第八章 不定积分

§1 不定积分的概念和基本积分公式 原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则

一、原函数与不定积分的概念 定义： 例

原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例 （ 为任意常数）

关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数）

不定积分的定义： 积分号 被积函数 被积表达式 任意常数 积分变量

例1 求 解 例2 求 解

例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为

显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

二、 基本积分表 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.

基本积分表  是常数); 说明： 简写为

例4 求积分 解 根据积分公式（2）

三、 不定积分的性质 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

例5 求积分 解

例6 求积分 解

例7 求积分 解

例8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.

解 所求曲线方程为

四、 小结 原函数的概念： 不定积分的概念： 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质

思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？

思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.

练习题

练习题答案

§2 换元积分法和分部积分法

一、第一类换元法 问题 ？ 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令

在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理

定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同.

例1 求 解（一） 解（二） 解（三）

例2 求 解 一般地

例3 求 解

例4 求 解

例5 求 解

例6 求 解

例7 求 解

例8 求 解

例9 求 原式

例10 求 解

例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.

例12 求 解

例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）

解（二） 类似地可推出

例14 设 求 . 解 令

例15 求 解

二、第二类换元法 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果）

则有换元公式 定理2 证 设 为 的原函数, 令 则

第二类积分换元公式

例16 求 解 令

例17 求 解 令

例18 求 解 令

说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令

说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令

说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 例19 求 （三角代换很繁琐） 解 令

例20 求 解 令

说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例21 求 令 解

例22 求 （分母的阶较高） 令 解

说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例23 求 解 令

基本积分表 

三、小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(2) 思考题 求积分

思考题解答

练 习 题

练习题答案

一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 §3 几类特殊函数的不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分

一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之.

假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和.

有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ，则分解后为 特殊地： 分解后为

（2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为

真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1

例2 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入

例3 整理得

例4 求积分 解

例5 求积分 解

例6 求积分 令 解

说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令

记 则

这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.

二、三角函数有理式的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为

令 （万能置换公式）

例7 求积分 解 由万能置换公式

例8 求积分 解（一）

解（二） 修改万能置换公式, 令

解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.

例9 求积分 解

三、简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例10 求积分 解 令

例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.

例12 求积分 解 先对分母进行有理化 原式

四、小结 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 简单无理式的积分.

思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？

思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式.

练习题

练习题答案

不定积分习题课

一、主要内容 原 函 数 不 定 积 分 积分法 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 直接 积分法 第一换元法 原 函 数 不 定 积 分 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 积分法 直接 积分法 第一换元法 第二换元法 几种特殊类型 函数的积分

1、原函数 定义 原函数存在定理 即：连续函数一定有原函数．

2、不定积分 (1) 定义

(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. (3) 不定积分的性质

3、基本积分表 是常数)

4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 5、第一类换元法 第一类换元公式（凑微分法）

常见类型:

6、第二类换元法 第二类换元公式

常用代换:

7、分部积分法 8.选择u的有效方法:LIATE选择法 分部积分公式 L----对数函数； I----反三角函数； A----代数函数；

9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法

四种类型分式的不定积分 此两积分都可积,后者有递推公式

（2） 三角函数有理式的积分 定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令

（3） 简单无理函数的积分 讨论类型： 解决方法： 作代换去掉根号．

二、典型例题 例1 解

例2 解

例3 解

例4 解 (倒代换)

例5 解

解得

例6 解

例7 解

例8 解

例9 解

例10 解

例11 解

测 验 题

测验题答案