性地基梁，O端作用有初参数 、 、 、 ，A点有集中力p。设y1为OA段的挠度表达式，y2为AB段的挠度表达式，由梁上无分布荷载作用，故OA和AB段的挠曲微分方程分别为

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 其中 式（3.16a）的解可用梁端初参数来表示，即 （3.17） 式（3.16b）的解可用初参数作用下的解y1与集中力pi单独作用下引起的附加项叠加，即 将式（3.18）代入式（3.16b），并注意式（3.16a）有 （3.19） 比较式（3.16a）和式（3.16b）知，式（3.19）解的形式与式 （3.17）相同，不同之处是将x换为 ，四个初参数应解释为 处的突变挠度 ，转角 ，弯矩 ，剪力 ，故有 （3.20）

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 由A点的变形连续条件和受力情况有 代入式（3.20）,并据式（3.5）得 （3.21） 当 时，取特解项为零。

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 2、集中力偶mi作用的特解项。 由pi作用下特解项的推导结果可知，挠度附加项形式与初参数Q。作用下的挠度相同，只是坐标起点与符号不同。同理，在集中力偶mi作用下挠度附加项与初参数M。作用下挠度也具有相同的形式，如图3.6所示，Mo=Mi，故有 当 时，取特解项为零。

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 （二）分布荷载作用下的特解项 分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求特解项，为此，在x截面左边，离端点的距离为u处取微段du，微段上荷载为qdu，此微荷载在它右边的截面x处引起的挠度特解项为（如图3.7） 而x截面以左所有荷载引起的特解项为 （3-23） 下面讨论分布荷载的几种特殊情况。

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 1、均布荷载 如图3.7，荷载均布于ab段，对于oa段显然没有附加项，当 时，积分限是 ，由式（3.23）及式（3.5）有 （3.24） 当 时，积分限是（xa、xb），由式（3.23）及式(3.5)有 （3.25）

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 2、三角形分布荷载 当荷载满跨均布时，积分限是（o、x），故有 （3.26） 如图3.8所示，三角形荷载分布于ab段，有 (3.27)

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 当 时，积分限为 ,由式（3.27）及式 （3.5）得 当 时，积分限是 ，同理得 （3.29） 当 时，积分限为 ,由式（3.27）及式 （3.5）得 （3.28） 当 时，积分限是 ，同理得 （3.29）

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 3、梁全跨布满梯形荷载的特解项。 当三角形荷载布满全跨时，积分限是（o、x）有 （3.30） 3、梁全跨布满梯形荷载的特解项。 如图3.9所示的地基梁在梯形荷载作用下的特解项只须把式(3.26)与式（3.30）两式叠加即可。

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 （三）弹性地基梁在 、 、 、 、 、 、、 共同作用下挠曲微分方程的通解 （三）弹性地基梁在 、 、 、 、 、 、、 共同作用下挠曲微分方程的通解 如图3.10所示的弹性地基梁，同时作用有集中力、力偶、均布载、三角载时，综合各种荷载的影响，就可得出挠度的一般公式，进行微分运算后，还可得出转角、弯矩及剪力的一般公式，即

4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解 2008-3-18 张子新代 （3.31） 式（3.31）中，当 ， 时，pi 、mi两项取值为零。

4.弹性地基短梁、长梁及刚性梁 弹性地基梁的分类 上节的结果，能直接用于计算各种几何尺寸及弹性特征值 的弹性地基等截面直梁。在工程实践中，经计算比较及分析表明，可根据不同的换算长度 ，将地基梁进行分类，然后采用不同的方法进行简化。通常将弹性地基梁分为三种类型。 弹性地基梁的分类 短梁（又称有限长梁）（图3.11（a）），当弹性地基梁的换算长度 时，属于短梁，它是弹性地基梁的一般情况。 长梁：无限长梁（图3.11（b））、半无限长梁（图3.11（c））。当换算长度 时，属于长梁；若荷载作用点距梁两端的换算长度均 时，可忽略该荷载对梁端的影响，这类梁称为无限长梁；若荷载作用点仅距梁一端的换算长度 时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响不能忽略，这类梁称为半无限长梁，无限长梁可化为两上半无限长梁。 刚性梁（3.11（b）），当换算长度 时，属于刚性梁。这时，可认为梁是绝对刚性的，即EI→∞或2→0。

长梁、短梁和刚性梁的划分标准主要依据梁的实际长度与梁和地基的相对刚度之乘积，划分的目的是为了简化计算。事实上，长梁和刚性梁均可按上一节介绍的公式进行计算，但长梁、刚性梁与短梁相比有其自身的一些特点，较短梁相比，计算可以进一步简化。

1.长梁的计算 （一）无限长梁作用集中力Pi的计算 式（3.10）可写为 （3.32）

1.长梁的计算 最后可得无限长梁右半部分的挠度、转角、弯矩及剪力： 其中 对于梁的左半部分，只需将式（3.33）中Q和改变符号即可。

（二）无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 如图3.13(a)所示无限长梁，作用集中力偶， 尽管mi作用点并不一定在梁的对称截面上，但只要mi作用点到两端满足 ，则mi作用点，就可看作是梁的对称点，因而可把梁分为两根半无限长梁（图3.13(b)、（c）)。梁对称截面上的反对称条件为

（二）无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 代入式（3.10）得A1=A2=A3=0及 ，最后得无限长梁右半部分的变形及内力为： （3.34） 对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。

（三）半无限长梁作用初参数的计算 故有B1=-B3，B2=-B4 如图（3.14）所示的半无限长梁，梁端作用 有初参数，因 ，故可借助挠曲方程齐次解的结果，为了方便分析，采用式（3.11）的形式： 由 代入上式得 故有B1=-B3，B2=-B4

（三）半无限长梁作用初参数的计算 再由 得 最后得 （3.35） 如梁端作用有初参数 、 ，则可得 、 与 、 之间的关系为

（四）半无限长梁在梯形荷载作用下的计算 如图3.15所示的半无限长梁，作用分布荷载q、△q，挠曲方程为式 （3.7）。容易验证， 是式（3.7）的一个特解，故在梯形分布荷载作用 下半无限长梁任一截面的变形与内力为：

2. 刚性梁的计算 如图3.16所示的则性梁，梁端作用有初参数 和 ，并有梯形分布的荷载作用，显然，地基反力也呈梯形分布，按静定梁的平衡条件，可得刚性梁的变形与内力为： （3.37）

5.算例 [例题3.1]如图3.17所示，两端自由的弹性地基梁，长l=4m，宽b=0.2m，EI=1333×103N．m2，地基的弹性压缩系数K=4.0×104kN/m3,求梁1、2及3截面的弯矩。

解：（1）判断梁的类型 考虑集中载距右端为1m， ，故属短梁。 （2）计算初参数 据式（3.31）中M、Q表达式为

将各数值代入后得 （3）计算各截面的弯矩

[例题3.2]已知弹性地基梁DE，长度l及弹性特征系数 为已知，作用荷载如图3.18所示，如果 ，试求截面的挠度 、转角 、弯矩 及剪力 。

解：（1）由于 ，故为无限长梁。 （2）求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形，然后再叠加得出地基梁总内力和总变形。应当注意，对于集中力作用情况，要分清所求截面是作用点左边，还是右边，如所求截面在作用点左边，则需将所求得的相应项改变符号。 由式（3.33）和式（3.34）得 2010-4-6

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