第五节 函数的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第二章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 当 x 在 取 得增量 时, 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 在点 可微, 而 称为 的微分, 记作 即 定理: 函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 在点 可微, 而 称为 的微分, 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 在点 的可导, 则 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 当 时 , 所以 时 与 是等价无穷小, 故当 很小时, 有近似公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分的几何意义 切线纵坐标的增量 当 很小时, 记 自变量的微分, 记作 则有 导数也叫作微商 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如, 又如, 基本初等函数的微分公式 (见 P115表) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 5. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为 微分形式不变 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 例2. 设 求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 运行时,点击“注意----” 或 “注意”按钮,可显示反问题的例, 运行完后自动返回 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 注意 目录 上页 下页 返回 结束

数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 注意 目录 上页 下页 返回 结束

三、 微分在近似计算中的应用 当 很小时, 得近似等式: 使用原则: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别当 很小时, 常用近似公式: 很小) 证明: 令 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 求 的近似值 . 解: 设 取 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 计算 的近似值 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 用铜多少克 . 解: 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在 时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、 微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 四、 微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

误差传递公式 : 若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 按公式 计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限 欲利用公式 计算 圆钢截面积 , 试估计面积的误差 . 解: 计算 A 的绝对误差限约为 (mm) A 的相对误差限约为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微 可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 近似计算 3. 微分的应用 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点 处的 及 并说明其正负 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5. 设 由方程 确定, 求 解: 方程两边求微分, 得 当 时 由上式得 6. 设 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12 习题课 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 已知 求 解：因为 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 已知 求 解： 方程两边求微分, 得 习题课 目录 上页 下页 返回 结束