§5 曲线拟合的最小二乘法 一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘 法)的一般提法是: 对给定的一组数据 ,要求在函数类 中找 一个函数 ,使误差平方和 其中 带权的最小二乘法： 其中 是［a, b］上的权函数。

用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在 中求一函数 ，使 取的最小。它转化为求多元函数 的极小点 问题。由求多元函数极值的必要条件，有

若记 则上式可改写为 这个方程称为法方程，矩阵形式 其中

由于 线性无关，故 ，方 程组存在唯一解(Haar条件) 从而得到函数 的最小二乘解为 可证 故 是所求最小二乘解。

解：根据所给数据知，可选择线性函数作拟合曲 线。 令 这里 故 例 :已知一组实验数据,求它的拟合曲线。 解：根据所给数据知，可选择线性函数作拟合曲 线。 令 这里 故 1 2 3 4 5 4.5 6 8 8.5

由方程组 所求拟合曲线为

例： 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓 度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲 线 解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲 线函数或指数函数。 1)双曲线函数拟合 双曲线型： 即 时间t(分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 浓度 ×10-3 4. 00 6. 40 8. 80 9. 22 50 70 86 10. 20 32 42 55 58 60

为了确定 令 由数据表t, y生成数据表 于是可用 的 线性函数 拟合数据 。方法与上例一样解方程组 得 从而有 其各点误差为

2）指数函数拟合 拟合曲线形如 两边取对数 为了确定 令 拟合数据的曲线仍为 用上例的方法计算出 从而 最后求得 各点误差为

3)两个模型的比较 本例经计算可得 均方误差为 由此可知 都比较小，所以用 作拟合曲线较好。 确定拟合曲线的数学模型需要选择比较。

用正交函数作最小二乘拟合 法方程组系数矩阵G是病态的，但如果 是关于点集 带权 正交的函数族，即 则方程的解为 且平方误差为

根据给定节点 及权函数 ， 造出带权 正交的多项式 。注 意 ，用递推公式表示 ，即 其中Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，且

证明：用归纳法（略）。

用正交多项式 的线性组合作最小二 乘曲线拟合，只要根据公式逐步求 的同时， 相应计算出系数 并逐步把 累加到 中去，最后就可得 到所求的拟合曲线 这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定。

用这种方法编程序不用解方程组，只用递 推公式；当逼近次数增加一次时，只要把程序 中循环数增加1，其余不用改变。此为目前用多 项式作曲线拟合最好的方法。 多元最小二乘拟合 已知多元函数 的一组测量数据 ，以及一组权数 要求函数

使得 最小，这与前面讲的极值问题完全一样，系数 同样满足法方程，只是这里 求解法方程组就可得到 ，从而得到， 称为函数 的最小二 乘拟合。

§6 近似最佳一致逼近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项 式（伯恩斯坦多项式） 一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近 似最佳一致逼近多项式。 如果 ，按 展成广义富 利叶级数，由正交多项式展开公式（在 满 足一定条件下可一致收敛）

可得 ～ 此式称为函数在[-1,1]上的切比雪夫级数。 由 得到 这里

若令 ，则 ～ 就是 的富利叶级数，其中 根据富利叶级数理论可知，只要 在[-1,1]上 分段连续，则 的切比雪夫级数一致收敛于 ，从而

取它的部分和 其误差为 由于 有n+2个轮流为‘正、负’的偏差点 ，所以 近似 地有n+2个偏差点，由切比雪夫定理， 可作 为 在[-1,1]上的近似最佳一致逼近多项式， 实际计算表明它与最佳一致逼近多项式 非 常接近，而计算较方便。

例 : 求 在[-1,1]上的切比雪夫展开。 解 由富利叶级数系数公式得 它可用后面介绍的数值积分方法计算，得到 由 及 的公式得到

当区间为 时可用变量置换 求得近似最佳一致逼近. 例如，求 在[0,1]上的近似最 佳一致逼近一次式， 可令 对 按切比雪夫系数求得

于是 事实上 是奇函数，当区间为 [-1,1]时，它的切比雪夫展开也是奇函数，如 n=5可求出

与最佳逼近的误差分布近似(通过里姆斯算法计 算最佳逼近偏差 )。这说明用切 比雪夫展开部分和 逼近 的效果相当 好。若用台劳展开 ， 要使误差不超过 就必须取1000项，因 为欲使 ，只有当 n≥1000 时才成立。 用切比雪夫展开还可得到其他基本初等函数的近似最佳逼近多项式。

二、拉格朗日插值余项的极小化 基本思想：以切比雪夫多项式的零点为节点构造 函数 的插值多项式，作为其最佳一致逼近 多项式的近似。 由切比雪夫多项式性质2可知，若以 为插值节点作n-1次插值多项式，则 与零的偏差最小，此时插值余项

如果插值区间是 ，不是[-1,1]，可做 变换，令 使 在[-1,1]上变化，于是 它的最高项系数为 ，故有

这时只要选插值节点 相应地 这时

由此可知，用公式 做插值节点求 在 上的插值多项式 ，虽然不能作为最佳逼近多项式， 但由于它的误差分布均匀，得到的插值多 项式 是近似最佳逼近多项式。

例: 求 在[0,1]上的近似最佳逼近多项式， 使其误差不超过 。

可算得 计算出 插值多项式为

三、台劳级数项数的节约 函数 的台劳展开容易计算，但用它的部 分和做逼近多项式误差分布极不均匀，为了改善 其误差分布可利用 均匀分布特点，对它进 行改造。现设 在[-1,1]上台劳展开部分和为 若 ，其中 是给定 的误差限，则可利用切比雪夫多项式将 重新 组合,以降低逼近多项式次数，此时

例. 用台劳展开求 在 的逼近多项 式。 解：应用 的台劳展开，取n=6，得 作为 的近似，其误差为 由于

近多项式，开始项数越多效果越显著， 这种做法由于对台劳展开重新改组使低 次多项式误差分布比较均匀，因此可作 为近似最佳逼近多项式。 利用台劳展开降低次数的方法求逼 近多项式，开始项数越多效果越显著， 这种做法由于对台劳展开重新改组使低 次多项式误差分布比较均匀，因此可作 为近似最佳逼近多项式。