1 绪论

§ 1.1 信号与系统 信号(signal) 系统（system） 信号理论与系统理论

信号(Signal) 消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。 信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。 信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。 电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。

系统(System) 系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统等。

通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。

系统(System) 系统可以看作是变换器、处理器。 电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。 在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用

信号理论与系统理论 信号分析：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。 信号传输 信号处理 信号理论 　 　　的描述、性质等。 信号传输 信号处理 信号理论 系统分析：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。 系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统。 系统理论 重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。

信号与系统的关系

§1.2 信号的描述和分类 信号的分类 典型确定性信号

一．信号的分类 信号的描述 函数 f(t) 波形 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。 按实际用途划分 电视信号 雷达信号 控制信号 通信信号 广播信号 …… 按所具有的时间特性划分

1．确定性信号和随机信号 确定性信号 对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。 若干不连续点除外。 随机信号 伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。

2．周期信号和非周期信号 瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号。

3．连续信号和离散信号 连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。 用t表示连续时间变量。 f(t) t O f(n) 离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。 用n表示离散时间变量。 n O 1 2

4．模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。 抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信号。 量化 数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。 主要讨论确定性连续时间信号。 先连续，后离散；先周期，后非周期。

判断信号性质 判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？ 连续信号 离散信号 离散信号 数字信号

5．一维信号和多维信号 一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。 多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。

6. 功率信号和能量信号 信号的能量： 在整个时间轴上， 信号的功率：

非功非能信号： （W→∞，P→∞） 功率信号： 平均功率为有限值而信号总能量为无限大。 （0<P<∞，W→∞） 能量信号： 能量为有限值而平均功率为零。 （ 0<W<∞，P=0） 非功非能信号： （W→∞，P→∞）

二．几种典型确定性信号 1.指数信号 信号的表示 函数表达式 2.正弦信号 波形 3.复指数信号(表达具有普遍意义) 3. 抽样信号(Sampling Signal) 5.钟形脉冲函数(高斯函数)

1．指数信号 单边指数信号 通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。 l     直流(常数), l       指数衰减, K l      指数增长 单边指数信号 O 通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。

2．正弦信号 振幅：K 周期： 频率：f 角频率： 初相： 衰减正弦信号：

欧拉(Euler)公式

3．复指数信号 讨论

4．抽样信号(Sampling Signal) 性质 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

5．钟形脉冲函数(高斯函数) 在随机信号分析中占有重要地位。

§1.3 信号的运算 信号的自变量的变换 移位　反褶　尺度　一般情况 微分和积分 两信号相加或相乘

一．信号的自变量的变换（波形变化） 1.信号的移位 2.信号的反褶 3.信号的展缩（尺度变换） 4.一般情况

1．信号的移位  > 0，右移(滞后)  < 0，左移(超前) 例： f(t+1)的波形？

2．反褶 以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 例：

3．信号的展缩(Scale Changing) 波形的压缩与扩展，尺度变换

f(t)f(2t) t2t，波形压缩。

4．一般情况 展缩 平移 加上倒置： 注意！ a<0 一切变换都是相对t 而言 最好用先展缩后平移的顺序

例题 已知f(t)，求f(3t+5)。 解: 时移 标度 变换 标度 变换 时移 X

二．微分和积分 冲激信号

三．两信号相加和相乘 同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。

§1.4 阶跃信号和冲激信号 单位斜变信号 单位阶跃信号 单位冲激信号 冲激偶信号

一．单位斜变信号 1． 定义 2．有延迟的单位斜变信号 由宗量t -t0=0 可知起始点为 3．三角形脉冲

二．单位阶跃信号 1. 定义 2. 有延迟的单位阶跃信号 3. 应用 表示单边信号。

b. 表示矩形脉冲。 门函数：也称窗函数 其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。

c.表示符号函数 符号函数：(Signum)

三．单位冲激函数 概念引出 定义1 定义2 定义3 冲激函数的性质

定义1：狄拉克(Dirac)函数 函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1； t =0 时， ，为无界函数。

定义2 面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑； 则窄脉冲集中于 t=0 处。 ★面积为1 三个特点： ★宽度为0 ★

描述 时移的冲激函数 若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0极限，都可以认为是冲激函数。

定义3 以分配理论为基础定义

冲激函数的性质 1．抽样性 2．奇偶性 3．标度变换 4．微分性质（冲激偶）和积分性质 5. 卷积性质

抽样性(筛选性) 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有 对于移位情况：

2. 奇偶性 3. 对(t)的标度变换

4.微、积分性质 5.卷积性质

4.冲激偶

冲激偶的性质 ① ② ③ 时移 ，则： ④ X

冲激函数的性质总结 （1）抽样性 （5）冲激偶 （2）奇偶性 （3）比例性 （6）卷积性质 （4）微积分性质

四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系 导 ↓ ↑ 分 (t)

§1.5 信号的分解 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量

一．直流分量与交流分量 信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率

二．偶分量与奇分量 对任何实信号而言： 信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率

例：求f(t)的奇分量和偶分量

三．典型信号分量 信号分解为典型信号的有限项之和 典型信号在信号系统分析理论中有专门的分析研究，如将信号分解成了它们的有限和式，则信号本身的分析结果也就基本明朗了。 举例 见1.4 符号函数

四．脉冲分量 1．矩形窄脉冲序列 此窄脉冲可表示为

出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和。

2．连续阶跃信号之和 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。

五．实部分量与虚部分量 瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。 共轭复函数 即 实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。

六．正交函数分量 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这将是本课程讨论的主要课题。 我们将在第三章中开始学习。

七．利用分形（fractal）理论描述信号 分形几何理论简称分形理论或分数维理论； 创始人为B.B.Mandelbrot; 分形是“其部分与整体有形似性的体系”； 在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具有自相似特征的信号。 示例 可浏览网站：http://www.fractal.com

§1.6 系统模型及其分类 系统的定义和表示 描述系统的基本单元方框图 系统的分类

一．系统的定义和表示 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 方框图：形象地表示其功能。

二．描述系统的基本单元方框图 1.加法器 2.乘法器 3.标量乘法器（数乘，比例） 4.微分器 5.积分器 6.延时器

基本元件1 1.加法器 2.乘法器 注意: 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。 3.标量乘法器（数乘器，比例器）

基本元件2 4.微分器 5.积分器 6.延时器

三．系统的分类 1．连续时间系统与离散时间系统 a.定义 连续时间系统：输入信号与输出信号都连续，并且其内部也未转换为离散信号。 离散时间系统：输入信号与输出信号都离散。 混合系统：连续系统与离散系统组合运用 b.数学模型 连续时间系统：微分方程 离散时间系统：差分方程

2．即时系统与动态系统 a.定义 即时系统（无记忆系统）： 系统的输出只由相同时刻的激励信号决 定，而与过去的工作状态无关。 系统的输出只由相同时刻的激励信号决 定，而与过去的工作状态无关。 动态系统（记忆系统）： 系统的输出信号不仅与同时刻的激励信 号有关，还与它过去的工作状态有关。

b.数学模型 即时系统（无记忆系统）：代数方程 动态系统（记忆系统）：微分方程或差分方程

3．集总参数系统与分布参数系统 a.定义 集总参数系统：只由集中参数元件组成 分布参数系统：含有分布参数元件 b.数学模型 集总参数系统：常微分方程（t) 分布参数系统：偏常微分方程（t,x,y,z)

4．线性系统与非线性系统 a.定义 线性系统：即具有叠加性又具有均匀性 非线性系统：不具有叠加性或均匀性 b.数学模型 线性系统：线性方程 非线性系统：非线性方程

5．时变系统与时不变系统 a.定义 时变系统：系统的参数随时间变化 时不变系统：系统的参数不随时间变化 b.数学模型 时变系统：变系数方程 时不变系统：常系数方程

6．可逆系统与不可逆系统 可逆系统：e(t)不同，r(t)不同 例：r(t)=5e(t) 不可逆系统：e(t)不同，r(t)相同

判断方法 7.因果系统与非因果系统 因果系统：系统在t0时刻的响应只与t= t0和t<t0时刻的输入有关 输出不超前于输入

例题 现在的响应=现在的激励+以前的激励 所以该系统为因果系统。 未来的激励 所以该系统为非因果系统。

1.实际的物理可实现系统均为因果系统 2.因果信号 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。 2.因果信号 t = 0接入系统的信号称为因果信号。 表示为：

8．稳定系统与非稳定系统 多种定义形式 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。

§1.7 线性时不变系统 线性特性 时不变特性 线性时不变系统的微分特性 因果性

一．线性特性 1.定义 线性: 指均匀性，叠加性。 均匀性(齐次性)： 叠加性：

线性特性

2. 判断方法 先线性运算，再经系统 = 先经系统，再线性运算 若 则系统 是线性系统,否则是非线性系统。

例 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? 分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明： 系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 所以此系统为非线性系统。 请看下面证明过程

证明均匀性 设信号e(t)作用于系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则 原方程两端乘A： (1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性

证明叠加性 假设有两个输入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有： 当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有 (3)+(4)得 假设有两个输入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有： 当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有 (3)+(4)得 (5)、(6)式矛盾，该系统不具有叠加性

二．时不变特性 认识: 电路分析上看:  从方程看: 从输入输出关系看: 元件的参数值是否随时间而变。 系数是否随时间而变。

时不变性

2. 判断方法 先时移，再经系统 = 先经系统，再时移 若 则系统 是非时变系统,否则是时变系统。

例题 判断下列两个系统是否为非时变系统。 系统1： 系统2： 1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。 所以此系统为时不变系统。

系统2： 系统作用:输入信号乘cost 此系统为时变系统。

三．线性时不变系统的微分特性 线性时不变系统满足微分特性、积分特性 利用线性证明，可推广至高阶。

四.因果特性 在零状态条件下,LTI系统具有因果特性.

重点研究: 确定性信号作用下的集总参数线性时不 变系统 。

建立数学模型→用数学方法去处理→给出物理解释 §1.8  系统分析方法 系统分析的过程： 建立数学模型→用数学方法去处理→给出物理解释

一.建立系统模型的两种方法 输入输出描述法： 着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况； 单输入单输出系统； 列写一元 n 阶微分方程。 状态变量描述法： 不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，如电容电压 或电感电流 的变化情况。 研究多输入/多输出系统； 列写 n 个一阶微分方程。

二. 数学模型的求解方法 1.时域分析 2.变换域分析 傅里叶变换——FT 拉普拉斯变换——LT z 变换——ZT 离散傅里叶变换——DFT ●卷积积分（或卷积和）法 2.变换域分析 傅里叶变换——FT 拉普拉斯变换——LT z 变换——ZT 离散傅里叶变换——DFT 离散沃尔什变换——DWT