第二节 微积分基本定理 一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式
一、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数 设 在区间 上连续， 且 ，则 存在，如积分上限 在 上任意变动，那么对于每一取定的 值， 1.积分上限函数 设 在区间 上连续， 且 ，则 存在，如积分上限 在 上任意变动，那么对于每一取定的 值， 均有唯一的数 与之对应，所以 是一个定义在 上的关于 的函数，记为
称 为积分上限函数. 2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数 在几何上表示为右端线可以变动的曲边 梯形的面积 .
3.性质 (1)定理1 若 在 上连续，则积分 上限函数 在 上具有导 数，且它的导数 . 证
即：
(2)定理2 若函数 在 上连续，则积 分上限函数 是 在区间 上的一个原函数. 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，
二、积分上限函数求导法则 1.法则1 若 在 上连续， 是 上的某一定点，则 ，有
2.法则2 若函数 在闭区间 上连续， 是 上的某一定点，函数 可微， 且 ，则有 证 令 ， ，
3.法则3 若函数 在区间 上连续， ， ，且 与 都可微，则有
证
4.例题 例1 求 解 由法则1得
例2 求 解 由法则2得 例3 求 解 由法则3得
例4 求 解 这是一个 型未定式，可利用洛必达法 则计算，分子为
由法则2得 因此
三、微积分基本公式 1.定理3 若函数 是连续函数 在区 间 上的一个原函数，则 该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布 尼茨公式. 证
( 为常数). 令 ， 令 ， 则 .
2.说明 (1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数 在积分区间 上必须连续，若不满足 条件，不能使用公式. (2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之 间的关系， 是它的任一原函数在 上的增量，也是函数 在 处的函 数值.
(3)为方便起见，记 ，
3.例题 例5 求 解 例6 求 解
例7 设 ，求
解
求 ，在 上的表达式. 例8 设 ， 解 当 时，
当 时，
所以，
例9 求 解
由例7，例8，例9可见，若被积函数在积分区 间上存在有限个第一类间断点，或在积分区间 上分段表示，或带有绝对值，应利用定积分在 积分区间的可加性分段积分，以保证被积函数 在各积分区间上的连续性或非负性.