第8章 刚体力学 自由度：描述一个力学体系在空间的几何位形所需的独立变量的个数. 第8章 刚体力学 如果需要研究物体的转动，就不能忽略它的形状和大小而把它简化为质点来处理。但如果物体的形状和转动不能忽略，而形变可以忽略。我们就得到实际物体的另外一个抽象模型——刚体(rigid body)，即形状和大小完全不变的物体。刚体的这一特点使刚体力学大大不同于一般的质点组力学，刚体力学问题虽不是每个都能解决，但有不少是能够解决的。于是我们定义：刚体是这样一种质点组，组内任意两质点间的距离保持不变。 自由度：描述一个力学体系在空间的几何位形所需的独立变量的个数.

一、刚体运动学 刚体的性质 1. 自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数 < 6 1. 自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数 < 6 在确定的曲线上运动的质点自由度为1，在确定的曲面上运动的质点自由度为2，在三维空间可自由运动的质点自由度为3，自由刚体的自由度为6。但是，非自由刚体的自由度没有这么多，例如绕固定轴线转动的刚体就只有一个自由度。

刚体的性质 1. 自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数 < 6 1. 自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数 < 6 刚体既然只有六个自由度。它的运动定律也就可以归结为六个独立方程。我们前面学过的质心运动定理确定刚体质心的运动，而动量矩定理确定刚体在空间中的取向与方位随时间变化的情况；这样，这两个定理（两个矢量方程式，即六个分量方程式）就完全确定了刚体的运动。

刚体的性质 2. 刚体的质心 刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，刚体的质心为： 2. 刚体的质心 刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，刚体的质心为： 这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时，我们常用质心位矢的分量形式，为：

刚体的性质 3. 刚体的内力作功为零 将动能定理应用于刚体时，应注意刚体的一个特点：内力所做的功为零。因为内力做功正比于相对位移，而刚体内部各质点相对位置始终保持不变。

刚体的性质 3. 刚体的内力作功为零 于是，对于刚体，动能定理就成为： 3. 刚体的内力作功为零 于是，对于刚体，动能定理就成为： 若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功，而保守力作的功可以用势能的减少来表达，即： 于是刚体的功能原理为： 若 ，则可得刚体的机械能守恒定律： 对于刚体，不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及内力，就连在动能定理中也无须计及内力，这是不同于一般质点组的。

刚体的几种特殊运动 由于受到不同的约束，刚体可以有各种运动形式，每种运动形式对应的自由度也不相同。 平动：作平动时，刚体上每一点的运动情况完全相同，刚体的运动可用一质点来代表，因而这种运动的描述与质点相同。其自由度为3。 定轴转动：刚体运动时，刚体上的各质点均绕同一直线作圆周运动。这条不动的直线称为转轴，这种运动称为刚体的定轴转动。显然，定轴转动只有一个自由度。 平面平行运动：刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动称为刚体的平面平行运动。刚体的平面平行运动的自由度为3。

刚体的几种特殊运动 定点转动：刚体运动时，始终绕一固定点转动，这种运动称为刚体的定点转动。这个定点可以在刚体上，也可以在刚体的延拓部分。定点转动的自由度为3（3个转动自由度）。 由以上分析可见，刚体平动的描述与质点的运动相当，只需考虑质心的运动即可，不必另加讨论。所以我们以后各节将分别讨论刚体的其它三种运动。 抖空竹

刚体的一般运动 1. 运动的描述 刚体的一般运动可以看成随刚体上某一基点A（例如质心）的平动和绕该点的定点转动的组合。在与基点相对静止的参照系上，绕该点的转动即为定点转动。因此，作一般运动的刚体的自由度为6。 打陀螺

刚体的一般运动 2. 角速度是矢量

刚体的一般运动 2. 角速度是矢量 可见，角位移一般不是矢量。 2. 角速度是矢量 可见，角位移一般不是矢量。 在上面的例子中，角位移是有限大小的，而（瞬时）角速度只与无限小的角位移相联系。可以证明，角速度的合成服从平行四边形法则，从而是真正的矢量。 （自习）

刚体的一般运动 3. 刚体角速度的绝对性 一般来说，刚体的任何运动都可以分解为基点的平动及绕基点的定点转动。选择不同的基点，平动速度就不同；而转动角速度则与基点的选择无关，不管选择刚体上哪一点，角速度矢量的方向及大小都不变。刚体的这一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。

二、施于刚体的力系的简化 作用在刚体上的力是滑移矢量 力有大小、方向、作用点三个要素。就它对物体所产生的效果而言，三者都起作用。因而，在一般情况下，即使保持大小和方向不变，力亦不能平移，因为这将造成作用点的变动，效果就将不同，这就是说，力不像速度、加速度那样是自由矢量。但由于刚体是一个刚性整体，当力沿着作用线在刚体上滑移时，对刚体的作用不变，因而称作用在刚体上的力为滑移矢量。

几种特殊力系 1. 共点力系 所有力的作用线（或其延长线）交于一点的力系称为共点力系。显然，这样的力系可以等效为大小和方向等于诸力矢量和、作用点就是该交点的一个力，这就是合力。

几种特殊力系 2. 平行力系 所有的力都互相平行的力系称为平行力系。为简单起见，下面先考虑两个平行力的合力。 2. 平行力系 所有的力都互相平行的力系称为平行力系。为简单起见，下面先考虑两个平行力的合力。 (1) F1, F2 同向，如图所示。 增加一对作用于同一直线上的力 f 与 -f，将 F1, F2 变为 F1/, F2/ 后成为共点力系，然后求合力。由图示可知，合力与F1, F2平行且同向，大小为F1, F2大小之和，但作用线发生了改变。

几种特殊力系 2. 平行力系 (2) F1, F2 反向，但大小不等。 2. 平行力系 (2) F1, F2 反向，但大小不等。 仍可用上法求合力。合力 F = F1 + F2与 F1, F2 平行，大小为 F1, F2 大小之差，方向与 F1, F2中的较大者相同，但作用线发生了改变。 (3) F1, F2 反向，且 F1 =﹣F2 。 没有合力，这一对平行力称为力偶。容易验证，该力偶对于垂直于该平面的任何轴线的力矩相同。（称该力矩为力偶矩）

几种特殊力系 2. 平行力系 讨论： 求多个平行力的力系的合力，先求 F1, F2 的合力，再求该合力与 F3 的合力，等等。由上述可知，其结果或为一个合力，或为一个力偶矩。 可用此法求 n 个质点的重心，即 n 个重力的合力。（若各点的重力加速度相同，则质心与重心重合） 选取平动参考系研究刚体时，刚体中各质点所受的惯性力系为平行力系，各力的大小正比于质量。这好象出现了某种“附加重力场”，该力场的合力自然作用于“重心”，即作用于质心。因而惯性力系对于通过质心的任一轴线的力矩当然为零。

几种特殊力系 3. 共面力系 所有力的作用线位于同一平面的力系称共面力系。若共面力系的诸力互相平行，则可按求平行力合力的方法求出合力；若诸力不平行，则必有交点，可直接依次求出合力。

几种特殊力系 4. 异面力系 所有力的作用线不在同一平面的力系称异面力系。一般异面力系可等效为一个力和一个力偶。 4. 异面力系 所有力的作用线不在同一平面的力系称异面力系。一般异面力系可等效为一个力和一个力偶。 以两个力为例，如果两个力不互相平行，又不共面，这两个力就不能等效为一个合力。如图所示，作用于 A 点的力 F1 位于 yOz 平面，作用于 B 点的力 F2，位于 xOy 平面，这样的两个异面力就属这种情形。

几种特殊力系 4. 异面力系 但我们可设想在 A 点作用一对力 F3,﹣F3，使 F3与 F2 大小相等，方向相同，这不会影响刚体的运动。于是，作用在 A 点的力 F1, F3 构成一个合力 F = F1 + F3，而 F2,﹣F3则构成一个力偶，其力偶矩就是 F2 对A点的力矩。

几种特殊力系 这样，当作用于刚体上某一点的力平移到另一点时，必须同时伴随一个力偶，因此任意个力组成的力系可等效为作用于刚体上某一点 C 的单个力 F = ∑Fi 和一力偶矩，其力偶矩就是各力对 C 点的力矩的矢量和。C 点称为简化中心。简化中心可以任意选取，但当改变位置时，力偶矩也随之改变。 对于方向与力 F 垂直的力偶矩，可看成一对与力 F 共面的力，而这3个力又可重新构成一个新的合力，新力必与F相等，但作用线不一样，这相当于简化中心移动了。这一点可以证明如下：

几种特殊力系 如图，设对于简化中心 C，得到力 F 及与 F 垂直的力偶矩 M，过 C 点作一直线既垂直于 M 又垂直于 F，取 CD 的长度 r0 = M/F，可将力偶矩M化为一对力偶 F1 与﹣F1，且使 F1 = F。于是对于简化中心 D，力系简化为合力 F1 = F，而力偶矩为零。

几种特殊力系 对于方向与力 F 构成任意角度的力偶矩，可将其分解为两个方向相互垂直的力偶矩，一个力偶矩与力 F平行，另一个力偶矩与力 F 垂直，后者与力 F 可构成一个新的合力。 综上所述，作用在刚体上的任何力系，最终可以等效为一个作用于刚体上某一点的力和一个力偶矩方向与之平行的力偶。这样的一组力和力偶称为偶力组或力螺旋。当力偶矩为零时，力系等效为一个合力。

三、刚体的定轴转动 角动量与角速度的关系 考察绕固定轴（取为 z 轴）转动的刚体在某瞬时对轴上某定点 O 的角动量（取 O 为原点）。将刚体看成质点组，设第 i 个质点（质元）的质量为 ⊿mi，位矢为 ri，速度为 vi，则该质点对原点的角动量为： 于是： 故角动量 L 与角速度 ω成线性关系，但一般说来它们不在同一方向上。

转动定律 刚体作定轴转动时，转轴 z 的方向是固定的，故有： 令：

转动定律 当然，若 z 轴不是刚体的对称轴，该式也可能成立，如图所示的刚体处于动平衡，此时，我们称轴为刚体的自由轴。 Iz 称为刚体绕 z 轴的转动惯量，它是一个常量。于是

转动定律 此式是刚体作定轴转动时沿转轴（即 z 轴）方向的动力学方程，常称为转动定律。它就是角动量定理沿固定轴方向的分量式。它表明，对作定轴转动的刚体，外力矩沿固定轴的分量的代数和等于对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。转动定律与牛顿定律的形式 F = ma 很相似，力矩与力相当，角加速度与加速度相当，转动惯量与质量相当。

转动惯量 1. 几种典型形状刚体的转动惯量 具有规则几何形状的刚体绕对称轴的转动惯量不难计算，几种典型形状刚体的转动惯量如图所示，图中 m 为刚体的总质量。

转动惯量 2. 回转半径 任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即： 式中 k 称为回转半径。例如，圆球的回转半径 2. 回转半径 任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即： 式中 k 称为回转半径。例如，圆球的回转半径 圆柱的回转半径 等。质量相同的刚体，转动惯量越大，回转半径越大。

转动惯量 3. 转动惯量的平行轴定理和正交轴定理 (1) 平行轴定理 3. 转动惯量的平行轴定理和正交轴定理 (1) 平行轴定理 如图，设刚体绕通过质心转轴的转动惯量为 IC，将轴朝任何方向平行移动一个距离 d，则绕此轴的转动惯量 ID 为：

转动惯量 3. 转动惯量的平行轴定理和正交轴定理 (2) 正交轴定理 3. 转动惯量的平行轴定理和正交轴定理 (2) 正交轴定理 如图，如果已知一块薄板绕位于板上两相互垂直的轴（设为 x 轴和 y 轴）的转动惯量为 Ix 和 Iy，则薄板绕 z 轴的转动惯量为：

定轴转动刚体的角动量守恒 绕对称轴（或自由轴）z轴转动的刚体的角动量为： 当刚体不受外力矩作用时，角动量不变，即ω不变，此即角动量守恒。其实，上式也适用于Iz可变的物体，只要在变化过程中不破坏对称性，又保持所有质点的相同，这样，角动量守恒的表式就成为： 当 M = 0 时，Iz ω= 常量 当 Iz 增大时， ω减小； Iz 减小时ω增大。双手握哑铃的人站在旋转的平台上，当他伸开双臂（意味着 Iz 增大）时转速减小，当他垂下双臂（意味着 Iz 减小）时转速增大，就是这个道理。

定轴转动刚体的角动量守恒 跳水运动员

四、刚体运动的基本方程 与刚体的平衡 刚体运动的基本方程 四、刚体运动的基本方程 与刚体的平衡 刚体运动的基本方程 刚体是一种特殊的质点组，因而关于质点组运动的定理也完全适用于刚体。我们已学过的两个定理是质心运动定理和角动量定理： 我们知道，刚体的自由度最多为6，这里已有6个独立的分量方程，处理刚体问题已经够了。

刚体运动的基本方程 说明 外力矩是指对于空间中任一固定点（惯性系）的力矩，即(8.4.2)式对空间任意点都正确，当然，相应的角动量也是关于空间中的相同点。若考虑的是非惯性系，则必须计入惯性力和惯性力的力矩，我们也知道，对于质心系，惯性力的力矩为零。 若总外力和总外力矩都为零，即 ∑Fi = 0， ∑Mi = 0 ，这样的力系称为零力系，此时刚体的动量、角动量都守恒，则刚体的运动为：质心做匀速直线运动，并绕通过质心的自由轴做匀速转动。 磁悬浮地球仪

刚体的平衡 刚体静力学研究刚体在平衡（即相对于某个惯性参考系静止或作匀速直线运动）情况下的受力分布。刚体静力学在工程、建筑等部门中有广泛的应用，是材料力学、结构力学等学科的基础。 处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和角动量均不随时间改变（通常等于零）。因此，根据动量定理和角动量定理，刚体平衡的充分必要条件为： 该式表明外力的矢量和为零，且外力对空间某一定点（例如 A 点）的力矩的矢量和为零。其实，当这两个条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢量和也为零（思考题）。

六、刚体的定点运动 刚体的比较复杂的运动是定点运动。 刚体的定点运动有些性质初看起来是很“奇怪”的。本节将限于进行定性的讨论，揭示这些“奇怪”性质的物理实质，而不研究刚体定点运动的严格理论。

没有外加力矩的定点运动 将刚体装在所谓“常平架”上，如图。常平架对刚体转轴作何取向并不施加任何限制，所以在轴承上只有由于刚体的重量而引起的静压力。由于对称性，这种静压力对于质心的力矩为零。因此，刚体在常平架上的运动是一种没有外加力矩的定点运动，定点指的是质心。 也许有人会这样想：既然没有外加力矩作用，刚体一旦绕某根轴线转动，就一定继续绕那根轴线匀速转动，转动轴线与转动速度不变，这个想法并不对，因为刚体的转动轴线是否改变取决于刚体的转动是否达到动平衡。

没有外加力矩的定点运动 为便于说明问题起见，不妨暂且这样设想：不仅 O 是定点，在 O1点还有一个轴承，刚体绕轴 OO1 作定轴转动，如图所示。 如刚体绕 OO1 的转动不是动平衡的，换句话说， OO1不是刚体的自由轴，则惯性离心力系的力矩有驱使 OO1 轴运动的趋势，惯性离心力系是力偶，这力偶驱使刚体绕 OA轴转动。这样，刚体既绕 OO1轴转动，又绕 OA 轴转动，因而其合成运动是绕 OO2轴转动。

没有外加力矩的定点运动 这之后，当然依然没有达到动平衡，惯性离心力的力偶仍然存在，仍然要驱使轴继续运动。但是要注意，刚体已绕其轴转了一个小角度，惯性离心力的指向也随着刚体转了一个小角度，或者说，惯性离心力的力偶矩已随着刚体转了一个小角度。按这样的方式推论下去可知，转动轴描出锥面。 故得结论：在没有外力矩作用的情况下，具有一个定点的刚体除非是绕自由轴转动，否则不会作定轴转动，其转动轴在空间描出锥面。

没有外加力矩的定点运动 在飞机上有一些人造地平之类的定向指示仪表，这些仪表的主要部分都是装在常平架上绕其对称轴高速转动的圆盘。因为圆盘达到了动平衡，不论飞机的运动如何复杂，圆盘的轴在空间中保持一定指向，不受飞机运动的影响，驾驶员从圆盘的轴相对于飞机的角度就可以正确地知道飞机在空中的指向。由于圆盘的转速很高，仪表的指示是很稳定可靠的。

没有外加力矩的定点运动 没有外加力矩的定点运动也存在于自然界中。地球是一个扁球体，为显著起见，右图作了过分的夸大。地球的自转并不绕对称轴进行，自转轴与对称轴差一个角度。因此，应当区分两种地轴：地球的对称轴称为地理地轴，地球的自转轴称为天文地轴。根据上面的讨论可知，天文地轴描出圆锥面。天文南、北极绕地理南、北极运动。这种现象称为极移。实际观测结果，极移周期为14个月。

陀螺的运动 绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪。 陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，所以属刚体的定点运动。利用角动量和角速度的矢量性质，不难解释陀螺的运动，陀螺有许多奇妙的性质，并有着广泛的应用。

陀螺的运动 杠杆陀螺的进动 这种现象称为进动。进动角速度可由角动量定理求得： 而 因此 为表示出进动角速度的方向，可将上式写成矢量形式

陀螺的运动 技术上利用进动的一个实例是炮弹在空中的飞行，如图。炮弹在飞行时，要受到空气阻力的作用。阻力f的方向总与炮弹质心的速度方向相反，但其合力不一定通过质心。 阻力对质心的力矩就会使炮弹在空中翻转。这样，当炮弹射中目标时，就有可能是弹尾先触目标而不引爆，从而丧失威力。为了避免这种事故，就在炮筒内壁上刻出螺旋线。这种螺旋线叫来复线。当炮弹由于发射药的爆炸被强力推出炮筒时，还同时绕自己的对称轴高速旋转。由于这种旋转，它在飞行中受到的空气阻力的力矩将不能使它翻转，而只是使它绕着质心前进的方向进动。这样，它的轴线将会始终只与前进的方向有不大的偏离，而弹头就总是大致指向前方了。