Chapter 7 数值积分与数值微分

内容提纲（Outline) 求积公式的代数精度 插值型求积公式 复化求积法

Why do we do numerical integral? 为什么要数值积分？ 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数． Why do we do numerical integral?

问题 ☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. ☎ f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.　　　　　，　　　　　　　　 它们的原函数都不是初等函数. x 1 2 3 4 5 f(x) 4.5 6 8 8.5

求定积分就得通过近似计算－数值积分求得积分近似值 基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时考虑近似精度。 下面首先给出代数精确度的概念

7.1 代数精确度 本章讨论的是形如　　　　　　　　　 　的定积分的数值计算，其中　　为权函数，　　要满足5.4节中所提的条件.

一般把积分区间n个点{xk}上的函数值f(xk)加权Ak的和 作为积分I(f)的近似, 即 或记 　　　　　　　 (2)

上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数 上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积区间、权函数有关．称公式(2)为n点求积公式，有时也称 为一个n点求积公式，　　为求积公式的误差．用此公式)求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分．

构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 　 (i) 确定求积系数Ak和求积节点n； (ii)　求积公式的误差估计和收敛性． 　　　用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准．在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度的定义．

　　　定义１　若对任意的　　　　　　　　，求积公式(2)的误差都满足　　　　　　，则称该求积公式具有n次代数精确度． 　　　验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义１是极不方便的，为此给出另一个定义．

　　 定义2 若对函数　　　　　　　　， 求积公式(2)精确成立，即 　而　　　　　　， 则称其具有n次代数精确度． 　　　因为函数组　　　　　　　 是　　　　的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多．

　　例１　验证求积公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　具有3次代数精确度． 　　解：　当　　　　　　　　　　　　　 　　而　　　　　　　　　　　　 　　有　　　

（1）当　　　　　　　　　　　　　　　 （2）当 （3）当　　　　　

（1）当　　　　　　　　　　　　　　　 故求积公式具有三次代数精确度．

7.2 插值型求积公式 这一节所讨论的求积公式，都是用在区间[a, b]上对被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积函数f(x)导出的公式．这一类求积公式的求积节点　　 　xk，就是对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求积公式称为插值型求积公式． 　　　为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且权函数 　时的插值型求积公式的构造等问题．　

7.2.1 Newton-Cotes求积公式 一、公式的推导 设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为 ， 那么， 令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由　　　　 可知　　　　　． 由Lagrange插值基函数有 而　　　　　　　　，所以

将n次Lagrange插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得 记 称为Cotes求积系数．它与(3)式中的求积系数Ak相差一个常数b-a 　　　　即

把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式．例如 当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为 　n=0,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1, f)后再详细讨论．

二、误差估计 　　求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？ 　　若被积函数　　　　　　 ，记 　　　　　　　　　， 　对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的误差估计式为 (5)

验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，而用直接对插值余项求积的形式，即 (5) 由(5)式，显而易见，当　　　　　　　　时，因　　　　 可知，R(1, f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具有n次的代数精确度．进一步可以证明，当n为偶数时，求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次．

三、几种常见的Newton-Cotes求积公式 对 n=0, 1, 2, 按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes求积公式. 1. n=0时的矩形求积公式 　分别以积分区间[a, b]的左、右端点和区间中点，即x=a，b，(a+b)/2为求积节点得到： 左矩形求积公式： 右矩形求积公式： 中矩形求积公式： 　　三个求积公式的误差估计，可将函数f(x) 分别在 处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间[a, b]上积分 推得．

2. n=1时的梯形求积公式 　　按Cotes系数公式计算得 故求积系数A0, A1为 　　　　　， 梯形求积公式为 记　　　　　　　　　　　 (6)式的几何意义如图7-2所示（见p327） 　　容易验证公式(6)的代数精确度的次数为1. 考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1, f)．假定 时，用推广的积分中植定理，将过(a, f(a)), (b, f(b))点的线性 插值的余项　　　　　　　 在[a, b]上积分，可得 其中 也称为梯形求公式

3. n=2时的Simpson求积公式 　　按Cotes系数公式可以计算出 为此　　　　　　　　，　　　　　， 所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8) 　　公式(8) 称为Simpson求积公式．由7.1节例1可知 Simpson求积公式(8)具有３次的代数精确度． Simpson求积公式(8)的误差估计R(1, f)不能直接有插值 余项　　　　　　　　　　　 利用推广的积分中值定理在 [a, b]上积分推出．原因是　　 在[a, b]上要变号．