函数的应用与三角函数教学解读 浙江省龙游中学 赖忠华

为什么改？ 改什么？怎么改？ 教什么？怎么教？ 学什么？如何学？ 教的怎样？学的怎样？

函数的应用

定 位 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.通过本章内容的学习，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.通过学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系.

课程标准内容 1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系. 2、根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.

课程标准内容 3、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 4、收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.

课程标准内容 5、根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流.

本章目录 3.1 函数与方程 阅读与思考 中外历史上的方程求解 信息技术应用 借助信息技术求方程的近似解 3.2 函数模型及其应用 3.2 函数模型及其应用  信息技术应用 收集数据并建立函数模型 实习作业   小结 复习参考题

内容简介 1、函数与方程 2、阅读与思考 中外历史上的方程求解 3、信息技术应用 借助信息技术求方程的近似解 4、函数模型及其应用 4、函数模型及其应用  5、信息技术应用 收集数据并建立函数模型 6、实习作业 

知识结构

建立函数模型解决问题的过程

教材特点 1、激发学生的学习兴趣，增强学生的应用意识． 2、函数模型的应用贯穿始终 . 3、重视数学思想，感受到数学文化. 4、使用信息技术，使学生经历更多的数学建模的 过程. 5、创设问题情景，让学生在不断的观察、思考和 探究的过程中培养能力．

课时分配 共9个课时，其中 3.1 函数与方程 约3课时 建议：3.1.1方程的根与函数的零点 约1课时 3.1 函数与方程           　 约3课时 建议：3.1.1方程的根与函数的零点 约1课时 3.1.2用二分法求方程的近似解 约2课时 3.2 函数模型及其应用   　　 约4课时 建议：3.2.1几类不同增长的函数模型 约2课时 3.2.2函数模型的应用实例 约2课时 　　实习作业                约1课时 　　小结　　　　　　　　　 约1课时

教学要求、重点、难点 教学要求： ⑴基本要求：全体学生应在本节学习时掌握. ⑵发展要求：有条件学生可在本节增补；全体学生在必修结束时掌握. ⑶说明：主要注明不宜拓展（留待选修学习）的内容；超纲的内容、已删除的内容、限定深广度的内容等.

1.1 函数与方程 ⑴基本要求 ①了解函数零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系. ②理解并会应用连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 1.1 函数与方程  ⑴基本要求 ①了解函数零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系. ②理解并会应用连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. ③能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数. ④了解二分法是求方程近似解的常用方法. ⑤能够借助信息技术工具用二分法求函数的零点或方程的近似解.

1.1 函数与方程  ⑵发展要求 体验函数与方程、数形结合、算法等数学基本思想 . ⑶说明 连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，只要求学生理解并会应用，教学中不需要给出证明.

1.1 函数与方程  ⑷重点 通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. ⑸难点 在利用“二分法”求方程的近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算.

1.2 函数模型及其应用 ⑴基本要求 ①理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. ②理解指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. 1.2 函数模型及其应用   ⑴基本要求 ①理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. ②理解指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. ③能利用给定的函数模型解决实际问题；能建立确定性的函数模型解决问题；能选择适当的函数模型进行拟合实现问题解决；了解函数模型在社会生活中的广泛应用. ④初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法.

1.2 函数模型及其应用   ⑵发展要求 通过建立和运用函数基本模型，体验数学建模、拟合等数学基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识. . ⑶说明

1.2 函数模型及其应用   ⑷重点 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. ⑸难点 如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题.

教学建议 1、帮助学生认识函数与方程的联系. 2、帮助学生弄清一次函数、指数函数、对数函数 以及幂函数间的增长差异. 教学建议   1、帮助学生认识函数与方程的联系. 2、帮助学生弄清一次函数、指数函数、对数函数 以及幂函数间的增长差异. 3、重视数学思想方法的渗透. 4、培养学生的应用意识，使学生认识数学的科学、 人文价值，提高科学文化素养. 5、恰当使用信息技术. 6、控制难度，适可而止. 7、遵循从具体到一般的认识过程.

基本初等函数Ⅱ（三角函数）

定 位 三角函数是基本初函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中，通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.

课程标准内容 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( ,  ,-的正弦、余弦、正切)，能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性.

课程标准内容 4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（- ， ）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1， .

课程标准内容 6.结合具体实例，了解y=Asin（x+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（x+）的图象，观察A，，对函数图象变化的影响. 7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

本章目录 1.1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图象与性质  探究与发现 函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)的周期   探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 信息技术应用 利用正切线画函数 的图象 1.5 函数y=Asin(x+)的图象 阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 1.6 三角函数模型的简单应用 小结 复习参考题

内容简介 1、 任意角和弧度制 2、 任意角的三角函数 3、 阅读与思考 三角学与天文学 4、 三角函数的诱导公式 5、 三角函数的图象与性质  6、 探究与发现 函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)的周期 7、 探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、 余弦函数的性质 8、 信息技术应用 利用正切线画函数 的图象 9、 函数y=Asin(x+)的图象 10、阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 11、三角函数模型的简单应用

知识结构

教材特点 1、数形结合思想贯穿始终. 2、突出三角函数在刻画周期变化现象中 的地位和作用、过程和方法. 3、利用知识的发生发展过程提出问题， 引导思考，训练思维，提高能力. 4、突出信息技术的工具性.

课时分配 共16个课时，其中 1.1 任意角和弧度制          约2课时 建议：1.1.1 任意角 约1课时 1.1.2 弧度制 约1课时 1.2 任意角的三角函数         约3课时 建议：1.2.1任意角的三角函数 约2课时 1.2.2同角三角三数的基本关系 约1课时

课时分配 1.3 三角函数的诱导公式     约2课时 1.4 三角函数的图象与性质   约4课时 建议：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 约1课时 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 约2课时 1.4.3正切函数的性质与图象

课时分配 1.5 函数y=Asin(x+)的图象 约2课时 1.6 三角函数的简单应用 约2课时 复习与小结 约2课时

教学要求、重点、难点 教学要求： ⑴基本要求：全体学生应在本节学习时掌握. ⑵发展要求：有条件学生可在本节增补；全体学生在必修结束时掌握. ⑶说明：主要注明不宜拓展（留待选修学习）的内容；超纲的内容、已删除的内容、限定深广度的内容等.

1.1任意角和弧度制 ⑴基本要求 ①认识角扩充的必要性，了解任意角的概念. ②能用集合和数学符号表示终边相同的角. ③能用集合和数学符号表示象限角. ④了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ⑤认识弧长公式，能进行简单应用.

1.1任意角和弧度制 ⑵发展要求 能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. ⑶说明 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.

1.1任意角和弧度制 ⑷重点 将0至360范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. ⑸难点 弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角. ⑹教学建议

1.2任意角的三角函数 ⑴基本要求 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ②能判断各象限角的正、余弦，正切函数的符号. ③理解终边相同的角的同一三角函数的值相等. ④认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线 ⑤理解同角三角函数的两个基本关系： sin2x+cos2x=1 ， ，能进行简单应用.

1.2任意角的三角函数 ⑵发展要求 利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角问题 . ⑶说明 用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，教学中不必作太多的拓展、补充 .

1.2任意角的三角函数 ⑷重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系. ⑸难点 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；利用与单位圆有关的有向线段，表示任意角的正弦、余弦、正切的函数值. ⑹教学建议

1.3三角函数的诱导公式 ⑴基本要求 能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公 式 ，，-的正弦、余弦、正切， 能进行简单地应用.

1.3三角函数的诱导公式 ⑵发展要求 掌握用单位圆中三角函数线研究三角问题的方法 . ⑶说明 已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展 .

1.3三角函数的诱导公式 ⑷重点 诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明. ⑸难点 的诱导公式的推导. ⑹教学建议

1.4三角函数的图象与性质 ⑴基本要求 ①能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. ②了解三角函数的周期性. ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2]，正切函数在(- , )上的性质（单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）.

1.4三角函数的图象与性质 ⑵发展要求 ①掌握一种用计算机软件绘制函数图象的方法. ②知道“五点法”画正、余弦函数. ③了解y=cosx图象与y=sinx图象之间的联系. ⑶说明 教学中根据学生基础选择画函数图象的方法.

1.4三角函数的图象与性质 ⑷重点 正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）. ⑸难点 正弦函数和余弦函数图象间关系、图象间的变换. ⑹教学建议

1.5函数y=Asin(x+)的图象 ⑴基本要求 ①了解y=Asin(x+)的实际意义，能借助计算器或计算机画出它的图象，观察参数A，，对函数图象变化的影响. ②会用“五点法”画函函数y=Asin(x+)的图象.

1.5函数y=Asin(x+)的图象 ⑵发展要求 ①掌握参数A，，对函数图象变化的影响规律. ②掌握运用平移变换和伸缩变换把y=sinx的图象变换为y=Asin(x+)的图象的方法. ③掌握函数y=Acos(x+)的图象与函数 y=Asin(x+)的图象的联系. ⑶说明 教学中提倡用计算机辅助研究函数y=Asin(x+)图象.

1.5函数y=Asin(x+)的图象 ⑷重点 用平移变换和伸缩变换画函数y=Asin(x+)的图象变换过程 . ⑸难点 对图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识. ⑹教学建议

1.6三角函数模型的简单应用 ⑴基本要求 ①会用三角函数解决一些简单的实际问题. ②初步学会由图象求出解析式的方法. ③体验实际问题抽象为数学问题的过程. ④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

1.6三角函数模型的简单应用 ⑵发展要求 能运用三角函数知识分析和处理实际问题 . ⑶说明 教学中应突出三角函数的工具性，重点在引导学生建立三角函数模型 .

1.6三角函数模型的简单应用 ⑷重点 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. ⑸难点 将某些实际问题抽象为三角函数模型 ⑹教学建议

拟使用信息技术的部分内容 1、对终边相同的角的概念的认识； 2、弧度制的认识，弧度与角度的互化，非特殊角的三角函数值的计算； 　　1、对终边相同的角的概念的认识； 　　2、弧度制的认识，弧度与角度的互化，非特殊角的三角函数值的计算； 　　3、任意角的三角函数的定义，用三角函数线表示正弦、余弦和正切函数； 　　4、画三角函数的图象，用三角函数的图象研究三角函数的性质； 　　5、画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，探索A、ω、φ对图象的影响； 　　6、根据实际数据拟合函数图象．

新课程教材中感到比较难教的章节 模块 章 节 内容 必修1 第一章 1.2.2 集合的运算 第二章 2.1.1 函数 必修2 1.1.5 三视图 必修3 1.3 中国古代数学中的算法案例 第三章 3.2.2 概率的一般加法公式 3.3.1 几何概型 必修4 1.1.2 弧度制与角度制的换算 2.2.1 平面向量基本定理 必修5 2.1.2 数列的递推公式 3.5.2 简单线性规划

新课程教材中感到比较难教的章节 选修1-1 第一章 1.1.2 量词 1.2.2 “非”(否定) 1.3.2 命题的四种形式 第三章 3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数 3.3 导数的应用 选修1-2 1．1 独立性检验 1．2 回归分析 复数的引入 3.2.2 复数的乘法和除法 选修2-1 第二章 2.1.1 曲线与方程的概念 空间向量的基本定理 平面的法向量与平面的向量表示 选修2-2: 瞬时变化率与导数 1.4.2 微积分基本定理 2.3.1 数学归纳法 复数的概念 3.2.3 复数的除法

把握新课程教学理念 1、让学生经历数学知识的形成与应用过程. 2、鼓励学生自主探索、自主学习. 3、培养学生的创新精神和实践能力. 4、尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要.

处理好几对矛盾 对象与内容 方法与内容 课时与内容 条件与内容

解决突出问题 1、课时问题 2、负担问题 3、师资问题 4、衔接问题 5、资源问题

几点建议 1、理解课标精神，把握教学要求. 2、切实做好课堂教学设计. 3、努力改善教与学的方式. 4、科学合理安排教学时间与内容.

立足实际，制定教学计划 注重实效，开展学科教研 深入实践，做好教学研究

谢谢！

教学对象与教学内容之间的矛盾 新生心理上的不适应 三多：书多 课多 活动多 学生学习方法上的不适应 三大：阅读量大 活动量大 思维量大 三多：书多 课多 活动多 学生学习方法上的不适应 三大：阅读量大 活动量大 思维量大 学生对自主学习的不适应 两强：选择性强 自习性强

教学方法与教学内容之间的矛盾 稳扎稳打与螺旋体系 “范例—练习”与“问题引导” 数学探究：问题串教学 数学建模：数学应用题与数学建模

教学课时与教学内容之间的矛盾 内容多需要时间 学科外部：课目多 学科内部：内容多 活动开展需要时间 衔接内容需要时间 模块化使得时间上缺乏灵活性

教学条件与教学内容之间的矛盾 大班教学的活动 信息技术的使用 信息技术与数学课程整合的基本原则： 有助于理解数学； 有助于学生主动探索； 有助于提高兴趣.

值得注意的问题 容量过大，面面俱到. 注重通性通法. 在关注多种教学方式时，要关注形式与内容的有机结合. 在校本教研中特别应提高反思能力. 体现知识的“来龙去脉”，展示数学思想方法形成的过程.

值得注意的问题 注重培养学生的应用意识 ◆介绍数学内容与其他学科、日常生活的联系； ◆亲自利用数学解决一些实际问题； ◆拓宽学生的视野，增长见识.

值得注意的问题 注重培养学生的创新精神 ◆鼓励学生提出问题； ◆鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法； ◆给学生思考的空间； ◆为学生营造一个积极思路、探索创新的氛围； ◆处理好基础与创新的关系.

值得讨论的问题 如何看待大容量、高强度的课堂教学？ 如何“合理”地使用“题型教学”？ 如何“合理”地安排三年的时间？ 如何看待“大运动量的练习”？ 如何使“课程内容”与多样的“教学方式”更好的统一起来？ 如何提高学习数学的效率？ ……

把尊重带进课堂 把鼓励带进课堂 把方法带进课堂 把创造带进课堂