数学实验 一元微积分 基础实验1 函数与极限 专题实验1 极限的应用 基础实验2 微分及其应用 专题实验2 选址问题 基础实验1 函数与极限 专题实验1 极限的应用 基础实验2 微分及其应用 专题实验2 选址问题 基础实验3 积分及其应用 专题实验3 销售决策问题

数学实验 一元微积分基础实验1 ——函数与极限

一、实验内容 二、实验目的 函数图形的显示，极限的运算，最值的计算． 1.熟悉Mathematica软件的基本操作． 2.掌握函数与极限的有关操作命令． 3.学会利用Mathematica软件对函数进行分析研究．

三、常用命令 1.Plot[f[x]],{x,min,max},选项] 2.Plot[{f1,f2,…},{x,min,max},选项] 功能：在同一坐标系下画出函数f1,f2,…的图形． 3.ParametricPlot[{fx,fy},{t,min,max}] 功能：画出参数方程x=x(t),y=y(t)的图形． 4.Show[％n,％m] 功能：将第n及第m个函数图形重叠在一起． 5.Limit[f[x],x－>x0,Direction－>±1] 功能：求函数f[x]在x0处的左、右极限． 7.FindMinimum[f[x],{x,x0}] 功能：从点x0开始求函数f[x]的局部极小值．

四、例子 1.利用图形显示命令分析下列函数的性质： (1)f(x)=（x2－x）sinx，x∈[0,16] (3)f1(x)=sinx f2(x)=sin2x，x∈[0,2π] (4）

五、实验简单操作过程 1.(1) Plot[(x^2-x)Sin[x],{x,0,16}] (2) Plot[Sin[x^2]/x^2,{x,-5,5}] (3) Plot[{Sin[x],Sin[2x]},{x,0,2Pi}] (4)ParametricPlot[{Sin[t],Sin[2t]},{t,0,2Pi}]

四、例子 2.计算下列极限： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (8) (7) (9) (10) (11)

五、实验简单操作过程 (3) In[7]: = Limit[((-1)^2)^n,n→Infinity] 2.(1) In[5]: =Limit[n*Sin[1/n],n→Infinity] Out[5]: =1 (2) In[6]:=Limit[n^2/(n+1)*Sin[(n+1)/n^2],n→Infinity] Out[6]: =1 (3) In[7]: = Limit[((-1)^2)^n,n→Infinity] Out[7]: =1 注:这里若输入 Limit [ (-1)^(2n), n-> Infinity ] 从结果可以看出Mathematica 什么都没做. 这是因为 Mathematica 并不能从式子中知道其中的 n 代表整数, 所以在输入时需处理一下. 事实上，在许多情况下，我们都需要对表达式作变形处理，才能求出结果.

五、实验简单操作过程 2. (4) In[8]: = Limit[((n+1)/n)^(n+1)n/(n+2),n→Infinity] Out[8]: = e (5) In[9]: = Limit[Sin[x]/x,x→0] Out[9]: =1 (6) In[10]: = Limit[Sin[x]/x,x→0,Direction→-1] Out[10]: =1 (7) In[11]: = Limit[Sin[x]/x,x→0,Direction→+1] Out[11]: =1

五、实验简单操作过程 (9) In[13]: =Limit[(x^2-1)/(6x^2-12x+1),x→Infinity] 2. (8) In[12]: = Limit[(Tan[x]-Sin[x])/x^3,x→0] Out[12]: = 1/2 (9) In[13]: =Limit[(x^2-1)/(6x^2-12x+1),x→Infinity] Out[13]: = 1/6 (10) In[14]: =Limit[Sin[1/x],x→0] Out[14]: = Interval[{-1,1}] (11) In[15]: = Limit[1/x,x→0,Direction→-1] Out[15]: =∞

四、例子 3.求函数f(x) =xsin4x在x=2.3附近的极小值，并根据图形对照 . 解答： In[16]: = FindMinimum[x*Sin[4x],{x,2,3}] Out[16]: = {-2.76018,{x→2.77138}}

数学实验 一元微积分专题实验1 ——极限的应用

一、实验内容 某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行，年利率为5%。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔的地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？

二、实验目的 1.利用一元函数极限的定义与计算解决 实际问题. 2.熟练掌握Mathematic计算极限的方法.

三、预备知识 1.一元函数极限的定义与常用的计算方法. 2.Limit[f[n],n->Infinity] 3.Limit[f[x],x->x0] 功能：计算函数在x无限趋近x0时的极限值. 4.Limit[f[x],x->x0,Direction->+1] 功能：计算函数在x0点的右极限值. 注：Direcyion->-1时,即为函数在x0处的左极限值.

四、实验的简单操作程序 若该储户每季度结算一次，则每季度利率为： 故第一季度后储户本息共计： ; 第二季度后储户本息共计： …… 依此，一年后该储户本息共计： . 若该储户每月结算一次，月利率为： 按上面的方法知一年后储户本息共计： 该储户每5天结算一次，则一年后本息共计： 若该储户等间隔结算n次，则一年后本息共计： 随着结算次数的无限增加，即在上式中n->∞,故一年后本息共计：

四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[1]: = Clear[n] a[n_]:=100000(1+0.05/n)^n; Limit[a[n],n → Infinity] Out[3]: = 105127. 注: 这就是经济学中常见的连续计息问题。

五、练习内容 本世纪初，瘟疫还常在某些地区流行.现假设有这样一种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有A人患病，每个人年平均传染率为k ,治愈率为i，若一年内等时间间隔检测n次，则一年后患病人数为多少？若检测次数无限增加，一年后传染病人数会无限增加吗？

数学实验 一元微积分基础实验2 ——微分及其应用

一、实验内容 二、实验目的 导数的运算法则,复合函数求导法及参数方程求导法等． 1.进一步理解导数及其几何应用． 2.学习Mathematica的求导命令与求导法．

三、常用命令 1.D[f,x] 功能：对函数f求关于变量x的导数． 2.D[f,{x,n}] 功能：对函数f求关于变量x的n阶导数． 3.Dt[f] 功能：求函数f的全微分． 4.Dt[f,x] 功能：求函数f对于变量x的全微分． 5.Simplify[D[D[y[t],t]/D[x[t],t],t]/D[x[t],t]] 功能：求参数方程确定的函数的二阶导数． 6.D[f,{x,n},{y,m}…] 功能：求函数f对x的n阶对y的m阶的混合偏导．

四、例子 1.求下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.求下列函数的二阶导数 (1) (2)

五、实验简单操作过程 1.(1) In[1]: = D[1/Sqrt[a^2-x^2],x] Out[1]: = (2) In[2]: = D[x^2/Sqrt[x^2+a^2],x] Out[2]: = (3) In[3]: = D[E^(Sin[x])^3,x] Out[3]: = (4) In[4]: = D[(Sin[x/2])^2Cot[x/2],x] Out[4]: =

五、实验简单操作过程 (6) In[6]: = D[x^2*Sin[1/x],x] 1.(5) In[5]: = D[(Log[x^2])^3,x] Out[5]: = (6) In[6]: = D[x^2*Sin[1/x],x] Out[6]: = 2.(1) In[7]: = D[5x^4-3x+1,{x,2}] Out[7]: = (2) In[8]: = D[1/(x^2-1),{x,2}] Out[8]: =

四、例子 2.求下列函数的二阶导数 (3) (4) (5) (6) 3.求下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数 (1) (2) (3)

五、实验简单操作过程 (4) In[10]: = D[Sin[x]Sin[2x]Sin[3x],x] 2.(3) In[9]: = D[x*Cos[x],{x,2}] Out[9]: = -x Cos[x]-2 Sin[x] (4) In[10]: = D[Sin[x]Sin[2x]Sin[3x],x] Out[10]: = 3 Cos[3 x] Sin[x] Sin[2 x]+2 Cos[2 x] Sin[x] Sin[3 x]+Cos[x] Sin[2 x] Sin[3 x] (5) In[11]: = Simplify[D[D[4t,t]/D[t^2,t],t]/D[t^2,t]] Out[11]: = (6) In[12]:=Simplify[D[D[a(Sin[t])^3,t]/D[a(Cos[t])^3,t],t] /D[a(Cos[t])^3,t]] Out[12]: =

五、实验简单操作过程 (1) In[14]: = ImplyD[x^2+(y[x])^2-R^2,x,y] 3. In[13]:= ImplyD[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,D[y[x],x]]; (1) In[14]: = ImplyD[x^2+(y[x])^2-R^2,x,y] Out[14]: = (2) In[15]: = ImplyD[x^2+x*y[x]+(y[x])^2-a^2,x,y] Out[15]: = (3) In[16]: = ImplyD[x*Cos[y[x]]-Sin[x+y[x]],x,y] Out[16]: = (4) In[17]: = ImplyD[y[x]-x-Log[y[x]],x,y] Out[17]: =

四、例子 3.求下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数 (5) (6) 4.求下列函数的全微分 (1) (2) (3)

五、实验简单操作过程 (6) In[20]: = ParametricD[a(1-Cos[t]),a(t-Sin[t]),t] 3.(5) In[18]: = ParametricD[y_,x_,t_]:=-D[y,t]/D[x,t]; In[19]: = ParametricD[6t^2/(1+t^2),6t/(1+t^3),t] Out[19]: = (6) In[20]: = ParametricD[a(1-Cos[t]),a(t-Sin[t]),t] Out[20]: = 4.(1) In[21]: = Dt[Log[Sin[x]]+x*Sin[2^x]] Out[21]: =

五、实验简单操作过程 4.(2) In[22]: = Dt[(Sin[x])^2+(Sin[y])^2+(Sin[z])^2] Out[22]: = 2Cos[x]Dt[x]Sin[x]+ 2Cos[y]Dt[y]Sin[y]+2Cos[z]Dt[z] Sin[z] (3) In[23]: = Dt[x*Sin[x+y]+Cos[x^2]/y] Out[23]: =

数学实验 一元微积分专题实验2 ——选址问题

一、实验内容 工厂A到铁路的垂直距离为3公里，垂足B到火车站C为5公里，汽车运费20元/吨公里，铁路运费15元/吨公里，为使运费最省，在M点建一转运站，且M在铁路BC间，问M应建在何处?

二、实验目的 三、预备知识 1．掌握求一元函数极值的驻点法解决实际问题． 2．掌握Mathematica中求极小值命令FindMinimum． 三、预备知识 1．一元函数极值与最值的求法． 2．FindMinimum[f，{x，x0}] 功能：选取初始点x0附近求f(x)的极小值． 3．FindMinimum[f，{x，x0，x1}] 功能：在选取的两个不同的初始点x0与x1附近求f(x)的极小值． 4．FindRoot[f[x_]]：==0，x] 功能：求方程f(x) ＝0的根．

四、实验的简单操作程序 此问题实际上是一个计算极小值的问题，由题已知条件，可设M到B的距离为x，则总费用L只与x有关，即可写出L（x）及其定义域．用Mathematica中清除命令Clear[x]清除x的值，再定义函数L（x），并求导．求函数L（x）的驻点及L（x）在驻点的函数值． 观测图形，选取初始点，用命令FindMinimum直接求函数L（x）的极小值，并与上面结果相比较．

四、实验的简单操作程序 In[1]: = Clear[x]; 实验步骤 Out[3]: = …Graphics… L[x_]:=20Sqrt[9+x^2]+15(5-x); tt=D[L[x],x]; Plot[L[x],{x,0,5}] Out[3]: = …Graphics… 从图中可看出稳定点的唯一性，亦可画出导函数的图形来说明这一点.

四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[5]: = Plot[tt,{x,0,5}] Out[5]: = …Graphics…

四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[6]: = r=FindRoot[tt == 0,{x,3}] (注:求驻点) 原则上，把 FindRoot 应用于求导函数的根 ( 即函数的驻点 ) , 但FindMinimum 命令更为有效，此命令采用的是数值方法，它不仅将极小值点与极小值同时给出，而且在函数不可导时仍可求解,在实际操作时很实用. In[6]: = r=FindRoot[tt == 0,{x,3}] (注:求驻点) L[x]/r[[3]] (注:求L[x]在驻点的函数值) FindMinimum[L[x],{x,3}] Out[6]: = {x→3.40168} Out[7]: = 114.686 Out[8]: = {114.686,{x→3.40168}}

五、练习内容 一幢楼房的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台．清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上．因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短不行，现有一架7m长的梯子，问：它能达到要求吗?

数学实验 一元微积分基础实验3 ——积分及其应用

一、实验内容 二、实验目的 一元函数的不定积分与定积分 1.加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法． 2.学习求积分的命令Integrate与NIntegrate． 3.熟悉Mathematica软件在积分运算的重要作用．

三、常用命令 1.Sum[通项,{n,初始值,终止值}] 功能：对通项求得和的精确值． 2.NSum[通项,{n,初始值,终止值}] 功能：对通项求得和的近似值． 3.Integrate[被积函数,自变量] 功能：计算被积函数的一个原函数． 4.Integrate[被积函数,{自变量,下限,上限}] 功能：计算被积函数在区间[下限,上限]上的定积分值． 5.NIntegrate[被积函数,{自变量,下限,上限}] 或Integrate[被积函数,{自变量,下限,上限}]∥N 功能：计算被积函数在积分区间上的定积分值的近似值．

四、例子 1.求 和的近似值与精确值． 2.求下列函数的一个原函数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1.求 和的近似值与精确值． 2.求下列函数的一个原函数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

五、实验简单操作过程 In[2]: = NSum[1/n,{n,1,100}] 1.(1) In[1]: = Sum[1/n,{n,1,100}] Out[1]: = In[2]: = NSum[1/n,{n,1,100}] Out[2]: = 5.18738 2.(1) In[3]: = Integrate[x*Sqrt[x],x] Out[3]: = (2) In[4]: = Integrate[1/(x^2*Sqrt[x]),x] Out[4]: =

五、实验简单操作过程 2.(3) In[5]: = Integrate[Sec[x](Sec[x]-Tan[x]),x] Out[5]: = -Sec[x]+Tan[x] (4) In[6]: = Integrate[1/(1+Cos[2x]),x] Out[6]: = (5) In[7]: = Integrate[1/Sin[x],x] Out[7]: = (6) In[8]: = Integrate[Cos[x]Sin[x]/(1+Cos[x])^2,x] Out[8]: =

五、实验简单操作过程 2.(7) In[9]: = Integrate[Log[x+1]/Sqrt[x+1],x] Out[9]: = (8) In[10]: = Integrate[x^2*ArcTan[x],x] Out[10]: = (9) In[11]: = Integrate[1/(a^2(Cos[x])^2+b^2(Sin[x])^2),x] Out[11]: = (10) In[12]: = Integrate[(2x+3)/(x^2+3x-10),x] Out[12]: =

四、例子 3.计算下列定积分： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4.计算下列积分并求其结果对x的导数： (2) (1)

五、实验简单操作过程 3.(1) In[13]: = Integrate[Sqrt[1-x^2],{x,0,1}] Out[13]: = (2) In[14]: = Integrate[Sqrt[x]*(1+Sqrt[x]),{x,4,9}] Out[14]: = (3) In[15]: = Integrate[1/(x+x^3),{x,1,2}] Out[15]: = (4) In[16]: = Integrate[(1+Log[x])/x,{x,1,E}] Out[16]: =

五、实验简单操作过程 3.(5) In[17]: = Integrate[1-x,{x,0,1}]+Integrate[x-1,{x,1,2}] Out[17]: = 1 (6) In[18]: = Integrate[(1-x)(4-x),{x,0,1}]+Integrate[(x-1)(4-x),{x,1,2}] Out[18]: = 3 4.(1) In[19]: = D[1/Sqrt[a^2-x^2],x] Out[19]: = (2) In[20]: = D[Integrate[Exp[t^2],{t,1,Sqrt[Log[x]]}],x] Out[20]: =

五、实验简单操作过程 4.(3) In[21]: = D[Integrate[ArcTan[x]/(1+x^2),{x,0,x}],x] Out[21]: = (4) In[22]: = D[Integrate[Exp[-t^2],{t,x,x^2}],x] Out[22]: =

四、例子 5.判定广义积分 ， 与 的敛散性，收敛时计算出积分值． 6.求由 所确定的隐函 数y对x的导数． 7.求积分 的近似值．

5. In[23]: = Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity}] 五、实验简单操作过程 5. In[23]: = Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity}] Out[23]: = In[24]: = Integrate[x*Log[x],{x,0,1}] Out[24]: = In[25]: = Integrate[1/(1-x)^2,{x,0,2}] Out[25]: = ∞ 这说明积分不收敛.

五、实验操作过程简单 6. In[26]: = ImplyD[f_,x_,y_]:= Solve[D[f,x]==0,D[y[x],x]]; In[26]: = ImplyD[Integrate[E^t,{t,0,y[x]}]+Integrate[Cos[t],{t,0,x}],x,y] Out[27]: = 7. In[28]: = N[Integrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]] Out[28]: = 0.946083

数学实验 一元微积分专题实验3 ——销售决策问题

一、实验内容 某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费b元，而每件的库存费为c元。在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进商品才能使所花手续费及库存费之和为最小？

二、实验目的 1.掌握一元函数的求导方法. 2.熟练掌握一元函数极值的方法，如：驻点法；图形驻点结合法；用FindMinimum命令直接求.

三、预备知识 1.一元函数微分学知识. 2.D[f[x],x] 功能：对函数f[x]关于x求导数. 3.D[f[x],{x,n}]

四、实验的简单操作程序 在均匀销售情况下，商品库存量仅需年销售量的一半，即 件，设总费用为y，共分x批购进，手续费为bx，每批购进的件数为 ，库存费 ，则

四、实验的简单操作程序 令 ，得 ，也即 (负值舍去) 又 所以 为极小值.

四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[1]: = Clear[x,a,b,c]; f[x_]:=b*x+a*c/(2x); f1=D[f[x],x] Solve[f1==0,x] Out[3]: = Out[4]: = (注: 负值舍去) In[5]: = D[f[x],{x,2}] Out[5]: =

四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[6]: = %/.{x→Sqrt[a*c]/Sqrt[2b]} Out[6]: = ( 注: 由函数在一点取得极值的第二种充分条件知是 f (x) 的极小点. )

五、练习内容 假定某林场种树x棵，根据经验每棵树的生产函数Q=tα，这里Q为t年后木料的板尺数，α为参数，因树种不同而异，且0<α<1；假定树的成本为F+WQ+rp dt，这里F为种树的成本，W为维护成长中的树每板尺所需费用，r为利息率，p为每板尺木料的价格，rp dt为到砍树时为止的因积压资金引起的机会成本，试问：什么时候砍树利润最大?