第四章 静定结构的位移计算 一 概述 二 虚功原理与结构位移计算的一般公式 三 静定结构在荷载作用下的位移计算 四 静定结构因温度改变时的位移计算 五 静定结构支座移动时的位移计算 六 线性弹性结构的互等定理

一 概 述 结构受荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差和材料收缩及膨胀等外因影响下，其上各点的位置将发生移动；杆件的横截面将发生转动；这些移动与转动称为结构的位移. 通常将线位移、角位移和相对位移统称为广义位移。

钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 计算位移的目的 (1) 刚度要求 如： 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度; 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求

位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), (3) 理想联结 (Ideal Constraint)。 叠加原理适用（principle of superposition)

二 虚功原理与结构位移计算的一般公式 (1) 虚功 这是一种位移与作功的力无关的功，称为虚功。在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，称力所属的状态为力状态，位移所属的状态为位移状态。如用W表示力状态的外力FP在位移状态的相应位移Δ上所作的虚功,有 W = FP·Δ

(2) 虚应变能 变形直杆的外力虚功W为

变形直杆的位移状态如图下各图所示

变形直杆的虚应变能V为

(3) 虚功原理 在变形体系中，若力状态中的力系满足平衡条件，位移状态中的应变能满足变形谐调条件，则外力的虚功等于体系的虚应变能，即 W = V 称为变形体系的虚功方程. 特别地，若体系未变形（即ε.γ.κ均为零），只是由于支座移动或转动而发生刚体位移，则上式退化为 W = 0 这就是刚体体系的虚功方程。

(4) 虚功原理的两种形式 ①虚位移原理: 虚设位移状态，求实际的未知力。一种以体系的实际力状态与虚设的位移状态间的虚功原理形式。 两种状态间的虚功方程为

由此得 根据几何关系，有 于是 可见虚位移原理将一实际力状态的平衡问题，转化为一虚设位移状态的几何问题。

若设Δx=δx=1则 这种沿未知力方向虚设单位位移，用以求未知力的方法，称为虚单位位移法。

②虚力原理: 虚设力状态求实际的未知位移。一种以体系的实际位移状态与虚设的力状态间的虚功原理形式. 两种状态间的虚功方程

由此得 根据平衡关系，有 于是 可见虚力原理将一实际位移状态的几何问题，转化为一虚设力状态的平衡问题。

若令FP = 1 则 故 这种沿未知位移方向虚设单位荷载，用以求未知位移的方法，称为虚单位荷载法。

设图（a）示刚架因外因影响发生虚线所示变形，试求点K沿K-K向的位移分量Δk。 (5) 结构位移计算的一般公式 设图（a）示刚架因外因影响发生虚线所示变形，试求点K沿K-K向的位移分量Δk。 为求Δk, 在点K沿K-K方向虚加单位荷载FPK = 1 ,得如图（b）示虚设力状态. （a） (b)

由变形体系的虚功原理，有如下虚功方程: 或 这就是结构位移计算的一般公式. 以下分别按荷载、温度改变和支座移动单独作用 下,结构的位移计算式。

三 静定结构在荷载作用下的位移计算 1. 基本公式及应用 此时杆的拉伸、剪切和弯曲应变仅由荷载作用引起，分别为: 式中FNP、FQP 、Mp为实际位移状态中的杆件内力， 为虚设力状态中的杆件内力。

对于不同类型的结构，上式还可进一步的简化： a. 对于梁或刚架。通常略去轴向变形和剪切变形，故 b.对于桁架。仅有轴力，且其与截面积和杆长无关，故 c.对于组合结构。同时有以弯曲为主的杆件和受拉压的杆件，故

分别列出两种状态中各杆的内力方程（或画出内力图）. 例 1：求刚架A点的竖向位移. 解：虚设力状态 （实际位移状态） （虚设力状态） 分别列出两种状态中各杆的内力方程（或画出内力图）.

x qx x ql ql 荷载内力图 x 1 x l 1 单位内力图

例 2：求曲梁B点的竖向位移 和水 平位移 。(EI、EA、GA已知) 解：为求 虚设中图示力状态 θ FP FP B θ R R A O 解：为求 虚设中图示力状态 R O B A FP FP R θ FP =1 R θ

FP R θ FP=1 R θ

例 3：求对称桁架D点的竖向位移 .图中 右半部各括号内数值为杆件的截面积A ,设 E=210GPa. FN

解： 构造虚力状态并求出两种状态中各杆的内力 FN 代入公式得：

表1 广义位移和广义虚单位荷载示例

2. 图乘法 对于积分式 当同时满足如下三个条件: (1)EI=常数; (2)杆轴为直线； 图和Mp图中至少有一 个为直线图形. 可用图乘法求解.

式中Ap为Mp图的面积, yc是与Mp图的形心对应的 图的竖标。 Ap . yc的符号规定为： Ap与 yc在基线同侧为正，反之为负。

(a) 标准三次抛物线与二次抛物线的面积与形心位置分别如图（a）和（b）所示。 顶点指曲线切线与杆轴重合或平行

(b) 两个图形均为梯形（图a）或两个图形均为直线，且面积有正有负（图b），可在其中一个上作辅助线（图中虚线），将它分成二个三角形，再分别与另一图形的竖标相乘，并求代数和。

(c) 图形之一为抛物线，且两端竖标不为零如图示，可作辅助线，将其分解为一个两端竖标为零的抛物线以及两个三角形，再分别与另一图形的竖标相乘，然后求其代数和。

(d) 两图形中一个为曲线，另一个为折线如图示， 可按折线形图的转折点，将曲线形图分割成若干块，然后分别相乘后，再叠加。

为了便于计算，表2中列出了经常用到的几种图乘情况的结果。

例 1. 设 EI 为常数，求 和 。

解：作荷载内力图和单位荷载内力图 B A q 对吗？ C A B FP=1 应分段！

B A q C A B 1 （ ）

例 2. 已知 EI 为常数，求C、D两点距离的改变量

解：作荷载内力图和单位荷载内力图 2

例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位移 ， 并绘出刚架的变形曲线。 FP

解：作荷载内力图和单位荷载内力图 FPl/2 FPl/4 FP FPl EI 2EI

绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如： FPl/2 FPl/4 FP FPl FP

例 4. 已知：E 、 I、A为常数，求 。 a A B C FP D

解：作荷载内力图和单位荷载内力图 A B C FP D A B C 1 D 迭加法的应用

因此，弹簧对位移的贡献为 . 讨论: 如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算？ 显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为 A B C 1 k A B C FP k 显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为 因此，弹簧对位移的贡献为 . 有弹簧支座的一般情况位移公式为

例5 求A点竖向位移, EI=常数 。 k l A k 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图

四 静定结构因温度改变的位移计算 静定结构中，温度的改变虽不产生内力，但会因材料的自由膨胀和收缩使结构产生变形而导致位移。 设上缘温度上升t1，下缘上升t2 ，且 t1 >t2 ，如图所示。并假定温度沿截面高度线性变化，则形心 轴处的温度to为

则杆件微段ds因温度变化所引起的变形为 注意到结构无支座移动，故有 式中α为材料的线膨胀系数，Δt =| t1 -t2 |和t0， 均为绝对值。

特别地，若各杆沿其全长温度改变相同，且截面等高，则上式可改写为 式中 为 图的面积， 为 图的面积。 上二式的符号规定为：虚设状态的变形与实际状态因温度改变引起的变形，若方向一致则取正号，反之取负号。

例1： 刚架施工时温度为20 ℃,试求冬季外侧温度为 -10 ℃,内侧温度为 0 ℃时A点的竖向位移 。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m. 解：构造虚拟状态 实际状态 虚拟状态

单位荷载内力图为： 图

例2 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角. 解：构造虚拟状态

五 静定结构因支座移动引起的位移计算 静定结构中，支座移动不产生内力和变形，只发生刚体位移。因此，有 式中 表示虚设力状态的支座反力，C表示实际位移状态的支座移动量。

例1：求 解：构造虚设力状态 C B A FP=1 虚设力状态 实际位移状态 C B A l

例 2：求 已知 l=12 m , h=8 m , 解：虚设力状态 FAy FAx ( )

例3 每个上弦杆加长8mm, 求由此引起的A点竖向位移.

例4 同时考虑荷载、温度和支座位移的影响.求 解：虚设力状态 实际位移状态 C B A l FP C B A 虚设力状态 FP=1

例5 图示结构上侧温度上升10，下侧上升30，并有 图示支座移动和荷载作用，求C点竖向位移。

线性弹性结构的互等定理共有四个，这些定理对于超静定结构的计算非常有用。 六 线性弹性结构的互等定理 线性弹性结构的互等定理共有四个，这些定理对于超静定结构的计算非常有用。 a . 功的互等定理 设两组外力Fp1和Fp2分别作用于同一简支梁上，如图（a）和（b）所示，并将它们分别称为第Ⅰ状态和第Ⅱ状态。 (a) (b)

状态Ⅰ的外力在状态Ⅱ的位移上所作的虚功W12， 可利用变形体系的虚功原理，表示为 同理，状态Ⅱ的外力在状态Ⅰ的位移上所作的虚功W21可表示为

由于两式的右边彼此相等，故有 W12 = W21 这就是功的互等定理，即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 前式也可改写成

b. 位移互等定理 功的互等定理的特殊情况之一，设两种状态都仅受一个单位外力作用，即Fp1 = Fp2 = 1；且用δ12和δ21分别表示与单位外力相应的位移，如图所示,则有 δ12 =δ21 即第一个单位力的作用点沿其方向上由第二个单位力所引起的位移，等于第二个单位力的作用点沿其方向上由第一个单位力所引起的位移，。

c. 反力互等定理 功的互等定理的另一特殊情况。设两种状态仅有支座1、2均分别发生单位移动，即 Δ1 = Δ2 = 1；且用r12表示支座1因支座2的单位移动所引起的反力，r21表示支座2因支座1的单位移动所引起的反力。如图所示。由功的互等定理，得 r12 = r21

上式表示支座1因支座2的单位位移所引起的反力，等于支座2因支座1的单位位移所引起的反力，称为反力互等定理。 这里的单位位移也可以是单位转角，相应的反力则是反力偶。如下图所示的例子，应用此定理，就可得知反力偶r12与反力r21 的数值相等。 (a) (b)

d 反力与位移互等定理 功的互等定理的又一特殊情况。如图所示，设作用于点2的单位荷载Fp2 = 1，引起支座1的反力偶为r12；支座1发生的单位转Δ1 = Φ1 = 1，引起点2沿Fp2方向的位移为δ21，根据功的互等定理，有 (a) (b)

r12 = -δ21 由此得 由单位荷载而引起结构某处支座的反力，等于因该 支座发生单位位移所引起的单位荷载作用点沿其方向的 位移，但符号相反，称为反力与位移互等定理。

结 论 1. 变形体虚功原理所揭示的是，体系上平衡的外力在体系的协调位移上的一个虚功恒等关系。 结 论 1. 变形体虚功原理所揭示的是，体系上平衡的外力在体系的协调位移上的一个虚功恒等关系。 2. 单位荷载法，只是虚功原理的一种应用。单位荷载又 称为单位广义力，是一种无量纲和单位的广义“力”。 3. 图乘法的条件是：等直杆；至少有一个图形是直线。 4. 温度引起的结构位移计算时，必须考虑轴线温度改变 引起的位移。每项符号按温度和单位广义力所引起的 变形是否一致来确定，一致时为正。反之为负。

5. 单位荷载法源于虚功原理，根据所求位移确定单位广义力状态后，关键是求外因引起的变形位移。掌握了这一点，不管材料性质、作用的外因是什麽，就都能解决需求位移计算问题。 6. 对于由曲杆组成的结构或变截面复杂受荷结构等，可用数值积分来求位移近似值。 7. 线弹性结构多种外因共同作用的位移计算，可用统一公式进行计算，也可按各因素分别计算后叠加得到。 8. 位移、反力、位移和反力互等定理所指出的都是影响系数互等，它们的量纲和单位都是相同的。

9. 讨 论(写读书报告) 1. 将变形体虚功原理和达朗伯尔原理相结合，利用瞬时“平衡”的概念，也可作为第三篇动力分析的基本原理。 9. 讨 论(写读书报告) 1. 将变形体虚功原理和达朗伯尔原理相结合，利用瞬时“平衡”的概念，也可作为第三篇动力分析的基本原理。 2. 矩形截面曲杆结构位移计算公式为 3. 虚位移原理、虚力原理和虚功原理前提不同，结论也不同。但是，其必要性命题是一样的。

图示结构各杆件均为截面高度相同的矩形截面， 内侧温度上升t，外侧不变，求C点竖向位移。

求C点竖向位移。 已知图示空间刚架各杆

测验题 1）试将图示超静定结构变成静定结构，并说明需要解除多少个约束？ 2）试求图示桁架的指定杆件轴力。

3）试求图示结构M 图。 4）试求图示结构ΔCy 。各杆EI和长度 l 为常数。

5）题4结构如果同时受有a 、 b 两种荷载，当FP等于多少时ΔCy =0？