数控机床原理 —插补原理 任立波

一、课前准备： １授课对象 数控技术与应用专业的学生 ２授课地点 数控实训车间 ３授课时间 8：00~9：00 ４工具准备 数控机床、计算机、多媒体投影设备

二、学习目标 1.了解插补运算的基本原理； 2.了解加工轨迹插补得基本概念； 3.掌握插补方法的种类与特点； 4.掌握基准脉冲插补。 1.认知性质的学习目标： 1.了解插补运算的基本原理； 2.了解加工轨迹插补得基本概念； 3.掌握插补方法的种类与特点； 4.掌握基准脉冲插补。 5.掌握逐点比较插补法 2.情感性质的学习目标： 置身于车间，先让学生自己体会普通机床与数控机床在外观上的区别，开动数控机床让学生了解数控机床的运动，引起学生的好奇心，进而讲述数控机床的基本结构，然后穿插一些关于数控技术发展中的很有趣的小故事，吸引学生的注意力，让学生对数控技术这门课程充满期待。最后深入讲解在加工过程中所需要的插补。

三、采用四级教学法 准备阶段： 演示阶段： 模仿阶段： 归纳练习：

教 学 设 备 设备 数量 备注 多媒体投影设备 １ 计算机 10 数控机床 练习项目 12

数控机床的插补原理 一、加工轨迹插补的基本概念 ⒈ 插补运算与加工轨迹的位置控制 机床数控加工中最基本的问题就是如何根据所输入的零件加工程序中有关几何形状、轮廓尺寸的原始数据及其指令，通过相应的插补运算，按一定的关系向机床各个坐标轴的驱动控制器分配进给脉冲，从而使得伺服电机驱动工作台相对主轴（即工件相对刀具）的运动轨迹，以一定的精度要求逼近于所加工零件的外形轮廓尺寸。对于平面曲线的运动轨迹需要二个运动坐标协调的运动，对于空间曲线或立体曲面则要求三个以上运动坐标产生协调的运动，才能走出其轨迹。 CNC数控系统需通过实时控制软件来进行插补运算与相应的位置控制。插补运算要求实时性很强，即计算速度要同时满足机床坐标轴对进给速度和分辨率的要求。插补运算和位置控制是一般都在控制机床运动的中断服务程序中进行。插补程序在每个插补周期运行一次，在每个插补周期中，根据指令进给速度计算出一个微小的直线数据段。通常经过若干个插补周期加工完一个程序段，即从数据段的起点走到终点。计算机数控系统是一边插

补，一边加工。而在本次处理周期内，插补程序的作用是计算下一个处理周期的位置增量。位置控制可以由软件也可以由硬件来实现。它的主要任务是在每个采样周期内，将插补计算的理论位置与实际反馈位置相比较，用其差值去控制进给电机，进而控制机床工作台（或刀具）的位移。这样机床就自动地按照零件加工程序的要求进行切削加工。 当一个程序段开始插补加工时，管理程序即着手准备下一个程序段的读入、译码、数据处理。即由它调动各个功能子程序，并保证在下一个程序段的数据准备，一旦本程序段加工完毕即开始下一个程序段的插补加工。整个零件加工就是在这种周而复始的过程中完成。 ⒉ 插补运算的基本原理 我们在工程数学中知道，微积分对研究变量问题的基本分析方法是：“无限分割，以直代曲，以不变代变，得微元再无限积累，对近似值取极限，求得精确值”，但在一些实际工程应用中，往往根据精确度要求，把这个无限用适当的有限来代替，对于机床运动轨迹控制的插补运算也正是按这一基本原理来解决的。概括起来，可描述为：“以脉冲当量为单位，进行有限分段，以折代直，以弦代弧，以直代曲，分段逼近，相连成轨迹”。需要说明的是这个脉冲当量与其坐标显示分辩率往往是一致的，它与加工精度有关，它表示插补器每发出一个脉冲，使执行电机驱动丝杆所走的行程，单位通常为0.01～0.001mm／脉冲。也就是说对各种斜线、圆弧、曲线均由以脉冲当量为单位的微小直线线段来拟合，如图2-1所示。其插补运算精度（一般插补误差不会超过一个脉冲当量）也是影响数控加工精度的一项主要因素。 二、插补方法的种类与特点 插补器的形式很多，按实现的方法来说，它均可用硬件逻辑电路或执行软件程序来完成。因而可分为硬件插补器和软件插补器，软件插补器利用CNC系统的微处理器执行相应的插补程序来实现，结构简单、灵活易变、可靠性好，目前微处理机的位数和频率的提高，

Y O X 8 7 6 4 3 5 2 1 10 9 A（6，4） 12 11 A（6，0） B（0，6） 图2-1 用微小直线段来拟合曲线

大部分CNC系统采用了软件插补方式。但由于硬件方式插补速度快，对要求高的CNC系统目前采用粗、精二级插补的方法来实现，以满足其实时性要求，软件每次插补一个小线段称为粗插补，根据粗插补结果，将小线段分成单个脉冲输出，称为精插补。其中精插补往往采用了硬件插补器，如日本FANUC公司就采用DDA硬件插补专用集成芯片。 从实现的功能来分，它有直线插补、二次（圆、抛物线等）曲线插补，及高次曲线插补等。根据插补所采用的原理和计算方法的不同 ，又有许多插补方法。它可被分为两大类。 (1) 基准脉冲插补 它又称为行程标量插补或脉冲增量插补。这种插补算法的特点是每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列，每个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。基准脉冲插补的实现方法比较简单（只有加法和位移），容易用硬件实现。也可以用软件完成这类算法。但它仅适用于一些中等精度和中等速度要求的计算机数控系统。基准脉冲插补方法又有下列几种： ①逐点比较法； ②数字积分法； ③数字脉冲乘法器插补法； ④矢量判别法； ⑤比较积分法； ⑥最小偏差法； ⑦目标点跟踪法； ⑧单步追踪法； ⑨直接函数法。 (2) 数据采样插补 它又称为时间标量插补或数字增量插补。这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是标准二进制字。插补运算分两步完成。第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，每一微小直线段的长度ΔL都相等，且与给定进给速度有关。粗插补在每个插补运

算周期中计算一次，因此，每一微小直线段的长度ΔL与进给速度F和插补周期T有关，即ΔL= FT。第二步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作“数据点的密化”工作。这一步相当于对直线的脉冲增量插补。 数据采样插补方法适用于闭环位置采样控制系统。粗插补在每个插补周期内计算出坐标实际位置增量值，而精插补则在每个采样周期内采样闭环位置增量值及插补输出的指令位置增量值。然后算出各坐标轴相应的插补指令位置和实际反馈位置，并将二者相比较，求得跟随误差。根据所求得的跟随误差算出相应轴的进给速度，并输出给驱动装置。我们一般将粗插补运算用软件来实现。而精插补可以用软件，也可以用硬件来实现。 数据采样插补方法很多，下面几种插补方法是常用的。 ①直线函数法； ②扩展数字积分法； ③二阶递归扩展数字积分插补法； ④双数字积分插补法； ⑤角度逼近圆弧插补法。 随着技术的发展，插补的方法也多种多样，限于篇幅，下面仅对两种最常用的插补方法作一具体介绍。

逐点比较插补法 逐点比较插补法也称醉步逼近法，即走一步看一看，边找边走，宛如醉人的脚步，具体说来是每走一步都要和给定轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹的上方或下方，或在给定轨迹的里面或外面，从而决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。如此，走一步，比较一次，决定下一步走向，以便逼近给定的轨迹。逐点比较法是以折线来逼近直线、圆弧或各类曲线，它与规定的直线或圆弧之间的最大误差不超过一个脉冲当量。因此，只要将脉冲当量（每走一步的距离）取得足够小，就可达到加工精度的要求。 一、直线插补计算原理 (1) 偏差计算公式 假定加工如图2-2所示第一象限的直线OA。取直线起点为坐标原点，直线终点坐标（Xe，Ye）是已知的。M(Xm，Ym)为加工点（动点），若m在OA直线上，则根据相似三角形的关系可得 取 (2-1) 作为直线插补的判别式。 若 Fm＝0，表明m点在OA直线上； 若 Fm＞0，表明m点在OA直线上方的m＇处； 若 Fm＜0，表明m点在OA直线下方m＂处。

Y m′ Ym O A（Xe，Ye） m″ Xm X m（Xm，Ym） 图2-2 第一象限直线

对于第一象限直线从起点（即坐标原点）出发，当Fm≥0时，沿＋X轴方向走一步，当Fm＜0时，沿＋Y方向走一步，当两方向所走的步数与终点坐标 (Xe，Ye)相等时，发出到达终点信号，停止插补。 Xm+1=Xm＋1， Ym+1=Ym 新的偏差为 Fm+1=Ym+1Xe―Xm+1Ye=Fm―Ye （2-2） 若Fm＜0，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为 Xm+1=Xm ，　 Ym+1=Ym＋1 新的偏差为 Fm+1=Fm＋Xe 　　　　　 （2-3） 式（2-2）、（2-3）为简化后的偏差计算公式，在公式中只有加、减运算，只要将前一点的偏差值与等于常数的终点坐标值Xe、Ye相加或相减，即可得到新的坐标点的偏差值。加工的起点是坐标原点，起点的偏差是已知的，即F0=0，这样，随着加工点前进，新加工点的偏差Fm+1都可以由前一点偏差Fm和终点坐标值相加或相减得到。 (2) 终点判别法 逐点比较法的终点判断有多种方法，下面介绍两种： 第一种方法：设置X、Y两个减法计数器，加工开始前，在X、Y计数器中分别存入终点坐标值Xe、Ye，在X坐标（或Y坐标）进给一步时，就在X计数器（或Y计数器）中减去1，直到这两个计数器中的数都减到零时，便到达终点； 第二种方法：用一个终点计数器，寄存X和Y两个坐标，从起点到达终点的总步数∑；X、Y坐标每进给一步，∑减去1，直到∑为零时，就到了终点。

(3) 插补运算过程 插补计算时，每走一步，都要进行以下四个步骤（又称四个节拍）的算术运算或逻辑判断，其工作循环如图2-3所示。 (3) 插补运算过程 插补计算时，每走一步，都要进行以下四个步骤（又称四个节拍）的算术运算或逻辑判断，其工作循环如图2-3所示。 ①方向判定：根据偏差值判定进给方向； ②坐标进给：根据判定的方向，向该坐标方向发一进给脉冲； ③偏差计算：每走一步到达新的坐标点，按偏差公式计算新的偏差； ④终点判别：判别是否到达终点，若到达终点就结束该插补运算；如未到达再重复上述的循环步骤。 插补开始 Y N 插补结束 方 向 判 定 坐 标 进 给 偏 差 计 算 终点到？ 图2-3 逐点比较法工作循环图

表2-1 四象限直线插补进给方向判定和偏差计算公式 表2-1 四象限直线插补进给方向判定和偏差计算公式 进给方向判定 偏差计算公式 线 型 Fm≥0时 Fm <0时 L1 +ΔX +ΔY Fm≥0时： Fm+1=Fm－Ye Fm<0时： Fm+1=Fm+Xe L2 －ΔX L3 －ΔY L4 Fm<0，+ΔY Fm<0，+ΔY X Y O L4 L2 L1 L3 Fm≥0，+ΔX Fm≥0，－ΔX Fm≥0，－ΔX Fm≥0，+ΔX Fm<0，－ΔY Fm<0，－ΔY (4) 不同象限的直线插补计算 上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其他三个象限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表2-1列出了在四个象限中直线插补时，其偏差计算公式和进给脉冲方向。计算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。

二、圆弧插补计算原理 (1)偏差计算公式 下面以第一象限逆圆弧为例讨论偏差计算公式。如图2-4所示，设需要加工圆弧AB，圆弧的圆心在坐标原点，已知圆弧起点为A(Xo，Yo)，终点为B(Xe，Ye)，圆弧半径为R。令瞬时加工点为m(Xm，Ym)，它与圆心的距离为Rm。比较Rm和R来反映加工偏差。 因此，可得圆弧偏差判别式如下： R Rm B（Xe，Ye） m（Xm，Ym） A（X0，Y0） Y O X 图2-4 第一象限逆圆弧

若 Fm＝0，表明加工点m在圆弧上； Fm＞0，表明加工点m在圆弧外； Fm＜0，表明加工点m在圆弧内。 设加工点正处于m(Xm，Ym)点，其判别式为。若Fm≥0，对于第一象限的逆圆，为了逼近圆弧，应沿－X方向进给一步，到m+1点，其坐标值为Xm+1=Xm－1，Ym+1=Ym，新加工点的偏差为： (2 - 4) 若Fm＜0，为了逼近圆弧应沿＋Y方向进给一步，到m+1点其坐标值为Xm+1＝Xm，Ym+1＝Ym+1，新加工点的偏差为： (2 – 5) 由式（2-4）和式（2-5）可知，只要知道前一点的偏差，就可以求出新一点的偏差。因为加工是从圆弧的起点开始，起点的偏差F0=0，所以新加工的偏差总可以根据前一点的数据计算出来。 (2) 终点判别法 圆弧插补的终点判别方法和直线插补相同。可将从起点到终点X、Y轴走步步数的总和∑存入一个计数器，每走一步，从∑中减去1，当∑=0时发出终点到达信号。也可以选择一个坐标的走步数作为终点判断，注意此时应选择终点坐标值小的那一个坐标。 (3) 插补计算过程 圆弧插补过程和直线插补计算过程相同，但是偏差计算公式不同，而且在偏差计算的同时还要进行动点瞬间坐标值计算，以便为下一点的偏差计算作好准备。 (4) 四个象限圆弧插补计算公式 圆弧所在象限不同，顺逆不同，则插补计算公式和进

给方向也不同。归纳起来共有8种情况，这8种情况的进给脉冲方向和偏差计算公式见表2-2，表中Xm，Ym，Xm+1，Ym+1都是动点坐标的绝对值。 三、逐点比较法的改进 从以上介绍可以看出，逐点比较法每插补一次，要么在X轴方向走一步，要么在Y轴方向走一步，走步方向为+X、-X、+Y、-Y这四个方向之一。因此可称之为四方向逐点比较法。四方向逐点比较法插补结果以垂直的折线逼近给定轨迹，插补误差小于或等于一个脉冲当量。 八方向逐点比较法与四方向逐点比较相比，它不仅以+X、-Y、+Y、-Y作为走步方向，而且两个坐标可以同时进给，即四个合成方向+X+Y、-X+Y、-X-Y、+X-Y也作为进给方向。八方向逐点比较法以45o折线逼近给定轨迹，逼近误差小于半个脉冲当量，加工出来的工件质量要比四方向逐点比较法的高。 以四方向逐点比较法为基础，可以导出八方向逐点比较法的插补原理及算法。这里限于篇幅，不作具体推导和详细说明。

表2-2 四象限圆弧插补进给方向判定和偏差计算公式 表2-2 四象限圆弧插补进给方向判定和偏差计算公式 顺园 S R SR3 SR2 SR4 SR1 X Y O Fm<0,+ΔY Fm≥0,+ΔX Fm<0,－ΔX Fm≥0,－ΔY Fm<0,+ΔX Fm≥0,+ΔY Fm<0,－ΔY Fm≥0,－ΔX NR3 NR2 NR4 NR1 逆园 N R 进给方向判定 偏差计算公式 线 型 Fm≥0时 Fm<0时 SR1 －ΔY +ΔX Fm≥0时： Fm+1=Fm－2Ym+1 Xm+1=Xm Ym+1=Ym－1 Fm<0时： Fm+1=Fm+2Xm+1 Xm+1=Xm+1 Ym+1=Ym SR3 +ΔY －ΔX NR2 NR4 SR2 Fm+1=Fm－2Xm+1 Xm+1=Xm－1 Fm+1=Fm+2Ym+1 Ym+1=Ym+1 SR4 NR1 NR3

数字积分插补法 数字积分插补法又称数字微分分析法（DDA：Digital Diffential Analyzer），具有运算速度快、插补精度高、脉冲分配均匀、易实现多坐标联动等优点，因此应用较广泛。 一、数字积分法原理 我们在前面插补运算的基本原理中曾提到“…以直代曲，分段逼近相连成轨迹”。现在的问题是以怎么样的微小直线逐段相连，来代替所要求的各种曲线轨迹更为合理？我们从微积分对变量问题的分析可知，用曲线中每一微小线段的相应切线来代替该小段曲线将为最合理。如图2-5所示，即要求刀具在每一微小曲线段上以切线方向切削，也就是说在对每一小段切削时，要求刀具向X方向的运动速度分量ΔVx与Y方向的运动速度分量ΔVy的比例关系等于该小段的切线斜率，既等于该曲线的导数dy/dx。如曲线函数为y=f(x)，则y对x求导得f(x)=dy/dx，而对每一小段曲线切削时的运动速度分量之比应为：△vyi/△vxi=dyi/dxi。数字积分法DDA插补器就是根据这一基本原理构成的。 y=f(x) Δvi Δvxi Δvyi Δv1 Δvx1 Δvy1 Y X O 图2-5 运动速度分量比值为切线斜率

图2-6为曲线函数为y=f(x)的DDA插补器的结构框图。它分别由Y轴、X轴两个数字积分器（图中虚框所示）组成。每个数字积分器在每小段时间Δt内所输出的脉冲数ΔSy（或ΔSx）乘以脉冲当量（0.01或0.001mm/个），即为控制每一轴的位移量Δy（或Δx）。 频率为f的脉冲 Y轴数字积分器 K寄存器 容量为2n的y积分累加器Ry 容量为2n的x积分累加器Rx X轴数字积分器 Kdy/dx寄存器 + y轴溢出 脉冲数ΔSy X轴溢出 脉冲数ΔSx 图2-6 曲线 y=f(x) 的DDA插补器框图

现在我们先来分析其中一个数字积分器的工作过程，以弄清在每小段Δt时间内各轴的位移量Δy（或Δx）与寄存器中值Kdy/dx（或K），累加器位数n以及频率f之间的关系：每来一个频率为f的序列脉冲，则寄存器里的数Kdy/dx（或K）与累加器里的随机值Ry（或Rx）相加，相加后结果若超过累加器容量2n，则就溢出一个脉冲，相加后结果（或余数）仍存放在累加器中，作为新的随机值Ry（或Rx）。由于在每小段时间Δt内的累加次数应等于fΔt。其结果在Δt时间内，每个轴的数字积分器溢出的脉冲数ΔSy（或ΔSx），乘以脉冲当量（设为1μm／个），即为每轴的位移量Δy（或Δx），它们分别为： 也就是说： Y方向的速度分量 X方向的速度分量 两式相除得： 其结果Y，X两方向所得的速度分量Δvy与Δvx之比Δvy/Δvx。恰好等于该曲线函数y=f(x)的导数dy/dx，也就是每小段曲线的切线斜率。即达到了用曲线中每一微小段的相应切线来代替该小段曲线的插补要求。DDA插补运算，即可用硬件来实现，也可用软件来完成。图2-7为DDA插补运算程序流程图。初始化时分别把K，Kdy/dx送入两个数字积分器的相应寄存器内，并把两个累加器Rx、Ry清零，图中[Rx]、[Ry]分别表示累加器Rx、Ry中的当前值。具体的DDA 插补器根据插补函数y=f(x)的不同，其形式也各有区别。

图2-7 数字积分法插补程序流程图 起 始 初 始 化 K，K 0→Rx, 0→Ry [Rx]+K→Rx [Rx]/ 2n ≥1? 脉冲当量值 [Ry] -2n→Ry [Ry]+Kdy/dx→Ry 到终点否？ 起 始 初 始 化 K，K 0→Rx, 0→Ry [Rx]+K→Rx X方向进给一个 [Rx]-2n→Rx 插补结束 N Y [Rx]/ 2n ≥1? [Ry]/ 2n ≥ 1? 图2-7 数字积分法插补程序流程图

二、DDA直线插补器 设要对XY平面上的直线OA进行插补，如图2-8所示，直线起点在原点O，终点A 的坐标为（Xe，Ye）。由于直线的斜率每段是恒定的，即为Ye／Xe，设K=Xe，所以K 图2-9为DDA直线插补器结构框图，其工作原理不言而喻，这里就不再赘述。需要说明的是由于溢出脉冲的离散性，即脉冲是一个一个不连续发生的，其实际所走的轨迹应是如图2-8中粗实线所示。 X o ye Y xe A(xe，ye) 图2-8 直线OA插补

图2-9 直线DDA插补器框图 终点坐标值ye寄存器 + y轴溢出 容量为2n的y积分累加器Ry 频率为f的脉冲 脉冲数ΔSy X轴溢出 终点坐标值xe寄存器 容量为2n的x积分累加器Rx y轴溢出 脉冲数ΔSy X轴溢出 脉冲数ΔSx 图2-9 直线DDA插补器框图

三、DDA圆弧插补器 圆心为坐标原点的圆弧方程式为x2+y2=r2，两边对x求导，得 2X+2Ydy/dx=0,即 dy/dx= -X/Y。设K=y，则 K dy/dx= -XY/Y=-X,代入上述图2-6框图中就得图2-10所示的DDA圆弧插补器结构框图。 需要提醒注意的是：这里的x、y是一个变量，即随插补点位置的移动而相应地变化。 频率为f的脉冲 容量为2n的y积分累加器Ry -x寄存器 + y寄存器 容量为2n的x积分累加器Rx y轴溢出 脉冲数ΔSy X轴溢出 脉冲数ΔSx 图2-10 园弧DDA的插补器框图

作 业 布 置 下发练习材料，每人一个工件，从中掌握插补原理在机床上的运用，在规定的时间内每组完成任务，下次上课随机抽出一人为全体同学作示范讲解。

再 见 Good bye