§5 微积分学基本定理 本节将介绍微积分学基本定理, 并用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法. 一、变限积分与原函数的存在性 二、换元积分法与分部积分法 三、泰勒公式的积分型余项 返回
一、变限积分与原函数的存在性 为变上限的定 积分; 类似称 为变下限的定积分. 定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 ) 证 则
于是 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续. 定理9.10（微积分学基本定理) 若 f 在 [a, b] 上连续, 上处处可导,且
证 由于 f 在 x 处连续，因此 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连 续函数必存在原函数”这个重要结论.
注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为 定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 则存
(ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 则存 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步: (1) 对任意分割 T：
(4) 综合 (2), (3), 得到
即 推论
证 若 g 为单调递减函数， 则 h 非负、单调减, 由定理 9.11(i)， 因此
即得
二、 换元积分法与分部积分法 定理9.12（定积分换元积分法） 则 证 的一个原函数. 因此
注 与不定积分不同之处: 定积分换元后不一定要 用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时， 保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换 元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限. 例1 解 （不变元,不变限）
例2 解 （变元,变限）
例3 解 （必须注意偶次根式的非负性）
例4 解
因此, 定理9.13（定积分分部积分法） 若 u(x),v(x)为 [a, b] 上的连续可微函数,则有定
积分的分部积分公式： 证 因为 uv 是 在 [ a, b ] 上的一个原函数, 所以 移项后则得
例5 解
例6 解 于是
其中
三、泰勒公式的积分型余项 若 u(x),v(x) 在 [a, b] 上有 (n+1) 阶连续导函数,则 由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.
定理9.14 阶连续导数, 则 则
注 由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型
由积分第一中值定理,可得
若记 此式称为泰勒公式的柯西型余项.
复习思考题
要求: (1) 指出其中三处错误; (2) 给出正确证明 ( 提示: 需要借助变限积分 ).