背 景 “无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes ，287 BC～212 BC）等人提出的计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到17世纪，

背 景 莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运算．建立了微积分学． 莱布尼兹创立了积分符号 ．这些符号进一步 促进了微积分学的发展，并一直沿用至今．

第一节 定积分－求总量的模型 3.1.1 定积分的概念及性质 3.1.2 微元法

3.1.1 定积分的概念及性质 一、案例 二、概念和公式的引出

一、案例[曲边梯形的面积] 曲边梯形由连续曲线 轴 与两条直线 所围成。

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系： 播放

在区间[a,b]内插入若干个分点 把区间[a,b]分成n个小区间 （i=1,2,…，n） 长度为 在每个小区间 上任取一点 以 为高的小矩形面积为 为底，

曲边梯形面积的近似值为 当分割无限加细，即小区间的最大长度 趋近于零 时，曲边梯形面积为

设函数f (x)在区间[a,b]上有界．在区间[a,b] 二、 概念和公式的引出 定积分 设函数f (x)在区间[a,b]上有界．在区间[a,b] 内任意插入n-1个分点， 把区间[a,b]分成n个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间 上任取一点 ，作和式

记 .如果不论对区间[a,b]怎样分法，也不论 上点 怎样取法，只要当 时，和 小区间 总趋于同一个确定的常数I，则称函数 f (x)在区间[a,b] 上可积，极限I称为函数f (x)在区间[a,b]上的定积分， 记作 其中 为积分符号，函数f (x)称为被积函数，f (x) dx 称为被积表达式， x称为积分变量，a称为积分下限， b称为积分上限，区间[a,b]称为积分区间．

定积分的几何意义 当f (x)>0时， ； 当f (x)<0时， 。 图中函数f (x)在[a,b]上的定积分为

由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则 (b)

3.1.2 微 元 法 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

一、案例 [曲边梯形的面积] 利用定积分的思想求解曲边梯形的面积时， “分割-取近似-求和-取极限”可概括为以下两步： 第一步 分割与取近似 　将区间细分成很多小的区间，在每个小区间上 近似代替 “以直代曲”，用矩形面积

第二步 求和与取极限 　将所有小面积全部加起来，即 取极限，当最大的小区间趋于零时，得到曲边梯形 函数f(x)在区间[a,b]内的定积分，即

二、 概念和公式的引出 第一步 根据问题的具体情况，选取一个变量（如x） 为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]; 第二步 写出U在任一小区间[x,x+dx]上的微元dU=f(x)dx 第三步 以所求量U的微元f(x)dx为被积表达式，写出 区间[a,b]上的定积分，得 微元法 上述方法称为 或元素法。

如果一辆汽车以30m/s的速度匀速行驶了4s，那么 三、进一步的练习 练习1 [汽车的行驶路程] 如果一辆汽车以30m/s的速度匀速行驶了4s，那么 汽车行驶的路程为30×4＝120m。如果汽车以递增的 速度行驶，设v(t)=2t2(m/s)，此时其行驶速度是变化的， 如何得到它在t=0s到t=4s行驶的路程？

假设每隔一秒记录下汽车行驶的速度(单位：m/s)，如下表所示. 1）每秒记录一次速度 假设每隔一秒记录下汽车行驶的速度(单位：m/s)，如下表所示. 时间 1 2 3 4 速度 8 18 32 在每秒内，汽车行驶的速度变化不大，此时，如果将汽车的运动视为匀速运动，汽车在第一秒内行驶的路程可用0×1m近似，第二秒内可用2×1m近似，这样，可以估算出汽车在4秒内行驶的路程为 0×1+2×1+8×1+18×1＝28 (km)

假设每隔半秒记录下汽车行驶的速度(单位：m/s)，如下表所示. 2）每半秒记录一次速度 假设每隔半秒记录下汽车行驶的速度(单位：m/s)，如下表所示. 时间 速度 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 2 4.5 8 12.5 18 24.5 32 用与上面同样的计算方法，可以估算出汽车在4秒内行驶的路程为 0×0.5+0.5×0.5+2×0.5+4.5×0.5+8×0.5+12.5×0.5+18×0.5+24.5×0.5＝35（m）

从上面的分析可以看出，要较精确地确定汽车行驶的路程，需要将汽车行驶的时间分割得非常细，即时间间隔非常小．时间间隔越小，精确度越高．要确定汽车行驶路程的精确值，我们让时间间隔趋于零，即将时间段进行无穷细分，汽车行驶的路程等于当时间间隔趋于零时每个小段上的路程之和． 用微元法计算的过程如下：

(1)计算路程微元. 由于在小时间段上，物体的运动可 视为匀速运动，因此，用“以匀代不均”，得到路程微元 (2)积分.以v(t)dt为被积表达式，写出在[T1,T2]上的 积分，得 如以速度v(t)=2t2(m/s)行驶的汽车在t=0s到t=4s行 驶的路程为

练习2 [由变化率求总改变量] 一般地，假设 是某一量F(x)相对于自变量x的 变化率，则在[x,x+dx]上，由微分与导数的关系，得 微元 用微元法，得到从x=a到x=b之间F(x)的总变化为

练习3 [水箱积水] 设水流到水箱的速度为r(t) L／min，问从t=0s到 t=2s这段时间内水流入水箱的总量W是多少？ 解 第一步 时间内，将水的流速近似 在 看作是匀速的，得水量微元 第二步 以r(t)dt为被积表达式，在时间段 t=0s到t=2s这段时间内水流入水箱的 总量W为

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：

莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716） 是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家 和哲学家，一个举世罕见的科学天才。 他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。

数学方面的成就： 莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。他曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。

物理方面的成就： 莱布尼兹在物理学方面的贡献也是非凡的。 他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。在光学方面，莱布尼兹也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。