§1 幂 级 数 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 §1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算 返回

一、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 为方便起见, 下面将重点讨论 , 即 换成 的情形.因为只要把(2)中的 就得到(1).

首先讨论幂级数(2)的收敛性问题. 显然形如(2)的任 意一个幂级数在 处总是收敛的. 除此之外, 它 还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理. 定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在 则对满足不等式 的任何 ,幂级数 (2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在 时发散, 式 的任何 ,幂级数(2)发散.

证 且有界, 即存在某正数 M, 使得 则有 由于级数 收敛, 故由优级数判别法知幂级数

(2)当 时绝对收敛. 下面证明定理的第二部分. 设幂级数(2)在 时 发散, 如果存在一个 , 满足不等式 , 且使 级数 收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数 (2)应该在 时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一 切满足不等式 幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区

间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的 上确界. 所以有 (i) 当 时, 幂级数(2)仅在 处收敛; (ii) (iii) 对 一切满足不等式 的 , 幂级数(2)都发散; 至 于 , (2)可能收敛也可能发散. 因此称

为幂级数(2)的收敛区间. 怎样求得幂级数(2)的收敛 半径和收敛区间呢? 定理14.2 对于幂级数(2), 若 则当

证 根据级数的根式判别法, 当 时, 级数 收敛. 当 时, 级数发散. 于是 (i) 当 时, 由 得幂级数(2)收敛半 径 (ii) 所以

(iii) 注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点. 在第十二章§2第二段曾经指出: 若 则有 因此也可用比式判别法来得出 幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明.

例1 所以其收敛半径 , 即收敛区间为 ; 而当 所 以级数 于是级数 的收敛域为

例2 设有级数 由于 因此幂级数(4)的收敛区间是 . 但级数 (4) 当 时发散, 时收敛, 从而得到级数(4)的收 敛域是半开区间 . 照此方法, 容易验证级数 的收敛半径分别为 与 .

*定理14. 3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理) 对于幂级数(2), 设 则有 注 由于上极限(5)总是存在, 因而任一幂级数总能 由(5)式得到它的收敛半径.

*例3 设有级数 由于 所以收敛半径 . 因 时, 级数都发散, 故此级数的收敛域为

例4 求幂级数 的收敛半径和收敛域. 解 (i)先求收敛半径. 方法1 设 , 幂级数 的收敛半径为 从而 时原级数收敛, 原级数发 散, 所以 的收敛半径为

方法2 应用柯西-阿达玛定理 由于 所以, 收敛半径为 (ii) 再求收敛域. 当 时, 相应的级数都是 , 由于 , 因此该级数发散, 所以原级数的收敛域为 .

下面讨论幂级数(2)的一致收敛性问题. 定理14. 4 若幂级数(2)的收敛半径为 , 则在它 的收敛区间 内任一闭区间 上, 级数(2)都一致收敛. 证 任一点x, 都有 由于级数(2)在点 绝对收敛, 由优级数判别法得级 数(2)在 上一致收敛.

定理14. 5 若幂级数 (2) 的收敛半径为 , 且在 (或 )时收敛, 则级数(2)在 )上一致收敛. 证 设级数(2)在 时收敛, 对于 有

递减且一致有界, 即 故由函数项级数的阿贝耳判别法, 级数(2)在 上一致收敛. 对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办 法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.

例5 级数 由于 所以级数(6)的收敛半径 , 从而级数(6)的收敛 区间为 即

当 时, 级数(6)为 收敛级数 当 x = 3 时, 级数(6)为发散级数 于是级数(6)的收敛域为

二、幂级数的性质 根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数 的一系列性质. 由定理14.4、14.5和13.12立刻可得 定理14.6 (i) 幂级数(2)的和函数是 内的连续 函数; (ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收 敛, 则其和函数也在这一端点上右(左)连续. 在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前, 先来确 定幂级数(2)在收敛区间 内逐项求导与逐项

求积后得到的幂级数 与 的收敛区间. 定理14.7 幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收 敛区间. 证 这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可 以了, 因为对(8)逐项求导就得到(2).

首先证明幂级数(7)在幂级数(2)收敛区间 中 每一点都收敛. 设 , 由阿贝耳定理(定理14.1)的 证明知道, 存在正数M与 r(r <1), 对一切正整数 n, 都有 于是

由级数的比 较原则及上述不等式, 就推出幂级数(7)在点 绝对 收敛(当然也是收敛的!). 由于 为 中任一点, 这就证明了幂级数(7)在 上收敛. 其次证明幂级数(7)对一切满足不等式 的x都 不收敛. 如若不然, 幂级数(7)在点 收敛, 则存在

幂级数(7)在 根据比较原则得幂级数(2)在 处绝对收敛. 这 与所设幂级数(2)的收敛区间为 相矛盾. 于是 幂级数(7)的收敛区间也是

定理14. 8 设幂级数(2)在收敛区间 上的和函 数为 f, 若 x 为 内任意一点, 则 (i) f 在 x 可导, 且 (ii) f在区间 上可积, 且 证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半

径R. 因此,对任意一个 , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)

推论1 设 f 为幂级数(2) 在收敛区间 上的和函数, 则在 上 f 具有任意阶导数, 且 可任意次逐项求导, 即

推论2 设 f 为幂级数(2)在 某邻域内的和函数, 则级数(2)的系数 与f在 处的各 阶导数有如下关系: 注 推论2还表明, 若级数(2)在 上有和函数 f , 则级数(2)由 f 在 处的各阶导数所惟一确定. 这是一个非常重要的结论, 在后面讨论幂级数展开 时要用到.

三、幂级数的运算 定理14.9 若幂级数 与 在 的某邻 域内有相同的和函数,则它们同次幂项的系数相等, 即 这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到. 根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇 (偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.

定理14. 10 若幂级数 与 的收敛半径 分别为Ra 和 Rb, 则有

定理的证明可由数项级数的相应性质推出. 例6 几何级数在收敛域 内有 对级数(10)在 内逐项求导得

将级数(10)在 上逐项求积得到 所以 上式对 也成立(参见本节习题3). 于是有

从这个例子可以看到: 由已知级数(10)的和函数, 通 过逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12) 或(13)的和函数. 例7 求幂级数 的和函数. 解 首先求出收敛域. 因为 , 且级数 与 都发散, 所以收敛域为 . 采用逐项求积法来求和函数. 设

对 进行逐项积分, 得 对 逐项积分, 得

所以

本题还可以用逐项求导的方法求和函数, 请读者自 行练习.

复习思考题 , 1. 幂级数 有相同 收敛半径, 试问它们的收敛域之间有什么关系? 2. 一个幂级数有无限多个项的系数为零, 称为缺项 幂级数. 例4 给出了求缺项幂级数收敛半径的方法, 除此以外还有其他方法吗? 请读者总结求缺项幂级 数收敛半径的方法.

3. 幂级数的逐项求导和逐项求积是求幂级数和函数 的一个有效的方法, 请通过练习总结出求和函数的 常规方法.