第3章线性时不变（LTI)连续系统的时域分析 本章内容： §3.1线性时不变连续系统的固有响应与强迫响应 §3.2零输入响应与零状态响应 §3.3卷积积分和冲激响应

第3章 LTI连续时间系统的时域分析 3.1 线性时不变连续系统的固有响应与强迫响应 既具有线性特性又具有时不变特性的系统称为线性时不变 系统，简称LTI系统。 系统分析的步骤： 1、建立系统的数学模型 2、利用数学工具解方程 3、对所得的解赋予物理解释

二、n阶常系数微分方程的求解法—经典时域分析方法 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 一、 LTI连续时间系统的数学描述 单输入-单输出系统的激励为 ，响应为 ，则描述LTI连续时间系统的激励与响应之间关系的数学模型为n阶常系数线性微分方程，即： 式中 和 均为常数， 二、n阶常系数微分方程的求解法—经典时域分析方法 所谓经典时域分析方法就是指借助高等数学中的经典结论，直接对微分方程求解其齐次解和特解的过程。

表3.2-1列出了特征根取不同值时所对应的齐次解，其中 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 则微分方程的完全解可表示为 其中 为方程的齐次解， 为方程的特解。 1、齐次解的求法 齐次解满足齐次方程 齐次解形式如下： 将在求得全解后，由系统初始条件确定， 式中 取决于特征方程 的根 。 表3.2-1列出了特征根取不同值时所对应的齐次解，其中

表3.1-1 不同特征根所对应的齐次解形式（教材P50) 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 表3.1-1 不同特征根所对应的齐次解形式（教材P50) 特征根 λ 齐次解 单实根 r重实根 一对共轭复根 R重共轭复根 其中 、 和 等为待定系数。 2、特解的求法 特解的形式主要取决于激励信号，见表3.1-2

表3.1-2不同激励所对应的特解形式(教材P50) 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 激励 特解 或 备注 B（常数） R重特征根 A 不等于特征根 等于特征单根 R重特征根 所有特征根均不等于零 R重等于零的特征根 特解 或 所有特征根均不等于

经典方法求解LTI连续系统的n 阶常系数线性微分方程的齐次解和特解步骤如下： 2、根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解 的形式。 3、将特解的形式代入 n阶常系数线性微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数。 4、将系统的初始状态代入方程的全解，从而求出齐次解的系数。则系统的响应就是方程的全解，即 。

特解的形式与系统有关，但主要取决于激励信号，常称之为强迫响应(imposed response)。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的函数形式无关，因此，在系统分析中齐次解常称为系统的自由响应 (natural responses) 或固有响应(inherent response)，固有响应的频率称为系统的固有频率(inherent frequency),所以，固有频率就是方程的特征根。 特解的形式与系统有关，但主要取决于激励信号，常称之为强迫响应(imposed response)。

例3.1-1：写出如图3.1-1RLC电路关于 和 的微分方程。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 例3.1-1：写出如图3.1-1RLC电路关于 和 的微分方程。 解: 根据基尔霍夫电压定律和电流定律，先建立方程

第3章 LTI连续时间系统的时域分析 对上面第二、第三两式求导，考虑到： 可得： 根据上二式，整理可得：

系统初始状态为 ，求系统的固有响应和强迫响应。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 例3.1-2：一个连续系统的方程描述如下： 系统初始状态为 ，求系统的固有响应和强迫响应。 解: 根据微分方程的齐次方程 求出解齐次方程的特征根为 故系统的固有频率为 由此可得出齐次解的形式为：

由激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 由激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。 代入微分方程 通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数。 得 微分方程的特解为 则方程的全解

其中，齐次解常称为系统的自由响应，特解的形式主要取决于激励信号，常称之为强迫响应。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 将系统的初始状态 代入方程的全解得： 则系统的响应就是方程的全解，即 其中，齐次解常称为系统的自由响应，特解的形式主要取决于激励信号，常称之为强迫响应。

3.2 零输入响应与零状态响应 根据线性系统的线性性质，一个线性时不变连续系统的完全响应也可分为零输入响应和零状态响应。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 3.2 零输入响应与零状态响应 根据线性系统的线性性质，一个线性时不变连续系统的完全响应也可分为零输入响应和零状态响应。 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应，用 表示；零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号 所引起的响应，用 表示。这样，LTI系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即

零输入、零状态响应方法求解LTI连续系统的 n阶常系数线性微分方程的具体步骤如下： 2、根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。

3、将特解的形式代入n阶常系数线性微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 3、将特解的形式代入n阶常系数线性微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数。 4、将系统的零初始状态代入方程的零状态响应解 从而求出零状态响应中齐次解部分的系数。则系统的响应就是方程的全解，即

系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是： 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是： 零状态响应 自由响应 强迫响应 零输入响应

第3章 LTI连续时间系统的时域分析 两种分解方式有明显的区别。虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但二者的系数各不相同， 仅由系统的初始状态所决定，而Ci要由系统的初始状态和激励信号共同来确定。在初始状态为零时，零输入响应等于零，但在激励信号的作用下，自由响应并不为零。也就是说，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。

系统初始状态为 ，求系统的零输入响应和零状态响应。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 例3.2-1：一个连续系统的方程描述如下： 系统初始状态为 ，求系统的零输入响应和零状态响应。 解: 根据微分方程的齐次方程 求出解齐次方程的特征根为 由此可得出零输入响应的形式为：

代入微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数： 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 将初始值代入，得： 解得零输入响应的系数为 零输入响应的形式为 特解的形式 代入微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数：

则系统的零状态响应解为: 系统的全响应解为： 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 零状态响应解的形式为： 将系统的零初始状态 代入零状态响应解得： 则系统的零状态响应解为: 系统的全响应解为：

例3.2-2已知某LTI系统 的响应是 （1）求系统零输入响应和零状态响应； （2） 若 ，求系统 的零输入响应； （3）求 的零状态响应； 若 ，求系统 的零输入响应； （3）求 的零状态响应； （4）求 的零状态响应。

解：（1）由齐次方程 得齐次方程的特征根为 故可得系统的零输入响应为 零状态响应为 （2） 此时系统零输入响应 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 解：（1）由齐次方程 得齐次方程的特征根为 故可得系统的零输入响应为 零状态响应为 （2） 此时系统零输入响应

（3）由（1）得输入f(t)时系统的零状态响应为: 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 （3）由（1）得输入f(t)时系统的零状态响应为: 故输入f(t-2)时系统的零状态响应为: （4）由（1）得输入f(t)时系统的零状态响应为: 输入 时系统的零状态响应为:

第3章 LTI连续时间系统的时域分析 故输入时系统的零状态响应为:

3.3 卷积积分和冲激响应 3.3.1单位冲激响应和单位阶跃响应 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 3.3 卷积积分和冲激响应 3.3.1单位冲激响应和单位阶跃响应 1.定义： LTI连续系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数 时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。即： 零状态

2、h(t)的求解方法 由于冲激响应h(t) 是 时系统的零状态响应，所以微分方程可改写为: 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 2、h(t)的求解方法 由于冲激响应h(t) 是 时系统的零状态响应，所以微分方程可改写为: 从方程可以看出，等式右边不仅含有冲激函数项，还有其高阶导数项。冲激响应h(t) 具有以下特点： (1) 由于t>0时， 及其各阶导数均为零，此时等式右边恒等于零，这时冲激响应与微分方程的零输入响应有相同的形式；

(2) 冲激响应h(t)的函数形式与 的值的相对大小有直接的关系，即 包含的奇异函数项必须与等式右边的各奇异项相平衡。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析 (2) 冲激响应h(t)的函数形式与 的值的相对大小有直接的关系，即 包含的奇异函数项必须与等式右边的各奇异项相平衡。 因此，在假定特征方程的特征根 均为单根的情况下，则: 当 时， 时，h(t)必须含有 的项； 当n<m时，h(t)还包含冲激函数的导数。

第3章 LTI连续时间系统的时域分析 3、阶跃响应 定义：一个LTI连续系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称单位阶跃响应。就是说，阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，即 冲激响应与阶跃响应的关系：

例3.3-1 已知某系统的微分方程为， 试求其冲激响应 。 解：将 代入原方程，可得 可得， 将 代入上式，整理后可得 所以 第3章 连续时间系统的时域分析 例3.3-1 已知某系统的微分方程为， 试求其冲激响应 。 解：将 代入原方程，可得 可得， 将 代入上式，整理后可得 所以

3.3.2 卷积积分及零状态响应 一、卷积的定义 两个函数 和 的卷积定义为： 二、卷积的计算 1、图解法 第3章 连续时间系统的时域分析 3.3.2 卷积积分及零状态响应 一、卷积的定义 两个函数 和 的卷积定义为： 二、卷积的计算 1、图解法 两个函数 和 的卷积计算步骤如下：

(3) 把反转后的信号做平移，平移量是 ，这里 是一个参变量。在 坐标系中， 表示信号的图形右移， 表示信号的图形左移； 第3章 连续时间系统的时域分析 (1) 改换两信号的横坐标，由 换成 ， 变成函数的自变量； (2) 把其中的一个信号反转； (3) 把反转后的信号做平移，平移量是 ，这里 是一个参变量。在 坐标系中， 表示信号的图形右移， 表示信号的图形左移； (4) 两信号重叠部分的值对应相乘，并求此时的积分；

以纵座标为轴反折，得到函数 ，将 沿正轴平移时间，就得到 第3章 连续时间系统的时域分析 例3.3-2 用图解法计算下列信号的卷积积分 解: 根据 画出其波形图 将函数 的自变量t 换为 ，得到 。然后将 以纵座标为轴反折，得到函数 ，将 沿正轴平移时间，就得到

第3章 连续时间系统的时域分析 (1)在 区间， ，故 由上图可见， (2)在 区间，

第3章 连续时间系统的时域分析 (3)在 区间， (4)在 区间，

第3章 连续时间系统的时域分析 (5)在t>4 区间， 综上所述， 的结果如下：

2、当用定义式计算卷积积分时，正确地选取积分的下限和上限是关键的步骤。可分以下几种情况考虑： 第3章 连续时间系统的时域分析 , 2、当用定义式计算卷积积分时，正确地选取积分的下限和上限是关键的步骤。可分以下几种情况考虑： （1）若 ， 为无时限信号，卷积的结果仍是无时限信号，则上、下限可写为：

（2）若 为无时限信号， 为因信号，卷积的结果仍是无时限信号，则上、下限可写为 第3章 连续时间系统的时域分析 （2）若 为无时限信号， 为因信号，卷积的结果仍是无时限信号，则上、下限可写为 （3）若 ， 均为因果信号，则上、下限可写为

第3章 连续时间系统的时域分析 （4）若 为因果信号， 为反因果信号，则上、下限可写为 具体情况还要具体分析。

例3.3-3 计算下列信号的卷积积分。 （1） （2） （3） 第3章 连续时间系统的时域分析 例3.3-3 计算下列信号的卷积积分。 （1） （2） （3） 解 ： (1) （2）

第3章 连续时间系统的时域分析 （3）

三、 卷积的性质 1、交换律 卷积积分满足交换律，即 上式说明两信号的卷积积分与次序无关。 2、分配律 卷积积分满足分配律，即 第3章 连续时间系统的时域分析 三、 卷积的性质 1、交换律 卷积积分满足交换律，即 上式说明两信号的卷积积分与次序无关。 2、分配律 卷积积分满足分配律，即 3、结合律 卷积积分满足结合律，即

第3章 连续时间系统的时域分析 4、微分特性 两个函数卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的 卷积，即 证明： 同理可以证明

5、积分特性 6、卷积的微积分 第3章 连续时间系统的时域分析 两个函数卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的 卷积，即 证明： 第3章 连续时间系统的时域分析 5、积分特性 两个函数卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的 卷积，即 证明： 同理可以证明 6、卷积的微积分

四、与奇异信号的卷积 1、与冲激函数的卷积 第3章 连续时间系统的时域分析 函数 与单位冲激函数 卷积的结果仍然是函数 本身， 即 。 第3章 连续时间系统的时域分析 四、与奇异信号的卷积 1、与冲激函数的卷积 函数 与单位冲激函数 卷积的结果仍然是函数 本身， 即 。 证明： (3-67) 这个性质在信号与系统课程中有着很重要的用途，并且可以进一步 扩展。 (1) 延时特性

第3章 连续时间系统的时域分析 也可以利用以上的微分性质，可以得出： （2）微分特性

2、与阶跃函数的卷积 第3章 连续时间系统的时域分析 分，即 。 证明：利用卷积的积分性质有 还有 所以 其实它对应着卷积积分中的积分特性。 第3章 连续时间系统的时域分析 2、与阶跃函数的卷积 函数 与阶跃函数 卷积的结果是相当于对函数 进行积 分，即 。 证明：利用卷积的积分性质有 还有 所以 其实它对应着卷积积分中的积分特性。

五、卷积的性质在求解卷积运算中的应用 例3.3-4 求 的解。 例3.3-5 求解图3.1中 ， 函数卷积 的结果。 第3章 连续时间系统的时域分析 五、卷积的性质在求解卷积运算中的应用 例3.3-4 求 的解。 解： 例3.3-5 求解图3.1中 ， 函数卷积 的结果。 图3.1 例3.3-5图

第3章 连续时间系统的时域分析 解：由于 ， 结果的图形如图3.1(c)所示。

六、 系统的卷积分析法 略证： 任一连续信号 可以分解成一系列矩形脉冲之和，把激励分解为许多高度为 ，宽度为 的窄脉冲之和。 第3章 连续时间系统的时域分析 六、 系统的卷积分析法 略证： 任一连续信号 可以分解成一系列矩形脉冲之和，把激励分解为许多高度为 ，宽度为 的窄脉冲之和。 在 的极限情况下， 此时可写为：

第3章 连续时间系统的时域分析 考虑任意激励信号 ，若LTI系统在窄脉冲作用下的零状态响应为 ，则根据线性非时变系统的零状态线性性质和平移不变性，在以上一系列窄脉冲作用下，系统的零状态响应近似为 在 的极限情况下， 则有：

3.3.3 冲激响应表示的系统特性 一、级联系统的冲激响应 第3章 连续时间系统的时域分析 第3章 连续时间系统的时域分析 3.3.3 冲激响应表示的系统特性 由于冲激响应 直接描述了系统的特性，因此对于各类系统及 相互组合的系统，完全可以对各个子冲激响应进行研究后，得出总 的冲激响应 。 一、级联系统的冲激响应 几个系统相互级联，如图3.18所示。假定第一级的冲激响应为 第二级的冲激响应为 ，总的冲激响应为 。 图3.2 级联系统的冲激响应模型

由此得出，对于级联系统，系统总的冲激响应为各自冲激响应的 卷积积分，即 第3章 连续时间系统的时域分析 从图3.2可以得到以下的结论： 由此得出，对于级联系统，系统总的冲激响应为各自冲激响应的 卷积积分，即 式中的 表示各子系统的冲激响应，共有N级级联。

二、并联系统的冲激响应 第3章 连续时间系统的时域分析 第二个的冲激响应为 ，总的冲激响应为 。 图3.3 并联系统的冲激响应模型 第3章 连续时间系统的时域分析 二、并联系统的冲激响应 几个系统相互并联，如图3.3所示。假定第一个的冲激响应为 ， 第二个的冲激响应为 ，总的冲激响应为 。 图3.3 并联系统的冲激响应模型 由图3.3可以得到以下的结论：

第3章 连续时间系统的时域分析 由此得出，对于并联系统，系统总的冲激响应为各自冲激响应 的和，即 式中的 表示各子系统的冲激响应，共有N级并联。

例3.3-6 一线性非时变系统的冲激响应 ，系统的激励为 ，试求系统的零状态响应。 第3章 连续时间系统的时域分析 例3.3-6 一线性非时变系统的冲激响应 ，系统的激励为 ，试求系统的零状态响应。 解： 故系统的零状态响应 其余例题见教材P67 例3.3-10、例3.3-11、例3.3-13

例3.3-7 一个线性非时变电路系统，输出电路电流的初始状态 ，且冲激响应为 ，当系统的激励为 时，试求系统的全响应。 第3章 连续时间系统的时域分析 例3.3-7 一个线性非时变电路系统，输出电路电流的初始状态 ，且冲激响应为 ，当系统的激励为 时，试求系统的全响应。 解；因系统的零输入响应的通解具有冲激响应的形式，故设 将 代入 求出系统的零输入响应为 系统的全响应为

*例3.3-8 图示系统由几个子系统组成，各子系统的冲激响应为 ，试求此系统的冲激响应 。若以 作为激励信号，求系统的零状态响应。 第3章 连续时间系统的时域分析 *例3.3-8 图示系统由几个子系统组成，各子系统的冲激响应为 ，试求此系统的冲激响应 。若以 作为激励信号，求系统的零状态响应。 解： 例3.3-8图 一个系统由几个子系统组成

第3章 连续时间系统的时域分析