第三章 习题课 中值定理及导数的应用 一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 设函数 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 (定数) 证: 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 (定数) 可见对任意 即得所证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 例2. 设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 少存在一点 使 即有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 例3. 且 试证存在 证: 欲证 即要证 故有 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, ① 故有 ② 将①代入② , 化简得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 设实数 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 试证必存在 (03考研) 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 由介值定理, 至少存在一点 分析: 所给条件可写为 想到找一点 c , 使 由罗尔定理知, 必存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 设函数 在 上二阶可导, 且 证明 证: 由泰勒公式得 两式相减得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 4. 补充定理 (见下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理. 设函数 在 上具有n 阶导数, 且 则当 时 则 证: 令 利用 在 处的 n －1 阶泰勒公式得 因此 时 证: 令 利用 在 处的 n －1 阶泰勒公式得 因此 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 单调增区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 单调减区间为 ; 单调增区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的连续性及导函数 的正负作 f (x) 的示意图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 设函数 的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图 形在区间 上是凹弧; 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 . 提示: 形在区间 上是凹弧; 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8. 证明 在 上单调增加. 证: 令 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得 故当 x > 0 时, 从而 在 上单调增. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9. 设 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 改为 其它不变时, 如何设辅助函数? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例10. 求数列 的最大项 . 用对数求导法得 证: 设 极大值 令 得 列表判别: 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 . 证: 设 极大值 令 得 列表判别: 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 . 又因 中的最大项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例11. 证明 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设辅助 函数更好 ? 提示: 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设辅助 函数更好 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例12. 设 且在 上 存在 , 且单调 有 递减 , 证明对一切 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 . 例12. 设 且在 上 存在 , 且单调 有 递减 , 证明对一切 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例13. 证: 只要证 利用一阶泰勒公式, 得 故原不等式成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例14. 证明当 x > 0 时, 证: 令 则 在 处的二阶泰勒公式 , 得 法1 由 与 1 之间) 故所证不等式成立 . 法1 由 与 1 之间) 故所证不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

法2 列表判别: 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

法3 利用极值第二判别法. 故 也是最小值 , 因此当 时 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例15. 求 解法1 利用中值定理求极限 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解法2 利用泰勒公式 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解法3 利用罗必塔法则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P180 5 ; 7 ; 8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 机动 目录 上页 下页 返回 结束