第三章 连续信号与系统的频域分析 3.1 信号的正交分解 3.2 周期信号的连续时间的傅立叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的连续时间傅立叶变换 3.5 傅立叶变换的性质 3.6 周期信号的傅立叶变换 3.7 连续信号的抽样定理 3.8 连续系统的频域分析

第三章 连续信号与系统的频域分析 时域信号以冲激信号为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数，从而得到系统的零状态响应 本章以正弦信号和复指数信号 为基本信号，任意 输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号和 虚指数信号之和 分析的独立变量为频率，故称频域分析

3.1 信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交 1.正交矢量 数学定义 两矢量正交，在几何意义上是指两矢量相互垂直。 3.1 信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交 1.正交矢量 数学定义 两矢量正交，在几何意义上是指两矢量相互垂直。 两矢量相互垂直时的夹角为90度，即： 上式为两矢量的点积或内积定义式。 可见矢量正交，其点积一定为零！

3.1 信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交 另外一种理解正交： V1与V2不正交，现在要求寻求一个与V2成比例的矢量C12V2 3.1 信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交 另外一种理解正交： V1与V2不正交，现在要求寻求一个与V2成比例的矢量C12V2 使得当用C12V2近似表示V1时，其误差矢量Ve 的模最小。 V1 Ve 问题实质：找一个最佳系数C12，使Ve 的模最小。如左图所示，知V1垂直于 V2时，Ve的模才能最小。 V2 C12V2 C12V2

结论：给定两矢量V1和V2,若用与V2成比例的矢量C12 V2近 Ve 此时， 所以最佳系数为 V1V2点积 V2V2点积！ 结论：给定两矢量V1和V2,若用与V2成比例的矢量C12 V2近 似V1，要求误差矢量 的模 最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的 模最小，此时V1和V2正交。

V=C1V1+C2V2 在平面空间里，相互正交的矢量 V1和V2构成一个正交矢量集，而且为 完备的正交矢量集。则有V1·V2＝0 2.矢量分解 在平面空间里，相互正交的矢量 V1和V2构成一个正交矢量集，而且为 完备的正交矢量集。则有V1·V2＝0 平面空间中的任一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合（如上图）。 V=C1V1+C2V2

推广到n维空间，则有其中，Ci = V·Vi/Vi ·Vi 同样，对于一个三维的空间矢量，要精确地表示它，必须用一个三维的正交矢量集。如左图，三维矢量空间可精确地表示为： V=c1V1+c2V2+c3V3 推广到n维空间，则有其中，Ci = V·Vi/Vi ·Vi

3.1.2 信号的正交分解 1.正交信号（函数）定义： *定义:设 f 1(t)和 f 2(t)为定义在（t1 ,t2 )区间上的两个函 3.1.2 信号的正交分解 1.正交信号（函数）定义： *定义:设 f 1(t)和 f 2(t)为定义在（t1 ,t2 )区间上的两个函 数，现在要用与 f 2(t)成比例的一个函数C12f 2(t)近似地代表 f 1(t)，其误差信号为 平方误差定义为： 改变c12的大小，如果使Ee 为最小时相应的c12＝0，称 f 1(t) 和 f 2(t)在区间（t1 ,t2)上正交。 判定两信号正交的条件：

2.正交函数集： 设一函数集 当Ki=1时，称为归一化正交函数集。 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集 之外，不存在任何函数  (≠0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。

*信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f(t)， 2 信号的正交分解 *信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f(t)， 即： 这种近似所产生的平方误差为： 可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数Cr为 此时的平方误差为下式所示：

则称正交函数集对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。 一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 如果对于某一类f(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零， 则称正交函数集对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。 一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 1. ｛g(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号 f(t) 的完备的正交函数集,则有： 广义傅立叶级数 2.对于完备正交函数集，平方误差Ee=0 帕斯瓦尔定理 能量守恒

3 两个完备的正交函数集 完备性：无穷函数集。 （1）三角函数集 ⅰ正交区间（t0 ，t0+T）。 ⅱ基本周期：T=2л/Ω, ⅲ是完备的正交函数集。 完备性：无穷函数集。

(2)指数函数集： ⅰ正交区间（t0 ，t0+T）。 ⅱ基本周期：T=2л/Ω, ⅲ是完备的正交函数集。 完备性：无穷函数集

3.2 周期信号的傅立叶级数分解 3.2.1 三角形式傅立叶级数分解 3.2.1 三角形式傅立叶级数分解 设周期信号fT(t)，周期为T，角频率为 ,当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—称为f(t)的傅里叶级数。 该函数系数：

可见， an是n的偶函数， bn是n的奇函数。 将a0包含在an中则有： 可见， an是n的偶函数， bn是n的奇函数。

将分解公式同频率项合并，可写为： 式中： 可见 An是n的偶函数， 是n的奇函数。 说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。 2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的 正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有： 该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。

3.2.2 指数形式傅立叶级数分解 1.复指数函数集 该函数集在（t0，t0+T）上为周期信号的完备正交函数集。 2.正交展开： 3.2.2 指数形式傅立叶级数分解 1.复指数函数集 该函数集在（t0，t0+T）上为周期信号的完备正交函数集。 2.正交展开： 将任一周期信号展开为: 称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数

3.2.3 傅立叶系数关系 指数傅里叶级数可以从三角傅里叶级数直接导出。 cos θ=(e jθ+e-jθ)/2，将这一关系应用于三角形式展开

对比指数形式展开有： 可见Fn一般亦为一复数 指数傅立叶级数改写三角傅立叶级数：

例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶 级数。 例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶 级数。 周期：T T＝2π/Ω 幅度：E 宽度：τ 解：因为fT(t)为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量

其中： 如下图 称为“取样”函数 其性质：① 偶函数 ②

3.3 周期信号的频谱与功率 3.3.1 周期信号fT(t)的频谱 fT(t)可分解为一系列虚指数信号或正弦信号的线性组合。 或者： 各谐波分量的角频率nΩ 是基波角频率Ω的n倍且有不同的 反映出来。 振幅和相位，均由傅立叶系数 为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅 及相位随w变化的曲线称其为频谱图。

说明： 周期信号的频谱，指各次谐波的振幅、相位随频率的变化关系， 得到的谱线称为周期信号的频谱图。 复振幅 一般为nΩ的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，包括振幅频谱和相位频谱。 在信号的复振幅 为nΩ的实函数的特殊情况下，其复振幅(Fn)与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出。

可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。 例 1 试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解: f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据 可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。

振幅谱 其余 (b) 相位谱 图 3.3-1 信号的频谱

(b) 双边相位谱 双边振幅谱

例2：已知周期信号 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率 画出它的单边振幅谱和相位谱。 解：首先根据三角级数公式改写f(t)的表达式： 显然1是周期信号直流分量 的周期T1=8 的周期T2=6 所以 的周期T=24，基波角频率

是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；

3.3.2 周期信号频谱的特点 例：周期性矩形脉冲信号，求其双边谱。 t fT(t) 周期：T T＝2π/Ω 幅度：E 宽度：τ -T T … 周期：T T＝2π/Ω 幅度：E 宽度：τ

图 1 Sa(x)函数的波形 图 2 周期矩形脉冲信号的频谱

第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。  周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。  第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。 

图 3 不同τ值时周期矩形信号的频谱 (a) τ=T/5; (b) τ=T/10

图 4 不同T值时周期矩形信号的频谱 (a) T=5τ; (b) T=10 τ

周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为 或

3.3.3 周期信号的功率 周期信号一般是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。其平均功率为：

考虑到|Fn|为偶函数，且|Fn|=An/2 表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等 思考：本节例2题中信号平均功率

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.4.1 傅里叶变换 非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念 (单位频率上的频谱) 称为频谱密度函数

根据傅立叶级数有： 考虑到 无穷小，记为 （由离散变为连续变量） 则有：

傅里叶变换存在的条件： 充分非必要条件：f(t)应满足绝对积： 非周期信号的傅里叶变换可简记为 或者： 称为 的傅立叶变换或频谱密度函数 的傅立叶发变换或原函数 傅里叶变换存在的条件： 充分非必要条件：f(t)应满足绝对积：

3.4.2 非周期信号的频谱函数 由非周期信号的傅里叶变换可知: 频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为 习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F(ω)并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的连续函数。

f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式导出: 式中：

与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系： 可见： |F(jω)|、 R(ω) 为偶函数，φ(ω)、 X(ω)为奇函数

在f(t)是实函数并满足下列对称性时： (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数， 且为ω的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。

3.4.3 典型信号的傅里叶变换 1.

(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d) 相位谱 图 3.4-1 门函数及其频谱 (a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d) 相位谱

2. 3.

5.

6. 7.直流信号1的频谱 已知：

表3.1常用傅里叶变换对

续表

3.5 傅立叶交换性质、定理 傅立叶计算是一种线性运算，它包含两种意义： 1。齐次性：时域信号数乘 a，频谱函数也数乘a。 一.线性： 傅立叶计算是一种线性运算，它包含两种意义： 1。齐次性：时域信号数乘 a，频谱函数也数乘a。 2。可加性：几个信号之和的频谱函数＝各信号频 谱函数之和。

3.5 傅立叶交换性质、定理 二.时移性： 则： 证明： 结论：f(t)右移t0，F(jω)幅度不变，谐频率分量相位滞后ωt0

同理： 例1：求下列信号频谱 解：

三.频移性： 为常数 则有： 证： 此性质说明了频谱的可搬移性，在通信领域调制、混频、 同步解调都需要进行频谱的搬移。

调制定理： 已知： 根据频移性质有： 时域将信号f(t)乘以 或 从而达到频域频谱 的搬移称为调制定理

例2：求高频调制信号的频谱。 解： 图a 图b

四.尺度变换： 则： 证： 综上有：

例3： 可见：信号的持续时间与带宽成反比。 电子技术中为加快信息传输，在时域压缩持续时间， 但是在ω域不得不展宽频带，在实际应用中应该权衡考虑。 推论：

五.对称性： 证： 推论：若f(t)为t的偶函数，则 例4：

例5： 六.卷积定理： 时域卷积定理 频域卷积定理

应用傅立叶变换定义和时移性可证卷积。 证明如下： 含义：时域卷积运算可转换为频域相乘在求傅立叶反变换

七.时域微分、积分： 式（2）证： 例6：

解：对f(t)求导得f1(t),对f1(t)求导得f2(t)如图(b)(c) 例7： 利用时域积分特性求图(a) 所示梯形信号f(t)的频谱函数。 (a) 解：对f(t)求导得f1(t),对f1(t)求导得f2(t)如图(b)(c) 显然有：

据时移性质有： 又 根据时域积分特性有： 又 根据时域积分特性有：

八.频域微分、积分： 1.频域微分： 2.频域积分：

为能量谱密度函数，为各频率点上单位频带中的信号 九.帕什瓦尔定理: 为能量谱密度函数，为各频率点上单位频带中的信号 能量，表示信号能量在频率分量上的分布情况。 所以：

十、周期信号的傅立叶变换

例 2 求图所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(jω)。

解 周期矩形脉冲f(t)的频谱函数为

表 3.2 傅里叶变换的性质