第四章　不定积分

本章主要内容 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 不定积分的基本公式与直接积分法 §4.3 换元积分法 §4.4 分部积分法

学习目标 理解原函数和不定积分的概念，了解不定积分的几何意义，掌握不定积分的性质. 掌握基本积分公式与直接积分法. 掌握第一类换元积分法，熟悉常用的凑微分公式，理解第二类换元积分法. 掌握分部积分法.

§4.1 不定积分的概念与性质 一. 原函数的概念与性质 1、实例引入 （1）已知速度 v(t), 求路程s(t) （2）已知曲线上任一点处的切线的斜率，求曲线的方程 共同点：已知一个函数的导数，求原来那个函数

2、定义1 设f(x)是定义在某区间上的函数，如果存在一个函数F(x),使得对于该区间上的任一点x都有 或 那么函数 F(x)称为f(x)在该区间上的一个原函数 3、原函数的性质 问题1 函数应具备什么条件，才能保证它的原函数存在? 定理l 如果函数在某区间上连续，那么在该区间上的原函数存在

问题2 如果函数有原函数，那么原函数一共有多少个? 定理2 如果函数有原函数，那么它就有无数多个原函数． 问题3 函数的任意两个原函数之间有什么关系? 定理3 函数的任意两个原函数的差是一个常数． 上述定理表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数 ,那么 F(x)+C (C为任意常数) 就是函数的全部原函数．

其中 “ ” 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量 . 二、不定积分的定义 定义2 函数f(x)的全部原函数叫作函数f(x)的不定积分，记作 其中 “ ” 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量 . 如果F(x)是函数f(x)的一个原函数，则有

例 （1）求不定积分 （2）用微分法证明： （1）解： 因为 所以 是 的一个原函数 ，即有 （2）证明： 因为

即 是 的一个原函数， 所以 三、不定积分的几何意义 若把函数f(x)的一个原函数F(x）的图象叫作函数的积分曲线.则不定积分在几何上表示由积分曲线沿轴上下平移而得到的一族曲线(称为积分曲线族)．且积分曲线族上横坐标相同的点处的切线的斜率都相等，即切线都平行(图4—2)．

四、不定积分的性质 性质1 微分运算与积分运算互为逆运算 即 （1） （2） 或 性质2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面 即

性质3 两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和 即： 此性质对有限个函数代数和的情形也是成立的。

§4.2 不定积分的基本公式与直接积分法 一、引入 由于积分运算是微分运算的逆运算，因此由一个导数公式可以相应地写出一个不定积分公式 §4.2 不定积分的基本公式与直接积分法 一、引入 由于积分运算是微分运算的逆运算，因此由一个导数公式可以相应地写出一个不定积分公式 例如 因为 ， 所以 因为 ， 所以 类似地，可以推导出其他基本积分公式．得基本积分公式表

二、不定积分基本公式表

三、直接积分法 1、什么叫直接积分法？ 直接用不定积分的基本公式与性质求不定积分，或者对被积函数进行适当的恒等变形(包括代数变形与三角变形)，再利用不定积分基本公式与性质求不定积分的方法叫作直接积分法 2、直接积分法的应用 例1 求下列不定积分：

解 分析：这四个不定积分表面形式不同，实质上其被积函数均可化为 的形式，故利用公式1、2即可求解

解： 此不定积分可看做三个函数代数和的不定积分，利用性质将其化为三个不定积分之和，再利用基本公式求出。 例2 求 解： 此不定积分可看做三个函数代数和的不定积分，利用性质将其化为三个不定积分之和，再利用基本公式求出。 注意： 在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数之和仍是任意常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可．

例3 求 解 ： 例4 求 解：

例5 求 解： 例6 求（1） （2） 解（1） （2） 可作类似的恒等变形而求解

把 t=1, s=5 代入上式，得 C=6．因此，所求物体的运动方程为 例7 一物体作直线运动,速度为 ，当 时,物体所经过的路程为5m，求物体的运动方程． 解 ： 设物体的运动方程为 依题意有 所以 把 t=1, s=5 代入上式，得 C=6．因此，所求物体的运动方程为

§4.3（一） 第一类换元积分法 一、引入 例 求 分析： （1）能否利用直接积分法求出积分？ （2）怎么办？

所以 是 的原函数, 验证 ：因为 , 可否推广？这正是本次课所要研究的内容 二、、第一类换元积分法的思路与步骤 所以 是 的原函数, 验证 ：因为 , 这说明上面的计算方法是正确的． 可否推广？这正是本次课所要研究的内容 二、、第一类换元积分法的思路与步骤 1、定理：如果 ，则 其中 是 的任一个可微函数。 证：由于 ，所以 根据微分形式不变性，则有： 其中 是x的可微函数 故

2、思路 通过换元（恒等变形），将不能直接应用积分公式的 ，化为能利用积分公式的 求出结果 3、步骤

这种求不定积分的方法叫第一类换元积分法．上述步骤中，关键是怎样选择适当的变量代换 ,将 凑成 , 因此第一类换元法又叫凑微分法．实质上凑微分法是复合函数求导法则的反应用。 三、第一类换元积分法的应用 例1 求 解：

例3、求 解： 例5、求 解：

例6 求 解： 类似地可得： 例8 求 解： 因为

所以 例10 求 解法1

解法2

问题：解法1与解法2的结果不同，为什么？ 实际上，利用三角变换可化为相等，仅是形式的不同。 一般来说，在求不定积分时，采用不同的方法可能求得的结果形式不一样，这是由不定积分的表达式中含有一个任意常数所致，只要用微分法验证是正确的即可

第一类换元积分法的关键是恰当的凑微分，需熟记一些凑微分公式，例如：

§4.3（二） 第二类换元积分法 一、引入 问题 ：（1）直接积分法能否求解？ 需学习解决这类问题的新方法――第二类换元积分法。 求 §4.3（二） 第二类换元积分法 一、引入 求 问题 ：（1）直接积分法能否求解？ （2）第一换元积分法能否求解？ 需学习解决这类问题的新方法――第二类换元积分法。

二、第二类换元积分法的思路与步骤 1、 思路：适当地选取相反的变量代换 ，将 化为容易求出的 ，从而求出结果。 2、步骤： 其中 单调可微，且 ．

当被积函数中含有根式 时，设 ,则可消去根号，从而可求出积分． 三、第二类换元积分法的应用 例11 求 解：令 则 于是 当被积函数中含有根式 时，设 ,则可消去根号，从而可求出积分．

例13 求 解：令 则 于是

在上述结果中,为了把变量t还原为x，必须求t、sint、cost. 三角形（如图4－3）求得。 例14 求 解 ： 令

则 于是

其中， 根据 作辅助 直角三角形(如图4—4)求得。 当被积函数含有形如 或 的根式时，可作如下变换消去根号： (1)对 ，令 ； (2)对 ，令 ； (3)对 ，令 ． 上述三种变量代换统称为三角代换．

本节例题中的某些积分，以后在求其他积分时常常会遇到，可以作为公式使用，现列出如下(编号接基本积分公式表)：

例17 求 解： （利用公式（19））

§4.4 分部积分法 一、引入 求： 分析：（1）前面的方法能否求解？ （2）怎么办？ 学习求不定积分的另一方法——分部积分法．

二、推导分部积分公式 或简写为 1、定理：设函数 与 具有连续导数， 则有分部积分公式 2、证明： 由两个函数乘积的导数公式，得

移项，得 两边积分，得 即 因为 所以分部积分公式又可写成下面的形式：

三、分部积分法的思路与步骤 1、思路： 对 ，如利用直接积分法与换元积分法均不能求出时，我们常常将 先恒等变形为 ，然后再利用分部积分公式转化为能求出的 而求出结果。 这种积分的方法叫作分部积分法。 2、步骤

四、分部积分法的应用 例1 求 解 ： 因为 所以可设 由分部积分公式，得 问题：可否令

用分部积分法求积分时,关键在于恰当选取u与v.一般地，选取u和v,要考虑以下两点： (2) 要比 容易积出． 例2 求 解：

解： 被积函数只有一项，但可看作arcsinx与l的乘积，即 由此例可知，对某些积分，需连续应用分部积分公式而求得． 例5 求 解： 被积函数只有一项，但可看作arcsinx与l的乘积，即

例6 求 解： 把等式右边的 移到等式的左边，得 所以

上题中，经两次分部积分后,出现了“循环现象”,这时可通过解方程的方法求得积分．这在分部积分中是一种常用的技巧． 一般来说，下述几种类型的不定积分，均可用分部积分公式求解 （可设 ，或 ） 3） （可设 ） 2） 1） （可设 ）

直接积分法、换元积分法、分部积分法各有其适用范围，但不能截然分开，有时需综合使用。 例7 求 ． 解：令 ，即 ．则 ． 于是 在此例中，我们先用换元积分法消去根号，再用分部积分法求得最终结果．