第四节 函数展开成幂级数 但在许多应用中,遇到的是:给定函数f(x),考虑它是否能 在某个区间内展开成幂级数,即是能否找到这样一个幂 前面我们讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质, 但在许多应用中,遇到的是:给定函数f(x),考虑它是否能 在某个区间内展开成幂级数,即是能否找到这样一个幂 级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找的这样的幂级数,我们就说,函数f(x)在该区间 内能展开成幂级数,或简单地说函数f(x)能展开成幂级数, 而该级数在收敛域内表达了函数f(x).

一 泰 勒 级 数 在第三章中,我们已经学过泰勒公式: 将(1)式右边的Rn(x)不写,换成+....,即按前面的规律 一 泰 勒 级 数 在第三章中,我们已经学过泰勒公式: 将(1)式右边的Rn(x)不写,换成+....,即按前面的规律 继续写下去,就得到一个函数项级数:

称它为函数f(x)在点x0处的泰勒级数,特别地,若x0=0,则 称之为马克劳林级数,即

显然,在(2)中令x-x0=t,则(2)可化为(3)的形式,后面我们将 主要研究麦克劳林级数. 由(2)可见,只要函数f(x)在x=x0处存在一切阶导数,按照泰 勒系数 的规律,写出f(x)的泰勒级数(2)是不困难的.记为

但是,写出的这泰勒级数是否收敛?它的收敛区间是 什么?收敛域是否与f(x)的定义域一致?是否恰好收 敛于f(x)?即S(x)与f(x)是否相等,这就是说,能否把 上式中的“~”换成“=”号,即能否把f(x)展开成它的 泰勒级数?下面的定理回答这些问题.

定理1 设函数f(x)在点x0的领域U(x0)内具有一 切阶导数,则f(x)在U(x0)内能展开成泰勒级数的充分 必要条件是f(x)的泰勒公式余项的极限 定理1的证明可用泰勒中值定理推出.

证明:先证必要性.设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数,即 (4) 对一切x∈ U(x0)成立,我们把f(x)的n阶泰勒公式(1)写成 f(x)=Sn+1(x)+Rn(x) (1’) 其中sn+1是f(x)的泰勒级数(3)的前(n+1)项之和, 因为由(4)式有

所以 这就证明了条件是必要的.

再证明充分性。设 对一切x∈ U(x0)成立,由f(x)的n阶泰勒公式(1‘)有 Sn+1(x) = f(x) - Rn(x) 令n→∞取上式的极限,得 即f(x)的泰勒级数(3)在U(x0)内收敛,并收敛于f(x).因此 条件是充分的。 定理证毕。

在定理1中取x0=0,便是f(x)能展开成麦克劳林级数的定 只须证明系数 即可.

事实上,在幂级数(4)的收敛域(-R,R)内对(4)逐项求 导,得

证明结束

二 函 数 展 开 成 幂 级 数 1, 直接展开法 直接展开法的步骤如下: ①求出f ’(x),f ”(x),...f (n)(x). 和f ’(0),f ”(0),...f (n)(0),(若在 点0处某阶导数不存在,此时f(x)不能展开. ) ②写出幂级数f(0)+ f ’(0)x+f ”(0)x2/2!+...+f (n)(0)xn/n!+... 并求出其收敛半径R.

③考察当x,ξ位于(-R,R)内,且ξ在0,x之间,令n→∞时, 余项Rn(x)的极限,如果 上面求得的幂级数就是函数的展开式.如果极限不为0, 则上面求得的幂级数不是它的幂级数展开式.

例1 将f(x)=ex 展开成幂级数 解:(1)求出各阶导数 (2)写出和的形式 由麦克劳林公式

(3)求出级数的收敛半径 容易知道上述幂级数的收敛半径R=+∞, (利用un+1/un=1/(n+1)→0) 下面证明ex 能展开成幂级数. ex的泰勒公式的拉格朗 日型余项 (4)证明余项为0,满足定理一

根据上述定理1,得到

公式(7)叫做二项展开式.特殊地,当m为正整数时, 级数为x的m次多项式,这就是代数学中的二项式 定理.

公式(7) 对应于m=1/2.m= - 1/2的二项展开式分别为

2.间接展开法 上述直接计算泰勒系数并论证泰勒公式余项Rn(x)→0 (n→∞)的直接展开法比较繁琐;间接展开法是我们经常运 用已有函数的幂级数展开式及它的四则运算或逐项求导, 逐项积分以及变量代换把一些函数展开成幂级数的方法. 由于函数的幂级数展开式是唯一的所以用间接展开法得 到的幂级数和直接展开式得到的幂级数是相同的.由于间 接展开法可以避免研究余项.

例如对(6)式逐项求导,得到 （8）

例2 把f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数 这是几何级数, a0=1,q=(-x) 把上式逐项积分,可得到

当x=1时,右端级数也收敛;又ln(1+x)在x=1时有定义且连续, 义域与函数展开成幂级数的收敛域可能不一致,因此我们 要在展开式后面附上收敛域的限制条件,(5)~(9)式可作公 式使用

例3 将lnx展开成(x - 2)的幂级数. 解: 由-1<t=(x-2)/2≤1,解得0<x≤4,收敛域为(0,4]

这种方法很简单,把已知函数的幂级数展开式进行凑合, 求导,求积分的运算就可得到.已知函数的幂级数展开式 就是下面5个.

(一) 把有理分式展开成幂级数 把有理分式展开成幂级数,应该先把它分解成部分分式, 然后利用 或 的幂级数的展开式,有时需把 部分分式变形.

例4 把函数 展开成x的幂级数

收敛域为(-1,1)∩(-2,2)=(-1,1)

例5 把函数 展开为(x+4)的幂级数, 并求它的收敛区域

(二) 把对数型函数展开成幂级数 把对数型函数展开成幂级数,一般有以下几种方法: ①利用乘积或商的对数性质把对数函数拆开(有时 需分解 因式),再利用ln(1+x)的展开式. ②把函数的导函数展开,然后再积分即得到原函数 的幂级数展开式..

例6 把函数 展开成(x-1)的幂级数

(三) 把三角型函数展开成幂级数 把三角函数展开成幂级数,可利用三角恒等变形与变量 代换等把它化为sinx或Cosx的简单函数,再利用级数展开式:

例7 (1)把 sin3x展开成x的幂级数；(2)把

(四) 把反三角型函数展开成幂级数 把反三角型函数展开成幂级数,一般先把它的 导函数展开成幂级数,再逐项求积分即可得到原 函数的幂级数展开式.

例8 把 展开成x的幂级数

(五) 把简单无理函数展开成幂级数 把简单无理函数展开成幂级数,一般需利用幂级 数展开式

例9 把函数 展开成x的幂级数

(六) 把其他情形的函数展开成幂级数 例10 把函数 展开成x的幂级数