绪 论 金建华 2010年9月

序 言 一、 什么是微积分？ 二、微积分发展简史 三、 学什么?怎么学?

一、什么是微积分？ 微积分是关于运动和变化的数学。那里有运动或增长、变力作功产生的加速度，那里要用到的数学就是微积分。微积分开创的初期是这样，今天仍然是这样。

二、微积分发展简史 1. 微积分思想萌芽 • 战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” （公元前5世纪） • 魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”； • “祖暅原理” ：“幂势既同，则积不容异”； • 安提芬、欧多克斯的“穷竭法” ； • 阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法。

祖冲之于公元429年生于江苏南京，汉族，南北朝时期人。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。 刘徽生于公元250年左右，东汉三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．(割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则与圆合体，而无所失矣） 祖冲之于公元429年生于江苏南京，汉族，南北朝时期人。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

安提芬(Antiphon, 公元前 480-403）古希腊早期十大最伟大的演说家之一。（穷竭法—化圆为方） 欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC - 355 BC） 希腊天文学家和数学家。（平衡法—体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形）

阿基米德(Archimedes，约前287～前212)，古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。 除了伟大的牛顿和伟大的爱因斯坦，再没有一个人象阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。 研究了求曲线的切线，求瞬时变化率，求函数的极大值极小值等微分问题 名言： “给我一个支点，我将移动地球”

微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。 2.  十七世纪微积分的酝酿  微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展； 另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。 这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。 (1)如何确定非匀速运动物体的速度与加速度及瞬时变化率问题。 (2)望远镜的设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线,求任意曲线切线的连续变化问题。 (3)确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题。 (4)行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等。

开普勒与无限小元法 ：用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积 这一时期的几位科学大师及其工作：    开普勒与无限小元法 ：用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积 卡瓦列里与不可分量法：“两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之比为定值,那么这两个立体的体积之间也有同样的比”，利用这个原理他建立了等价于下列积分：     的基本结果，使早期积分突破体积计算的现实原型而向一般算法过渡。

巴罗与“微分三角形” ：给出了求曲线切线的方法，这对于他的学生牛顿完成微积分理论起 到了重要作用。（把切线看成割线的极限位置） 笛卡儿、费尔马和坐标方法——代数方法，对推动微积分的早期发展方面有很大的影响,牛顿就是以此为起跑点而踏上研究微积分的道路。 沃利斯的“无穷算术”：沃利斯是在牛顿和莱 布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突 出的数学家。在其著作《无穷算术》中，他利 用算术不可分量方法获得了一系列重要结果 。

 约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571-1630) ，德国天文学家、 数学家。 牛顿曾说过：“如果说我比别人看得远些的话，是因为我站在巨人的肩膀上。”开普勒无疑是他所指的巨人之一。 卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647) ，意大利数学家，积分学先驱者之一 。

勒奈·笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650 ）, 法国伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。 伊萨克·巴罗(Isaae Barrow，1630一 1677)是十七世纪英国最著名的科学家和数学 家，牛顿的老师。精于数学和光学，对几何学颇有建树 。 勒奈·笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650 ）, 法国伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。 数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分与积分也就立刻成为必要的了 。 ——恩格斯

费尔马(Pierre de Fermat，1601～1665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。 对费尔马的评价： 费尔马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。

3.  微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作  1）牛顿的“流数术” 牛顿于1665年11月发明“正流数术”(微分法) , 1666年5月建立“反流数术”(积分法)。1666年10月,牛顿将前两年的的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，明确了现代微积分的基本方法,这是历史上第一篇系统的微积分文献。牛顿将自古希腊以来的求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——正、反流数术(流数就是微商) ，并证明了二者的互逆关系，将这两类运算进一步统一成整体，这是他超越前人的功绩,也正是在这样的定义下，我们说牛顿发明了微积分。

2）莱布尼茨的微积分工作 与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号 以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号 。

　艾萨克·牛顿 Isaac newton(1643年1月4日—1727年3月20日)是英国伟大的数学 家、物理学家、天文学家和自然哲学家，同时他也是一个神学爱好者，晚年曾着力研究神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是创建了微积分和经典力学。 牛顿 戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 莱布尼兹

3）18世纪微积分的发展 从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔(M.Rolle,1652-1779)在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。 微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和约翰他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定型极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达(L’Hospital,1661-1704)编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为罗比达法则。 

　雅各布·伯努利 　（Jakob Bernoulli‎，1654年12月27日－1705年8月16日）伯努利家族代表人物之一，数学家。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。他研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。 约翰·伯努利(Johann Bernoulli) 1667年8月6日生于巴塞尔，是雅各布·伯努利的弟弟。最初学医，同时研习数学。1691年到巴黎,曾为C.-F.-A.de罗比达的私人教师。现今求不定式极限的罗比达法则，实出自约翰。1705年接替其兄雅各布任巴塞尔大学教授。1691年解出悬链线问题。

布鲁克·泰勒 (Brook. Taylor,1685-1731)英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。 18世纪，微积分得到进一步深入发。 布鲁克·泰勒 (Brook. Taylor,1685-1731)英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。 科林 麦克劳林（Colin Maclaurin, 1698-1746 ） 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。麦克劳林得到泰勒公式在  时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。 

其他代表性人物 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。他的《无限小分析引论》（1748）、《微分学原理》（1755）与《积分学原理》（1768~1770）都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被当作标准教材而广泛使用 。 约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813），法国数学家、物理学家。他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用．

勒让德(A.M. Legendre,1752-1833），主要贡献是椭圆积分理论

4．微积分中注入严密性 微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成了研究自然科学的有力工具。但微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。正因为如此，这一学说从一开始就受到多方面的怀疑和批评。 

最令人震撼的抨击是来自英国克罗因的主教贝克莱。 贝克莱集中攻击了微积分中关于无限小量的混乱假设，他说：“这些消失的增量究竟是什么？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消失量的鬼魂吗？” 这就是著名的“贝克莱悖论”。 贝克莱的许多批评切中要害，客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，引起了当时不少数学家的恐慌。这也就是我们所说的数学发展史上的第二次“危机”。 

到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。 第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。 到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。 应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。

完善时期的代表人物 达朗贝尔(d’Alembert,1717-1783) 。在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。 19世纪初，捷克数学家波尔查诺(B. Bolzano,1781-1848)开始将严格的论证引入数学分析，他写的《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。

做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A. L 做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。

另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯(W 另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯(W. Weierstrass,1815-1897)，。魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义 。魏尔斯特拉斯用他创造的一套 语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来，消除了“贝克莱悖论”。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。 

三、《微积分学》学什么？怎么学？ 1. 学知识 1）知识点概要及内容 ②图中阴影部分的面积 是怎样计算的(极限、不定积 分、定积分)？ ① 这条曲线在点 处的切线方程 是怎样得到的(极限、导数)？ ②图中阴影部分的面积 是怎样计算的(极限、不定积 分、定积分)？ ③ OB 弧的长度是如何求出的(定积分的应用)？

内容： ④ 图中阴影部分的图形绕 x轴(或 y 轴)旋转一周的立体的体积有计算公式吗(定积分的应用、二重积分。)？ ⑤ 图中阴影部分的图形绕 轴(或 轴)旋转一周的立体的表面积是多少(二重积分的应用)？ ⑥ 无穷多个数相加的和仍然是一个数吗(级数)？ ⑦ 两电线杆之间的电线的长度是多少(定积分的应用、微分方程)？ 内容： ①函数、极限、连续 ②一元函数微积分学 ③向量代数与空间解析几何 ④多元函数微积分学 ⑤无穷级数 ⑥常微分方程

在整个《微积分》的学过程中，函数是微积分的研究对象，极限理论是微积分的重要基石，微分学和积分学是建立在它们之上的两个主要内容，微分学和积分学不是孤立的两部分，而是相互关联的，微积分基本定理是联系它们之间的纽带。 2)学思维 当代著名数学家柯朗曾出:“微积分，或数学分析，是人类思维的伟大成果之一。” 数学不仅是一种重要的“工具” ，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”

3.为什么要学微积分？ 1） 数学的重要性: 什么是高技术？——本质上就是数学技术。 什么叫现代化？——在某种意义上说就是数学化。 三大科学是什么？——数学科学、自然科学和社会科学成为当今的三大科学。 寻找自然规律的数学表达式成为一种时尚，也是该学科成熟的标志。 这种时尚发展到今天，就是非常热门的话题——数学模型。 微积分是现实世界的最出色的数学模型之一。

2）素质教育：数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。 著名数学家李大潜院士指出：“数学教育本质上就是一种素质教育”。体现在 ① 具有运用数学语言的能力； ② 具有处理数据和图形的能力，重点是应用意识和 数学建模的能力； ③ 具有进行逻辑推理和选择计算方法的能力； ④ 具有判断计算和推理结果正确性的能力； ⑤ 具有自己主动学习、适应各种复杂环境的能力； ⑥ 养成主动合作的团队精神、坚韧不拔的科学态度； ⑦ 具有高水平的审美观。

3）微积分是学习专业技术课的基础 微积分全国大学生数学竞赛的内容 微积分在研究生入学考试数学中占60%

4.怎样学习微积分？ 《微积分学》教学大纲中提出的“三个基本” ：基本概念、基本理论和基本运算技能 要求： 基本概念要准确， 要求： 基本概念要准确， 基本理论要清楚， 基本运算技能要熟练。

教学方式：传统式+适当多媒体 参 考 书：微积分学同步辅导 教学方式：传统式+适当多媒体 参 考 书：微积分学同步辅导 作业形式及要求：用练习册，课后及时、主 动完成，每周交一次 有关考试：期中考试 12周周日（11月21日） 期末考试 （待定） 综合成绩=期末考试 *80% + 期中考试*10% +平时作业*10%

1）十六字方针: 认真听课 积极思考 主动提问 努力实践 学习本身是一项创造性的活动，在学习中倾主要精力于以下两件事： 发现知识的过程； 发现该知识时所用的数学思想及方法。

学的时候抽象，用的时候茫然，数学的 思想和方法常常游离于具体的数学运算之外 2）提醒注意 不要成为这样一种学生： 学的时候抽象，用的时候茫然，数学的 思想和方法常常游离于具体的数学运算之外 没有目的的学习是没有动力的前进（靠惯性）； 没有兴趣的学习是痛苦的折磨（进步慢）。

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