第二节 微积分的基本定理 在上节中，我们看到用和式极限计算定积分相当繁难。本节通过揭示定积分与原函数间的关系，导出定积分的基本计算公式：牛顿—莱布尼茨公式。 一、 变上限定积分 由定积分定义知，定积分的大小仅与被积函数 和积分区间 有关。当我们固定 和积分下限a时，显然，定积分的大小会随着积分上限b的变化而变化。
设 在 上连续，任取 时，会有一个唯一确定值 与x对应(见图5-7中的阴影部分)。称之为变上限定积分所确定的函数，简称变上 限定积分。记为 . 定理1. 如果函数 在 上连续，则变上限积分 （ ）可 导，且 o
*证明： 当上限x有改变量Δx时， 的改变量为 由定积分中值定理知，至少存在一点 ，使得 两边取 极限： 由于Δx→0时，ξ→x ，且 在 [a,b] 上连续
即 定理1说明，如果f(x)在[a,b]上连续，则 就是f(x)的一个原函数。从而有定理2。 定理2（原函数存在定理） 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上原函数一定存在，且其中一个原函数为 。
例1. 求 解： 例2. 求 解：
二、微积分基本公式 微积分基本公式是牛顿和莱布尼茨利用微分和积分是互逆的关系，在定积分的计算中得到的公式。所以，为了纪念他们对微积学的贡献，该公式又称为牛顿—莱布尼茨公式。
定理3（微积分基本公式）如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的任一原函数，则 证明：由于f(x)在区间[a,b]上连续，那么，由定理1知， （ ）是f(x)的一个原函数。 而F(x)也是f(x)在区间[a,b]上的任一原函数，由此，
在上式中，令x=a，有 得 于是，上式成为 再令x=b ，又得到 ∴
即 通常，记 因此， 定理3揭示了定积分与原函数之间的联系。告诉我们， 的值等于f(x)的一个原函数F(x)在积分区间[a,b]上改变量。从而为定积分的计算，提供了一个简便的方法。
例3．计算下列定积分 （2） （3） （1） 解：（1） （2）
（3） 例4．设 ，求 解：
例5．求曲线 和 x轴在区间 上所围成图形的面积A。 解： ∵当 时， ∴ 例7．已知某物体以 作直线运动，求该物体从t=2到t=5所经过的路程S。 解：