第五章 用差分法和变分法解平面问题 一、本章学习指导 第五章 用差分法和变分法解平面问题 　 　　一、本章学习指导 　　　l、弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变和位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件建立微分方程和边界条件，并由此求解应力、形变和位移。从数学上看，弹性力学问题可化为微分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。

　　 但是对于工程实际问题，由于荷载、边界等较为复杂，难以求出函数式的解答。从弹性力学基本理论建立以来，为了解决工程实际问题，人们就探讨各种可供应用的近似解法。弹性力学中最主要的近似解法是变分法、差分法和有限单元法。

　　　2．差分法是微分方程的一种近似数值解法。在差分法中，将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微分方程及其边界条件交换为差分（代数）方程，使问题易于求解。在这种方法中，采用了将函数离散的手段；

　　3．变分法是弹性力学中另一独的求解方法。在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建立变分方程，并进行求解。弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的，可以互相导出。 　　　由于变分法得出的常常是近似的解答，所以也将变分法归入弹性力学的近似解法。

　　　4．有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中，首先将区域离散化，把连续体变换为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。有限单元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。 　　　5．对于工程技术人员来讲，这些弹性力学的近似解法，是用来解决实际问题的有效手段。因此，不仅要求理解，而且．要能应用这些近似解法。

二、 应力函数的差分解 对于单连体，按应力函数Φ求解时， Φ应满足 （1）在区域A内，相容方程 ▽4 Φ＝0 　　　二、 应力函数的差分解 　　　对于单连体，按应力函数Φ求解时， Φ应满足 　　（1）在区域A内，相容方程 ▽4 Φ＝0 　　（2）在边界s=sσ上，　　(lσx+mτyx)s= 　　(lσy+mτxy)s= 　　　当求出Φ后，便可以由求出应力（假设无体力的情形）。

　　　应用差分法求解时，可将上述方程和公式转化为差分公式。这里应注意，公式中的（x，y）是连续函数，它覆盖整个弹性体的区域及边界。但在差分法中，各种方程或公式是按结点来表示的，对每一个结点应列一个方程或公式。

　　下面简述差分法的求解方法。 1、应力公式的差分表示。对于0点的应力公式，可以表示如下：

　　　2．将相容方程（重调和方程）化为差分方程。对于0点，可列出的差分方程 　20 Φ－8（ Φ1＋ Φ 2＋ Φ 3＋ Φ 4）＋2（ Φ 5 ＋Φ 6＋ Φ 7 ＋Φ8）＋（Φ 9＋Φ 10＋Φ11 ＋Φ12）＝0 　 　 在弹性体区域A内划出等间距的纵横网格，取每一个内结点的Φ为基本未知值；并对每一个内结点列出上式的差分方程，便可用来求解各内结点的Φ值。 　　　　由于0点的上式方程涉及此点周围两倍网格间距上的结点的Φ值，因此，对边界内一行的结点列上式的方程时，必须知道边界结点处的Φ值，和边界外一行结点（称为虚结点）处的Φ值。这就需要用到应力边界条件。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3、应用应力界条件求出边界结点上的Φ和 ， 值。 　　　3、应用应力界条件求出边界结点上的Φ和　，　值。 　　4 、用应力函数的差分解法来解时，可以按下列步骤进行： 　　（l）在边界上选定基A，令ΦA＝0，计算边界上各点的Φ ，　，　值。 　　（2）求出边界外一行虚结点处的Φ值。 　　（3）对每一个内结点列的差分方程，联立求解各内结点的Φ值； 　　（4）应用式（5－5）求各结点的应力值。

　　　差分法的优点是： 　　l．差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。我们总可以将微分方程化为差分方程并得出其数值解答。 　　2．差分法简便易行，且借助于计算机以取较密的网格进行分析，以求得足够精确的解答。例如，对于矩形薄板的弯曲、稳定和振动等问题，可以用差分法很方便地得出解答。 　　　3．对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用差分法进行分析。例如，若用结构力学方法计算出刚架结构的整体内力分布后，则可用差分法进一步分析刚架结点附近的局部应力状态。 　

　　　 差分法的缺点是： 　　1．对于由曲线边界和斜边界等产生的不等间距网格，虽然可以得出相应的不等间距的差分公式，或者可改造成为等间距的网格进行分析，但都比较麻烦和易于出错。 　　　2．差分法比较适用于解二维问题或平面问题，这时的网格较为直观，易于图示。 　　3．差分法比较适用于等间距网格，对于应力等变化较为剧烈时，需采用二次网格进行计算。 　　4．凡是近似解，在进行求导运算时会降低精度。

　　三、 位移变分法 　位移变分法是取位移为基本未知函数。位移函数应预先满足sμ上的约束（位移）边界条件，然后再令其满足位移变分方程。 1．瑞利一里茨法 由于位移函数本身是未知的，无法进一步考虑它们应满足的条件。在变分法中采用先设定位移试函数的方法来进行求解。

　 　　2、迦辽金法 　在迦辽金法中，仍然设立位移试函数，但令μ、ν不仅满足sμ上的位移边界条件，而且也满足sσ上的应力边界条件（由位移求对应的应力，并使之满足应边界条件）。亦即设立的位移预先满足了全部边界条件。

　　　　对变分法的简单评价 　　（1）位移变分法适用于具有各种边界条件的问题，因此，它的适用范围广泛。 　　（2）变分法中设定试函数时，一般总是局限于某种函数的范围内，不是完全任意的。因此，变分法得出的通常是近似解。 　　（3）由于位移解答是近似解，在求导运算后要降低精度。因此，在位移变分法中，应力的精度低于位移的精度。

　　　（4）用变分法求解实际问题时，主要的难点在于： 　　　　a。设定试函数必须预先满足一定的边界条件； 　　　　b．当试函数中所取项数较多时，文字符号的计算工作量很大。但与求解微分方程的解法相比，变分法具有更容易和更有可能地解决实际问题的能力。因此，变分法得到了广泛的应用。 　　

　　　（5）变分法也是有限单元法的理论基础。将连续体中的变分原理应用到离散化结构，是导出有限单元法的主要途径。在上世纪中，有限单元法得到迅速的发展和广泛的应用，同时也促进了变分法的发展和应用。　　　

第六章 用有限单无法解平面问题 一、本章学习指导 　第六章 用有限单无法解平面问题 一、本章学习指导 l．有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学数值解法。它是解决各种力学问题和进行结构分析的非常有效的数值方法，具有极大的通用性和灵活性，可以编制通用程序上机进行计算，能够解决各种复杂的工程问题的分析并达到所需的精度。

　　　2．有限单元法的两种主要导出方法 　　（1）结构力学方法——首先将结构离散化，把连续体化为离散化结构，再应用结构力学方法求解，这种导出方法采用了工程技术人员所熟悉的结构力学方法，它的物理概念清晰，易为工程技术人员理解和接受。本书主要采用这种方法导出有限单元法。 　　（2）变分方法——同样将连续体化为离散化结构，再将连续体中的变分原理推广应用到离散化结构，从而导出有限单元法；这种导出方法简单，应用也非常广泛。

　　　3．有限单元法的特点 　　（1）有限单元法具有极大的通用性和灵活性。由于结构的离散化，可以方便地适应各种边界条件的问题，还可以采用不同的单元形状和大小，在使用上都优于变分法和差分法。现在它已成为求解微分方程边值问题的一种数值解法。 　　（2）对同一类问题的有限单元法，可以编制出通用的程序，应用计算机进行计算。因此，对具体问题来讲，只需填入信息就可以得到计算结果。　　

　　（3）只要适当加密单元的网格，就可达到工程要求的精度。 　　　4、有限单元法已经广泛地应用于各种工程问题，成为结构分析的强有力手段。因此，有限单元法是土木、水利等工程师的必备知识，同学应很好地掌握，并能熟练地应用这种分析方法。