第四章 定积分及其应用 4.3 定积分的概念与性质 4.4.1 微积分基本公式 4.4.2 定积分的换元积分法与分部积分法 4.5 广义积分 经济数学 第四章 定积分及其应用 4.3 定积分的概念与性质 4.4.1 微积分基本公式 4.4.2 定积分的换元积分法与分部积分法 4.5 广义积分 4.6 定积分的应用 目录
经济数学 4.4.1 微积分基本公式 * 4.4.1,1变上限积分函数 4.4.1,2 微积分基本公式 主要内容 首页 上页 下页
经济数学 4.4.1,1 变上限积分函数 设函数 定义在 上,x为区间上的任意一点,定积分 表示的是图中阴影部分的面积.随着积分上限x在区间内变化,定积分都有惟一确定的值与之相对应,故它 是x的函数,称它为变上限积分函数,记作 ,即 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式
4.4.1,1 变上限积分函数 如果函数 在区间 上连续,则函数 定理1 在区间 上可导,且它的导数就是 ,即 经济数学 4.4.1,1 变上限积分函数 如果函数 在区间 上连续,则函数 在区间 上可导,且它的导数就是 ,即 定理1 上定理表明, 是连续函数 的一个原函数,它 揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式
经济数学 4.4.1,1 变上限积分函数 例1 设 ,求 解: 根据定理1,可得 例2 设 ,求 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式
4.4.1,2 微积分基本公式 定理2 设函数 在 上连续,且 是 在 上的一个原函数,则 经济数学 4.4.1,2 微积分基本公式 定理2 设函数 在 上连续,且 是 在 上的一个原函数,则 上式称为牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式,也叫微积分基本公式. 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式
5.2.2 微积分基本公式 为书写方便,公式中的 通常记为 或 .因此上述公式可写成 或 经济数学 5.2 微积分基本公式 5.2.2 微积分基本公式 为书写方便,公式中的 通常记为 或 .因此上述公式可写成 或 因此求 在区间 上的定积分,只需求出 在区间 上的任一个原函数 ,并计算它在两端处点的函数值之差,即 首页 上页 下页
4.4.1,2 微积分基本公式 求定积分 例1 , 是 原函数,所以由牛顿——莱布尼茨公式有 的一个 解: 经济数学 5.2 微积分基本公式 5.2 微积分基本公式 4.4.1,2 微积分基本公式 求定积分 例1 , 是 原函数,所以由牛顿——莱布尼茨公式有 的一个 解: 首页 上页 下页
4.4.1,2 微积分基本公式 求定积分 例2 可利用定积分的性质将原积分分解为各个函数定积分的代数和. 解: 经济数学 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式
经济数学 4.4.1,2 微积分基本公式 求定积分 例3 解: 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式
4.4.1,2 微积分基本公式 求定积分 例4 解: 被积函数是分段函数 由积分区间的可加性,得 经济数学 5.2 微积分基本公式 首页 由积分区间的可加性,得 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 课堂练习 : 1.求定积分 . (答案: ) 2.求定积分 . (答案: ) 首页 上页 下页
小结 *1.变上限积分函数的概念. *2.变上限积分函数求导方法 . 3.利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 4.分段函数的定积分. 经济数学 小结 *1.变上限积分函数的概念. *2.变上限积分函数求导方法 . 3.利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 4.分段函数的定积分. 5.计算定积分的常用技巧 . 首页 上页 下页 5.2 微积分基本公式