(The representation of power series of analytic function) 第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function) §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒（Taylor）级数 §4.4 洛朗(Laurent)级数

第一讲 §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数

§4.1 复数项级数 (Series of complex number） 一、复数序列的极限 二、复数项级数

一、复数序列的极限 记作

定理4.1 那末对于任意给定 证明 就能找到一个正数N, 从而有 所以 同理

反之, 如果 从而有 [证毕]

二、复数项级数 称为复数项级数. 称为级数的部分和. 若{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 即

则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成 否则称级数(4.1)为发散.

定理4.2 复级数 收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:

解（1） （2）

例3 解 定理4.3级数 收敛的必要条件是

证明 因为级数 收敛的充分必要条件是 定理4.4若级数 收敛， 则级数 也收敛. 若级数 收敛, 则称 绝对收敛.若级数 收敛, 发散，则称 证明 因为级数 收敛的充分必要条件是 都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是 定理4.4若级数 收敛， 则级数 也收敛. 若级数 收敛, 则称 绝对收敛.若级数 收敛, 发散，则称 为条件收敛。 为条件收敛。 为条件收敛。 为条件收敛。

例4 解：因为 所以由正项级数的比值判别法知: 故原级数收敛, 且为绝对收敛.

例5 解 故原级数收敛. 所以原级数条件收敛.

§4.2 复变函数项级数 (Series of function of complex variable) 一、复变函数项级数 二、幂级数

一、复变函数项级数 设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2) 的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函 数f(z),对于D内的每一点z, 级数（4.2）均收敛于 f(z), 则称f(z)为级数(4.2)的和函数, 记为:

二、 幂级数 形如： 的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1, c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式

K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛. 定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛. a •

证明 设z是所述圆内任意点.因为 收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使 (n=0,1,2,…), 因为|z-a|<|z1-a|, 故级数 收敛 在圆K内绝对收敛.

推论 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则满 足|z-a|>|z2-a|的点z都是幂级数(4.3)发散点.

幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的， 当 z≠a有以下三种情况: (1)对所有的复数z 幂级数（4.3）均收敛. 例如, 级数 对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 于是有 故该级数对任意的z均收敛.

(2) 对于任意z≠a幂级数（4.3）都发散. 例如,级数 通项不趋于零, 故级数发散. (3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理4.5的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使幂级数（4.3）

发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论知,它必在圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.) 在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R,使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛,在圆周|z-a|=R外部发散.R称为此幂级数的收敛半径;圆|z-a|<R和圆周|z-a|=R分别称为它的收敛圆和收敛圆周.在第一情形约定R=+∞;在第二情形,约定 ,并也称它们为收敛半径. R=0

收敛圆 . . 收敛半径 收敛圆周 幂级数 的收敛范围是以O点为中心的圆域.

一个幂级数在其圆周上的敛散性有三种可能: (1)处处发散. (2)处处收敛. (2)既有收敛点,又有发散点. 幂级数的收敛半径的求法

则幂级数 的收敛半径为: R= 1/l (l≠0,l≠+∞); 0 (l=+∞); +∞ (l=0). (4.4)

例1 求下列幂级数的收敛半径: (1) (并讨论在收敛圆周上的情形) (2) (并讨论 时的情形) 解 (1) 因为 所以收敛半径

即原级数在圆 内收敛, 在圆外发散, 在圆周 上, 级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. 这个例子表明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.

例2 求 的收敛半径. 解 所以

例3 把函数 表成形如 的幂 级数, 其中 是不相等的复常数 . 把函数 写成如下的形式: 解： 凑出 代数变形 , 使其分母中出现

级数收敛, 且其和为 收敛半径另一求法

当|z-a|<|b-a|=R时 级数收敛 y b a O x

说明：同实变函数幂级数一样，我们有 (1) 幂级数 的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞) 内解析. (2)在收敛圆K内,幂级数 可以逐项求导至任意阶. (3)在收敛圆K内,幂级数 可以逐项求积分.

例4 求级数 的收敛半径与和函数. 解 利用逐项积分,得: 所以

课后作业 一、 思考题：1、2 二、习题四：1-5

第二讲 §4.3 泰勒（Taylor）级数 §4.4 洛朗(Laurent)级数

§4.3 泰勒（Taylor）级数 (Taylor’s series) 一、解析函数泰勒定理 二、一些初等函数的泰勒展式

一、解析函数泰勒定理 幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个 解析函数.反过来，解析函数能否展开成幂级数? 定理4.6

此式称为 在 的泰勒展开式, 它右 端的级数称为 在 处的泰勒级数.

二、一些初等函数的泰勒展式

例2 把下列函数展开成 z 的幂级数

y x （3） 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式. [解] ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, O R=1 x y

因为

推论2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点。(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)

在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式 的成立必须受|x|<1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的. 而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数 1-z2+z4-… 它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.

§4.4 洛朗(Laurent)级数 (Laurent’s series) 一、双边幂级数 二、解析函数的洛朗展式

一、双边幂级数 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 本节将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.

形如 的级数称为双边幂级数

负幂项部分 非负幂项部分 收敛 主要部分 解析部分 同时收敛 f(z) f1(z) f2(z)

H a R a a r f(z)=f1(z)+ f2(z 收敛半径 R 收敛半径 收敛域 收敛域 两收敛域无公共部分,

z0 R1 R2 例如级数

问：在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数? z0 R1 R2

其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数: O x y

二、解析函数的洛朗展式 定理4.7 设 f (z)在圆环域 R1< |z-z0| < R2内 解析, 则 解析, 则 C z0 R1 R2 C为在圆环域内绕z0的任 何一条正向简单闭曲线.

称为函数 在以 为中心的圆环域: 内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 的洛朗级数.

常见的特殊圆环域: . . .

将函数展成洛朗级数 常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦.

2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 .

典型例题 例1 解 由定理知: 其中

故由柯西–古萨基本定理知: 由高阶导数公式知:

另解 本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,

分别在圆环域 （1） 0 < |z| <1; （2） 1<| z| < 2; 展开成洛朗级数. x y O 1 2

y x o 1 2 解:(1)在(最大的)去心邻域

(2) 在(最大的)去心邻域

函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例)

特别的，当洛朗级数的系数公式 （即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1<|z-z0|<R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析。

例5 解：

例6 解：

课后作业 一、 思考题：3 二、习题四：6-10