第八章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分） 是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside) 发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严 密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法．

拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术 与科学领域中有着广泛的应用．由于它的像原函数 要求 的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广．本部分首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换的应用．

8.1 拉普拉斯变换的概念 8.1.1 拉普拉斯变换的定义 本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、 常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质． 8.1.1 拉普拉斯变换的定义 傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求

存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的 等均不满足这 函数，如阶跃函数 ，以及 在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间 些要求．另外， 为自变量的函数，往往当 时没有意义，或者不需要知道 的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 就限制了傅里叶变换应用的范围．

为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一 个实函数 ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本 条件． 首先将函数 乘以单位阶跃函数： 得到 ，则根据傅氏变换理论有

很显然通过这样的处理，当 时， 在没有定 义的情况下问题得到了解决．但是仍然不能回避 在 上绝对可积的限制．为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有

上式即可简写为 这是由实函数 通过一种新的变换得到的复变函数， 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．

定义8.1.1 设 实函数 在 上有定义，且积分 对复平面 （ 为复参变量） 上某一范围 收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1） 定义8.1.1 设 实函数 在 上有定义，且积分 对复平面 （ 为复参变量） 上某一范围 收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1） 称为函数 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为 像函数），记为

（说明：有的书籍记： ＝ ，即 为函数 的拉氏变换） 综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个 实自变量为 的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复 变数 的复值函数，由式（8.1.1）式可以看出，

例8.1.1 求拉氏变换 的拉氏变换实际上就是 的傅氏变换 （其中 为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是 一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从0到 广义是指函数 要乘上 之后再 作傅氏变换． 例8.1.1 求拉氏变换

【解】 在 ,(按照假设 ) 即为 的半平面， 例8.1.2 求拉氏变换 【解】 在 的半平面,

同理有

例8.1.3 求单位阶跃函数 的拉氏变换． 【解】 由拉氏变换的定义，有 ，由于 设

，所以，当且仅当 ，从而有 时， 例8.1.4 求拉氏变换 为常数. 【解】 在 的半平面上

请记住这个积分以后会经常用到． 为实数），求 例8.1.5 若 或 拉氏变换

【解】 同理

例8.1.6 求拉氏变换 为常数. 【解】 在 的半平面上，

同理 （ 为复数），求拉氏变换 例8.1.7 若 【解】

8.1.2 拉氏变换的存在定理 定理 8.1.1 拉氏变换存在定理 若函数 满足下述条件： （1）当 时， =0；当 时， 在任一有限区间上分段连续； （2）当 时， 的增长速度不超过某一

指数函数，即存在常数 及 ，使得 则 在半平面 上存 在且解析． 【证明】：证明 存在．由

所以上述积分绝对收敛，且 在右半平面 存在． 然后证明 解析．为此，在积分号内对 求偏 导数，并取 为任意实常数），则有

在半平面 故积分 上一致收敛，可交换积分与微商的次序，即

故 的导数在 上处处存在 且有限，可见 在半平面 内解析． 8.2 拉普拉斯逆变换概念 定义8.2.1 拉氏逆变换 若满足式： ，我们称

为 的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为 原函数），记为 ．为了计算拉氏逆 变换的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式． 实际上 的拉氏变换，就是 的傅氏变换.因此，当 满足傅氏 在连续点处 积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，

无关， 等式两端同乘 ，并注意到这个因子与积分变量 故 时

，则有 令 （8.2.1） 上式为 的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式． 记为 ．并且 称为

的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函 数或原函数）． 上式右端的积分称为拉氏反演积分．公式 （8.2.1）称为黎曼－梅林反演公式，这就是从像函数求原函数 的一般公式． 注意：公式 和公式 构成一对互逆的

8.3 拉氏变换的性质 构成一组拉氏变换对。 积分变换公式， 也称 和 构成一组拉氏变换对。 积分变换公式， 8.3 拉氏变换的性质 虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏变换．但在实际应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的一些基本性质．通过这些性质使得许多复杂计算简单化． 我们约定需要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的 条件．

性质1 线性定理 若 为任意常数，且 ，则 (8.3.1) 【证明】

根据逆变换的定义，不难证明第二式．具体留给读者去证明． 例8.3.1 求 函数 的拉氏变换. 【解】

例8.3.2 求函数 的拉氏逆变换． 【解】 因为

例8.3.3求 【解】 性质2 延迟定理

若设 为非负实数， ，又当 ，则 时， (8.3.2) 或 【证明】由定义出发，随后令 ，可得

利用 ＜0时， =0，积分下限可改为零，故得 例8.3.4 已知 ，求 【解】用阶跃函数表示

再利用线性定理及延迟定理，有 性质3 位移定理 若 ，则有 (8.3.3) 其中 是 的增长指数． 证明 根据定义

例8.3.5 求 = ，则由 【解】令 得 = 利用位移定理 ，即有

，则对于大于零 性质4 相似定理 设 的常数 ，有 （8.3.4） 【证明】由定义出发，随后作变量代换 ，则

性质5 微分定理 设 存在且分段连续，则 （8.3.5）

【证明】 由定义出发，随后用分部积分，可得 同理，用 取代上述的 ，可得

继续作下去，即得所证． 特别地，当 则 性质6 像函数的微分定理 (8.3.6) 【证明】在拉氏变换定义式两边对 求导

继续作下去，即得所证．

性质7 积分定理 设 ，则 (8.3.7) 【证明】设 ，则 由微分定理，有 即

可得 由 一般地对应n重积分，我们有 性质8 像函数的积分定理

(8.3.8) 【证明】由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序 上面交换积分次序的根据是 在满足

性质9 拉氏变换的卷积定理 条件下是一致收敛的． (1) 定义 8.3.1 拉氏变换的卷积 前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当 是 上绝对可积函数时，它们的卷积是

如果当 ，则上式可写为 时，有 因为在拉氏变换中总认为 时，像函数 恒为零， 因此把上式（8.3.9）定义为拉氏变换的卷积．

（2）拉氏变换的卷积定理 (8.3.10) 【证明】首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分 次序，并作变量代换：

由于当 时 =0 ，第二个积分下限可写成 零，再将 提出第二个积分号外，便有 应用拉普拉斯变换法时经常要求 ，若 能分解为 ，对上式作逆变换，即有

8.4 拉普拉斯变换的反演 (8.3.11) 求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下求原函数 （即为求反演积分）．我们分不同情况按下述方法来求： 1 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分 解为分项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就能得到相 应的原函数.

例8.4.1 求 的原函数． 【解】即为求 ，先将这个有理分式分解为分项 分式 利用例题8.1.4 和8.1.5的结论， 即得到