学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算. 学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算. 1. 偏导数的定义和计算 二元函数z = f(x, y)在(x0, y0)点对x的偏导数就是z = f(x, y0)在x = x0点的导数, 记为
二元函数z = f(x, y)在(x0, y0)点对x的偏导数就是z = f(x0, y)在y = y0点的导数，记为
一般是这样做的：在二元函数z = f(x, y)中，将y看作常数对x求导得出z = f(x, y)对x的偏导函数 偏导函数在(x0, y0)点的函数值就是z = f(x, y)在(x0, y0)点对x的偏导数.
同样, 在二元函数z = f(x, y)中, 将x看作常数对y求导得出z = f(x, y)对y的偏导函数 偏导函数在(x0, y0)点的函数值就是z = f(x, y)在(x0, y0)点对y的偏导数. 注意 类似于一元函数, 偏导函数可以简称偏导数. 之所以称为“偏”导数, 就是偏向某一个自变量, 而其他自变量看作常数.
例(偏导数的计算) 设f(x, y) = x3 – 2x2y + 3y4, 求 Solution (1) 由于对x求偏导数是将y看作常数对x求导, 因而 (2) 因为对y求偏导数是将x看作常数对y求导, 于是 (3) 表示f(x, y)在(1, 1)点对x的偏导数, 因此
(4) 表示f(x, y)在(1, -1)点对y的偏导数, 因此
例(偏导数的计算) 设z = (x2 + y2)ln (x2 + y2), 求 Solution 因为z = (x2 + y2)ln (x2 + y2), 利用函数乘积求导法则有
例(偏导数的计算) 求函数 在(2, 1)点处的各偏导数. Solution 利用函数商的求导法则有 于是, 在(2, 1)点处的各偏导数分别为
2. 二阶偏导数的定义和计算(了解!) 二元函数z = f(x, y)，还可以考虑 对x和对y的偏导数(如果存在的话), 分别是
二元函数z = f(x, y)，还可以考虑 对x和对y的偏导数(如果存在的话), 分别是 例(高阶偏导的计算) 求函数z = x3y2 – 3xy2 – xy +1的所有二阶偏导数. Solution 因为函数z = x3y2 – 3xy2 – xy +1,所以
学习任务四 二元函数偏导数的应用 作为二元函数偏导数的应用，利用它可以计算二元函数的极值. 要求大家理解二元函数的极值的概念且了解可以利用偏导数计算二元函数的极值. 这些内容类似于一元函数的有关内容，请对比学习.
1. 二元函数极值的有关概念 设二元函数z = f(x, y)在(x0, y0)点的附近有定义, 若对于(x0, y0)附近都没有比函数值f(x0, y0)大的点, 则(x0, y0)称为函数z = f(x, y)的极大值点, 而f(x0, y0)称为函数z = f(x, y)的极大值. 例如, 曲面 在(0,0)点取到极大值0：
设二元函数z = f(x, y)在(x0, y0)点的附近有定义, 若对于(x0, y0)附近都没有比函数值f(x0, y0)小的点, 则(x0, y0)称为函数z = f(x, y)的极小值点, 而f(x0, y0)称为函数z = f(x, y)的极小值. 例如, 曲面z = x2 + y2在(0,0)点取到极小值0：
注意 与一元函数类似, 极大(小)值点是自变量x和y的取值, 而极大(小)值是函数值. 2. 二元函数的驻点 设二元函数z = f(x, y)在(x0, y0)点的附近存在偏导数, 若 则称(x0, y0)是二元函数z = f(x, y)的驻点.
类似于一元函数, 二元函数z = f(x, y)的极值点是驻点或偏导数不存在的点, 但反过来不成立.