第二章 热传导动方程 第一节 热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出： 模型： 问题： 第二章 热传导动方程 第一节 热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出： 给定一空间内物体 ，设其上的点 在时刻 的温度为 。 模型： 问题： 研究温度 的运动规律。

分析：（两个物理定律） 1、热量守恒定律: 温度变化吸收的热量 通过边界流入的热量 热源放出的热量 2、傅里叶（Fourier）热传导定律: 为热传导系数。

热传导方程的推导： 任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。 区域 内各点的温度从时刻 的温度 改变为时刻 的温度 所吸收（或放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这段时间内通过曲面 流入（或流出） 内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即 热量守恒定律 内温度变化所需要的热量 =通过曲面 流入 内的热量 +热源提供的热量 下面分别计算这些热量

（1） 内温度变化所需要的能量 设物体 的比热（单位质量的物体温度改变 密度为 所需要的热量）为 那么包含点 的体积微元 的温度从 变为 所需要的热量为 整个 内温度变化所需要的能量

（2）通过曲面 进入 内的热量 由傅里叶热传导定律，从 到 这段时间内通过 进入 内的热量为 由高斯公式 知

（3）热源提供的热量 用 表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从 到 这段时间内 内热源所提供的热量为 由热量守恒定律得： 由 及 的任意性知

三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物体，即 都为常数的物体） 三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物体，即 都为常数的物体） 其中 称为非齐次项（自由项）。 三维无热源热传导方程： 通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次热传导方程。

二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件： 边界条件： 1、第一边界条件 （ Dirichlet 边界条件） 特别地： 时，物体表面保持恒温。

（ Neumann 边界条件） 2、第二边界条件 特别地： 时，表示物体绝热。 注： 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 ) 其中： 特别地： 时，表示物体绝热。 注： 表示 沿边界 上的单位外法线方向 的方向导数 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 ) 其中：

研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为 ，它与物体表面的温度 并不相同。这给出了第三边界条件的提法。 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比： 热传导试验定律或牛顿定律 其中比例常数 称为热交换系数 流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定： 或 即得到（1.10）：

三、定解问题 定义1 在区域 上，由方程（1.5）、初 始条件（1.7）和边界条件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问题为： 定义2 在区域 上，由方程（1.5）和初 始条件（1.7）组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。例如三维热传导方程的初值问题为：

注 1、方程（1.6）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程； 2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样； 3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。 4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方程： 而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：

第二节 初边值问题的分离变量法 考虑一维热传导方程的初边值问题 不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题

上述定解问题可分解为下面两个混合问题： 和 则（II）的解为:

考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（I）： 其中 由下面给出：

问题（II）的解： 其中 非齐次方程混合问题的解：

定理 2.1： 齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为： ► 当 为有界函数时， (2.14) 式给出的形式解关于 以及 均是任意次连续可导的，且满足方程 (2.1) 和边界条件 (2.3)- (2. 4) 。 定理 2.1： 设 则由公式 (2.14) 给出的级数 是混合问题 (2.1)-(2.4) 的古典解。

分离变量法的解题步骤： 1、令 代入方程和边界条件，确 定 所满足的常微分方程的特征值问题以及 所满足的方程； 2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应 的表达式； 3、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数； 4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。

1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数； 注： 1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数； 2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。 ———————————————————————— （1）、将变量分离形式 代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数 ； （2）、将 ，方程的非齐次项 ，以及初值 都按照特征函数进行 Fourier 展开；

其中:

（3）、解初值问题 解为： 非齐次方程混合问题的解：

第三节 初值问题 — Cauchy 问题 一、傅里叶（Fourier）变换及其基本性质 考虑一维热传导方程的初值问题 傅里叶变换: 记为: 傅里叶逆变换: 记为:

定理 3.1： （ Fourier 积分定理 ） 若 在 上绝对可积且连续可微，则有: 简记为: 若 在 上绝对可积且连续可微，则有: 简记为: 公式（3.5）称为 Fourier 反演公式。

性质 1、（ 线性性质 ） 性质 2、（ 微商性质 ） 性质 3、（ 乘多项式性质 ）

性质 4、（ 卷积性质 ） 性质 5、（ 乘积性质 ）

补充性质： 1)、（ 位移性质 ） 2)、（ 相似性质 ） 3)、（ 对称性质 ）

例 1、 设 例 2、 设 例 3、 设

二、热传导方程柯西问题的解 考虑齐次热传导方程的初值问题 解为:

对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题 解为: 非齐次热传导方程的非齐次初始条件问题的解为：

定理 3.2： 设 且有界，则由 (3.17) 式 给出的 函数 是柯西问题 (3.14)-(3.15) 的有界解。 一维齐次弦振动方程的初值问题 解为:

知识回顾

例：试求下述定解问题的有界解 解为:

第四节 极值原理、定解问题解 的唯一性与稳定性 一、极值原理 考虑一维非齐次热传导方程 定理 4.1： 设 在矩形 上连续， 第四节 极值原理、定解问题解 的唯一性与稳定性 一、极值原理 考虑一维非齐次热传导方程 定理 4.1： 设 在矩形 上连续， 并且在 内部满足方程 (4.1)。又设 ，则 在 上的最大值必在边界上达到，即 表示矩形 的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界

推论 4.1： 设 在矩形 上连续，且满足方程 (4.1)。 又设 ，则 在 上的最小值 必在边界 上达到，即 推论 4.2： 设 在矩形 上连续，且满足 则成立

例 （最大值原理的应用） 设 满足 求 在 的最大值和最小值。 解：

二、初边值问题解的唯一性与稳定性 考虑一维热传导方程的初边值问题 定理 4.2： 初边值问题（4.3）在区域 上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件。 注：若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这种解为古典解。

考虑一维热传导方程的混合初边值问题 定理 4.3： 设 是初边值问题（4.4）的古典解，则 正常数，在 上 满足

如果在 上，有 那么由定理4.3可得

推论 4.3： 初边值问题（4.4）在区域 上的古典解 是唯一的，而且连续依赖于边值上所给的初始条件和边界条件。 对于混合初边值问题 定理 4.3 仍然成立。

三、初边值问题解的唯一性与稳定性 考虑一维热传导方程的初值问题 定理 4.5： 初值问题（4.10）在有界函数类中的古典解是 唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。

推论 4.4：（解的最大模估计） 设 是初值问题（4.11）的古典解，则 推论 4.5：（比较原理） 则在 上有

第五节 解的渐近性态 一、初边值问题解的渐近性态 考虑一维热传导方程的初边值问题 定理 5.1： 设初始函数 第五节 解的渐近性态 一、初边值问题解的渐近性态 考虑一维热传导方程的初边值问题 定理 5.1： 设初始函数 则 ，问题 (5.1) 的唯一古典解 指数衰减趋于零，

证明： 由极值原理和分离变量法知，（5.1）的唯一古典解为 其中 由下面给出： 由（5.2）可知，对一切 ，有 ，故有 由 的定义知当 时，

另一方面，由指数函数的性质知，当 时， 对一切 成立 有 于是当 时，对于 即

二、Cauchy 问题解的渐近性态 考虑一维热传导方程的初值问题 定理 5.2： 设初始函数 是有界连续函数且 则 柯西问题 (5.7) 的唯一古典解 具有如下性质，