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§4 原函数与不定积分

定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则积分 与连接起点及终点的路线C无关.

由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关, 如图所示, 我们有 B C2 B C1 z1 z2 C1 z1 z2 C2

固定z0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分 在B内确定了一个单值函数 对这个函数我们有 定理二 如果f(z)在单连通域B内处处解析, 则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且 F '(z)=f(z).

[证] 从导数的定义出发来证. 设z为B内任意一点, 以z为中心作一含于B内的小圆K, 取|Dz|充分小使z+Dz在K内. 于是由(3. 4

于是有

则任给e>0, 存在d>0, 当|z-z|<d即|Dz|<d时, 总有 |f(z)-f(z)|<e, 因此

定义 如果函数j(z)在区域D内的导数等于f(z), 即j '(z)=f(z), 则称j(z)为f(z)在区域B内的原函数. f(z)的任何两个原函数相差一个常数. 设G(z)和H(z)是f(z)的两个原函数, 则 [G(z)-H(z)]'=G '(z)-H '(z)=f(z)-f(z)=0. 所以 G(z)-H(z)=c, c为任意常数.

因此, 如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z), 则它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式F(z)+c, c为任意常数 因此, 如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z), 则它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式F(z)+c, c为任意常数. 跟在微积分学中一样, 定义: f(z)的原函数的一般形式F(z)+c(其中c为任意常数.)为f(z)的不定积分, 记作

定理三 如果f(z)在单连通域B内处处解析, G(z)为f(z)的一个原函数, 则 这里z0, z1为域B内的两点. [证] 因为 也是f(z)的原函数, 所以

当z=z0时, 根据柯西-古萨基本定理, c=-G(z0) 有了原函数, 不定积分和积分计算公式(3.4.2), 复变函数的积分就可用微积分学中类似的方法去计算.

例1 求积分 的值 [解] 函数zcos z在全平面内解析, 容易求得它有一个原函数为zsin z+cos z. 所以

例2 试沿区域Im(z)0, Re(z)0内的圆弧|z|=1, 计算积分 [解] 函数 在所设区域内解析.

例2 续

§5 柯西积分公式

既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同. 则取以z0为中心, 半径为d的很小的圆周 |z-z0|=d(取其正向)作为积分曲线C 既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同. 则取以z0为中心, 半径为d的很小的圆周 |z-z0|=d(取其正向)作为积分曲线C. 由于f(z)的连续性, 在C上的函数f(z)的值将随着d的缩小而逐渐接近于它在圆心z0处的值, 从而使我们 猜想积分 的值也将随着d的缩小而接近于

其实两者是相等的, 即 我们有下面的定理. 定理(柯西积分公式) 如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则

[证] 由于f(z)在z0连续, 任给e>0, 存在d(e)>0, 当|z-z0|<d时, |f(z)-f(z0)|<e. 设以z0为中心, R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部, 且R<d. D R z z0 C K

这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能, 因此, 由(3.5.2)即得要证的(3.5.1)式.

(3.5.1)式称为积西积分公式. 如果C是圆周z=z0+Reiq, 则(3.5.1)式成为 即, 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.

例 求下列积分(沿圆周方向)的值: [解] 由(3.5.1)得

§6 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.

定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为: 其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.

[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证

按柯西积分公式有

因此

现要证当Dz0时I0, 而 C z0 D d

C z0 D d f(z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有|f(z)|M. d为z0到C上各点的最短距离, 则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|<d/2,

因此, L是C的长度

这就证得了当Dz0时,I0, 也就证得了 再利用同样的方法去求极限: 这里已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.

依此类推, 用数学归纳法可以证明: 此公式可以这样记忆: 把柯西积分公式(3.5.1)的两边对z0求导数, 右边求导在积分号下进行, 求导时把被积函数看作是z0的函数, 而把z看作常数. 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.

例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: |z|=r>1. [解] 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. 根据(3.6.1)有

y C C1 i O x -i C2

O C1 C2 C i -i x y 根据复合闭路定理,

由(3.6.1)有

作业第一章第29题 设函数f(z)在z0连续且f(z0)0, 那末可找到z0的小邻域, 在这邻域内f(z0)0. w d e=A/2 A=|f(z0)| f(z) x y O u v f(z0) z0

证 设A=|f(z0)|, 令e = A/2, 则存在d>0使得当 |z-z0|<d时, 有|f(z)-f(z0)|<e, 则

作业 第三章习题 第99页 第7题第1),2),3),4) 第8题第1),2),3),4)