第3章 积分的数值方法 3.1 概述 3.2 梯形积分法 3.3 抛物积分法 3.4 龙贝格积分法 3.5 高斯求积

定义3.1 求积公式 (3-10) 其系数为 时，则称求积公式为插值求积公式。

定义3.2 （代数精度） 设求积公式（3-10）对于一 切次数小于等于m的多项式( 或 ) 是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）

定理3.1 n+1个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有n次代数精度。

3.4.1 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 在插值求积公式 (3-10) 中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式

称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数 引进记号： ( k=0,1…,n ) 则有： ( k=0,1…,n ) 代入插值求积公式(3-10)中，有： 称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数

容易验证 显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬如当n=1时

当n=2时 P127 给出了n从1～8的柯特斯系数。 当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。

3.4.2 梯形积分法和抛物积分法的误差 在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别 3.4.2 梯形积分法和抛物积分法的误差 在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别 得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)   梯形公式 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式 定理3.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为

（2） 辛卜生公式 当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式（或 称抛物线公式） 定理3.3（辛卜生公式的误差）设在[a,b]上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为

（3） 柯特斯公式 当n=4时，牛顿-柯特斯公式为 定理3.4（柯特斯公式的误差）设在[a,b]上具有连续的6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为

例3.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解: 辛卜生公式 由于 由辛卜生公式余项 知其误差为

例3.13 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解: 柯特斯公式 知其误差为

例3.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 该定积分的准确值 ,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。

3.5 复化求积公式 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。 常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。

3.5.1 复化梯形公式及其误差 将积分区间[a,b]划分为n等分,步长 求积节点为 在每个小区间 上应用梯形公式: 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分I的近似值。

记 (3-4) (3-4)式称为复化梯形公式。 当f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,在子区间 上梯形公式的余项已知为： 则在[a,b]上的余项为：

设 在[a,b]上连续，根据连续函数的介值定理知，存在 ，使 因此,余项

3.5.2 复化梯形求积算法实现 （1）复化梯形公式计算步骤 ① 确定步长h=(b-a)/N ( N 为等分数 ) 3.5.2 复化梯形求积算法实现 （1）复化梯形公式计算步骤 ① 确定步长h=(b-a)/N ( N 为等分数 ) ② 对k=1,2,…,N，计算T=T+f(a +kh) ③ T= h f(a)+ 2T + f(b)/2 (3)程序实现(见103页 定步长梯形求积法）

3.5.3    复化辛卜生公式及其误差 将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间 的中点为 在每个小区间上应用辛卜生 公式，则有：

类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜生公式 (3.6) 的求积余项为 记 (3-15) 称为复化辛卜生公式 类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜生公式 (3.6) 的求积余项为

如果把每个子区间 四等分,内分点依次记 同理可得复化柯特斯公式： (3-16) 求积余项为:

复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)所涉及的各阶导数在[a,b]上连续，那么复化梯形公式、复化辛卜生公式与复化柯特斯公式所得近似值 的余项和步长的关系依次为 、 。因此当h→0 (即n→∞)时, 都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。

① 确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 为等分数 ) ② 对k=1,2,…,N-1，计算 3.5.4 复化辛卜生求积算法实现 （1）复化辛卜生公式计算步骤 ① 确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 为等分数 ) ②   对k=1,2,…,N-1，计算 S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh) ③ S = h  f (a) +4S1+ 2 S2+ f (b)/6 (3)程序实现(见附录A A-12复化辛卜生求积法)

（2）复化辛卜生公式流程图

例3.13 依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化 辛卜生公式计算定积分 解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时， 由复化梯形公式(3-4)可得如下计算公式：

由复化辛卜生公式(3.6)可得如下计算公式 （积分准确值I=0.9460831） 这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字(T8=0.9456909),而复化辛卜生法却有六位有效数字。

例3.14 用复化梯形公式计算定积分 才能使误差不超过 问区间[0,1]应分多少等份 解:取 ,则 ,又区间长度b-a=1，对 复化梯形公式有余项 即 ,n≥212.85，取n=213，即将区间 [0,1]分为213等份时，用复化梯形公式计算误差 不超过 。

复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。 3.6 龙贝格（Romberg）求积法 复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。 若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。 在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。

3.6.1变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。

设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即 x = a+kh, k=0,1,…，n， 步长为 。对于某个子区间 , 利用梯形公式计算积分近似值有: 对整个区间[a,b]有:

将子区间 再二等份,取其中点 作为新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间 ,利用复化梯形公式计算其积分近似值： 对整个区间[a,b]有:

比较 和 有： (3.7)

当把积分区间分成n等份，用复化梯形公式 所以 计算积分 I 的近似值 时，截断误差为： 当 在区间[a,b]上变化不大时,有 所以

可见,当步长二分后误差将减至 ,将 上式移项整理，可得验后误差估计式： 上式说明，只要二等份前后两个积分值 和 相当接近，就可以保证计算结果 可见,当步长二分后误差将减至 ,将 上式移项整理，可得验后误差估计式： (3.8) 上式说明，只要二等份前后两个积分值 和 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使 接近于积分值I。

① 变步长梯形求积法。它是以梯形求积公式为基础，逐步减少步长，按如下递推公式求二分后的梯形值： 6.6.2 变步长的梯形求积算法实现 （1）变步长的梯形求积法的计算步骤 ① 变步长梯形求积法。它是以梯形求积公式为基础，逐步减少步长，按如下递推公式求二分后的梯形值： 其中Tn和T2n分别代表二等分前后的积分值 。

② 如果 , (ε为给定的误差限 ) 则 T2n 作为积分的近似值, 否则继续进行二等分, 即：

（2）变步长梯形公式的流程图

例3.15 用变步长梯形求积法计算定积分 解: 先对整个区间0,1用梯形公式,对于 所以有： 然后将区间二等份,由于 ,故有： 进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值：

有： 再进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值： 有： 这样不断二分下去。积分的准确值为0.9460831，用变步长二分10次可得此结果。

变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。 3.6.3 龙贝格求积公式 变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。 龙贝格公式又称逐次分半加速法。

根据积分区间分成 n 等份和 2n 等份时的误差估计式 (3.8) 可得： 所以积分值 的误差大致等于 , 如果用 对 进行修正时， 与 之和比 更接近积分真 值,所以可以将 看成是对 误差的 一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子。

作线性组合，结果却得到用复化辛卜生公式计算得到 的积分值 。 考察 与n等分辛卜生公式 之间的关系。将 复化梯形公式： 这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 和 作线性组合，结果却得到用复化辛卜生公式计算得到 的积分值 。 (6.9) 考察 与n等分辛卜生公式 之间的关系。将 复化梯形公式： 梯形变步长公式： 代入(3.9) 表达式得： 故 (3.10)

再考察辛卜生法。其截断误差与 成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至 ，即有： 由此可得： 可以验证,上式右端的值其实等于 Cn ，就是说，用辛卜生公式二等分前后的两个积分值 Sn和 S2n 作线性组合后，可得到用柯特斯公式求得的积分值 Cn ，即有： (3.11)

用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式： (3.12) 在变步长的过程中运用(3.10)、(3.11)和(3.12)，就能将粗糙的梯形值 Tn 逐步加工成精度较高的辛卜生值 Sn 、柯特斯值 Cn 和龙贝格值 Rn 或者说，将收敛缓慢的梯形值序列 Tn 加工成收敛迅速的龙贝格值序列 Rn ，这种加速方法称为龙贝格算法（龙贝格公式）。

3.6.4 龙贝格求积法算法实现 （1） 龙贝格求积法计算步骤 用梯形公式计算积分近似值： 按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半,令区间长度 计算：

③ 按加速公式求加速值 梯形加速公式： 辛卜生加速公式： 龙贝格求积公式：

④ 精度控制，直到相邻两次积分值 （其中ε为允许的误差限）则终止计算并取 Rn 作为积分 的近似值，否则将区间再对分，重复 ②，③，④ 的计算，直到满足精度要求为止。

例6.16 用龙贝格算法计算定积分 要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过 解: 由题意

由于 ，于是有：

Thank you very much!