第四模块　函数的积分学 第九节　微元法与定积分的应用 一　定积分的微元法 二　平面图形的面积 三　函数的平均值

一 定积分的微元法 物理量或其他的量， 用定积分表示一个量， 如几何量、 我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程. 一般分四步考虑， 一　定积分的微元法 　　　　　　　　　　　　　　　 物理量或其他的量， 用定积分表示一个量， 如几何量、 　　 我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程. 一般分四步考虑， 将区间 [a, b] 任意分为 n 个子区间 [ xi - 1, xi ](i = 1, 2, · · ·, n)， 第一步分割： 其中 x0 = a，xn = b .

第二步取近似： 在任意一个子区间 [ xi-1, xi ]上， 任取一点 xi ， 作小曲边梯形面积 Ai 的近似值， Ai  f (xi)xi . 第三步求和： 曲边梯形面积 A 第四步取极限： n ， = max{xi }  0，

　　第二步取近似时其形式 f(xi)xi ，与第四步积分 中的被积分式 f (x)dx 具有类同的形式， xi 用 dx 替代， 如果把第二步中的 xi 用 x 替代， 那么它就是第四步积分中的被积分式， 基于此，我们把上述四步简化为两步： 并确定其范围， 第一步选取积分变量， 例如选取 x， 在其上任取一个子区间记作 [x, x + dx]. 例如 x [a, b]， 　　第二步取所求量 I 在子区间 [x, x + dx] 上的部分量 I 的近似值 I  f (x)dx， 得

并且要求 I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量， 关于后一个要求在实际问题中常常能满足. 几点说明： x a O x + dx y = f (x) y 　 得到的是 f (x)dx 那样形式的近似值， (1) 取近似值时， 　　并且要求 I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量， 　　 关于后一个要求在实际问题中常常能满足. (2) 满足 (1) 的要求后， f (x)dx 是所求量 I 的微分， 所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即 dI = f (x)dx ， dI 称为量 I 的微元. 　　上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.

二、平面图形的面积 那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高， 如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负， dx 为底的矩形面积， 即 x y f (x) a O x+dx b dA= | f (x) |dx . 于是，总有

　　例 1　求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积． 解　由上述公式得

也可以先画出 y = x3 与直线 x = - 1， x = 2 及 x 轴所围成的平面图形，如图所示， O -1 则由定积分的几何意义知 就不必用公式了.

与两条直线 x = a， x = b 所围成的平面图形的面积 由两条曲线 y = f (x)、 y = g (x) O x+dx b x y = g(x)

例 2　求 y = sinx， y = cos x， 所围成的平面图形的面积. 解　由上述公式知

y = cos x x O y = sinx 1 y 　　也可以先作出该平面图形的草图， 如图， 则直接可得 就不必用公式了.

例 3 求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的平面图形的面积. 求抛物线与直线的交点， 解　作草图，如图， 即解方程组 x A B -2 4 y y = x-4 y2 = 2x (8,4) (2,-2) 得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4).

任取一个子区间 [ y, y + dy ]  [- 2, 4]， 如果选择 y 作积分变量，y  [- 2, 4]， B 4 y2 = 2x (8,4) 于是 y + dy y = x-4 y x (2,-2) 如果选择 x 为积分变量， -2 A 那么它的表达式就比上式复杂.

例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其中 a > 0，b > 0. 　　解　因为图形关于 x 轴、y 轴对称， 　　　 所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍， 即 把 x = a cos t，y = b sin t　代入上述积分式中， 由定积分的换元公式得 上、下限也要相应地变换 (满足积分变量 t ).

三　函数的平均值 n 个数 y1, y2, …, yn 的算术平均值为 如何求连续函数 y = f (x) 在 [a, b] 上的平均值呢？

解决问题的思路是： 将 [a, b] n 等分，当 n 很大时， 每个子区间 [xi, xi + x](i = 1, 2, , n) 的长度 它的子区间 [xi, xi + x] 上的函数值差别就很小， 就很小， 由于函数 f (x)在 [a, b] 上连续， 因此可以取 f (xi) 于是函数在 [a, b] 上的平均值近似为 作为函数在该子区间上的平均值的近似值，

　　当 n 愈大，近似值的精度愈高，当 n  时得函数的平均值为 即

　　例 5　求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的平均速度． 解　因为自由落体的速度为 v = gt， 所以， 例 6　求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值. 解

　　例 7　求纯电阻电路中正弦交流电 i (t) = Imsinwt 在一个周期上功率的平均值(简称平均功率)． 解　设电阻为 R，那么这电路中的电压为 u = iR = Im Rsinwt， 功率为 从而功率在长度为一个周期的区间 上的平均值为

　　上式结果说明：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值乘积的一半.