第十二章 积分变换法 ——求解偏微分方程的另一种方法 第十二章 积分变换法 ——求解偏微分方程的另一种方法 积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法．对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量的求导运算个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解．积分变换法在数学物理方程，尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨拙，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解．

1.积分变换

2.为什么进行积分变换？

第一节 傅里叶变换 一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数

傅里叶级数的复数形式（指数形式）：

二、傅里叶积分和傅里叶积分定理

从傅里叶级数到傅里顺积分的过渡：

三、傅里叶变换的定义

例 1 求矩形脉冲函数 的傅氏变换及其积分表达式。

f (t) t

讨论: d-函数的傅氏变换为: 于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.

在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F(w) 构成一个傅氏变换对.

例3 证明：1和2pd (w)构成傅氏变换对. 证法1： 证法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得

例4 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。 O w |F(w)| 

例 5 证明： 证：

四、傅里叶变换的性质

例6 计算 。 方法1：（先用平移性，再用相似性）

例6 计算 。 方法2：（先用相似性，再用平移性）

证： 因为 知

实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换, 则绝大部分的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.

例7 若 f (t)=cosw0t  u(t), 求其傅氏变换。

卷积的简单性质：

卷积定理：

例8求下列函数的卷积： 由卷积的定义有

例10 求 的傅氏变换。

证明：

第二节 傅里叶变换法 应用范围：求解无界区域的定解问题 用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤： 第二节 傅里叶变换法 应用范围：求解无界区域的定解问题 用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤： （1）对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分方程； （2）求解像函数； （3）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解（作反演）。

例1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出） 【解】 对方程及初始条件做傅立叶变换 简化表示为

对其它函数也作傅氏变换，即为 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题

例2 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题 【解】 作傅氏变换， 定解问题变换为

常微分方程的初值问题的解是 再进行逆傅里叶变换， 交换积分次序 引用积分公式 且令

例3 定解问题： 【解】 对于变量 作傅氏变换，有 定解问题变换为常微分方程 因为 可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为

因为 ，故得到 常微分方程的解为 设 根据傅氏变换定义， 的傅氏逆变换 为 再利用卷积公式 最后得到原定解问题的解为 容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式．

第三节 拉普拉斯变换 一、拉氏变换的定义 Fourier变换的两个限制：

f (t) O t f (t) e-st O t

1. 定义：

例1 求单位阶跃函数 根据拉氏变换的定义, 有 这个积分在Re( p)>0时收敛, 而且有

例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数t>0). 根据拉氏变换的定义, 有 这个积分在Re(p)>k时收敛, 而且有 其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(p)>Re(k)

2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1)在t < 0,f(t)=0;在t  0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M > 0及 s0 0, 使得 , 0 t < 则 f (t)的拉氏变换 在半平面Re(p)> s0上一定存在, 并且在Re(p) > s0的半平面内, F(p)为解析函数.

f (t) M O t

说明：由条件2可知, 对于任何t值(0t<), 有 | f (t)e-pt|  Me- e t 所以 注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.

3、常用函数的拉氏变换

二 Laplace变换的性质与计算 现在介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为s0，在证明性质时不再重述这些条件.

2.微分性质: 特别当 时，有 此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程转化为F(p)的代数方程.

象函数的微分性质: 例3 求 (k为实数) 的拉氏变换.

3. 积分性质: 例4 求 的拉氏变换.

象函数积分性质: 则

例5 求函数 的拉氏变换.

例6 求函数 的拉氏变换. 1 u(t-t) t O

例7 求 的拉氏变换.

6 卷积 1. 卷积的概念：两个函数的卷积是指 如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t<0时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成：

卷积定理： 注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积.

例8

三 Laplace逆变换 前面主要讨论了由已知函数f (t)求它的象数F(p), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问题, 即已知象函数F(p)求它的象原函数 f (t). 由拉氏变换的概念可知, 函数 f (t)的拉氏变换, 实际上就是 f (t)u(t)e-st 的傅氏变换.

因此, 按傅氏积分公式, 在f (t)的连续点就有 等式两边同乘以est, 则

右端的积分称为拉氏反演积分. 积分路线中的实部 s 有一些随意, 但必须满足的条件就是e-stf (t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难, 但是可以用留数方法计算.

虚轴 s+iR 为奇点 CR L 解析 O s 实轴 R s-iR

四 Laplace变换的应用 对一个系统进行分析和研究, 首先要知道该系统的数学模型, 也就是要建立该系统特性的数学表达式. 所谓线性系统, 在许多场合, 它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述, 或者说是满足叠加原理的一类系统. 这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中, 都占有很重要的地位. 本节将应用拉氏变换来解线性微分方程.

微分方程的拉氏变换解法 象原函数 (微分方程的解) 象函数 取拉氏逆变换 解代数 方程 微分方程 象函数的 代数方程 取拉氏变换

例1 求解 。

例2 求解