连续小波变换

连续小波变换 连续小波变换是信号时-频分析的另一种重要工具。它的时频窗在低频时自动变宽，而在高频时自动变窄，具有自动变焦作用。结果，在很暂短的高频现象上，小波变换能比窗口Fourier变换更好地”移近”观察。 对于小波函数ψ(t) ，函数 的连续小波变换为 也常记为 上面用到了

小波变换的计算 注意第2讲中函数 的卷枳定义 记 ，连续小波变换可写为卷积 其中 证明 事实上，由卷积的定义，得 再注意 ，即可得证。

小波变换性质 定理 设ψ是小波而 ，则 (线性) (平移) 其中 是平移算子 。 (3)(伸缩) 其中 是伸缩算子 。

小波变换性质(续) (4) (对称性) (5)(奇偶性) 其中P是反射算子(奇偶算子) (6)(反线性性) (7)(小波平移) (8)(小波伸缩)

小波重构 如果ψ是一个基小波，则有Parseval恒等 式 以及重构公式 上面讨a的积分是从负无穷到正无穷的。由于a代表频率的变化，这时有正频率也有负频率。在信号分析中，我们只考虑正频率。

小波重构(续) 由伸缩因子a 对频率的影响可以看到，频率变量ω是膨账参数a 的倒数的正的常数倍，例如，写为 ，其中 是 的中心(假定 总是正的)，这样，我们只需考虑a的正值。 在连续小波变换重构f 中，现在只允许使用值 。这时，对小波ψ还需加上进一步的限制

小波重构(续2) 定理 令ψ是满足上述条件(1)的基小波，那么 对所有 成立。进而,对于任何 和在f 的连续点 ，有 定理 令ψ是满足上述条件(1)的基小波，那么 对所有 成立。进而,对于任何 和在f 的连续点 ，有 附注 定理的证明完全类似于不限制a的情形,只需注意

不同小波的重构公式 上面重构公式与Parseval恒等式要求f,g 的小波变换都是对同一小波进行的。如使用不同小波进行变换，容许性条件变为 重构公式是 这时要对 加上较多条件: , 是可微的,且 并且

小波生成方法 Gauss小波和Mexic帽小波是Gauss函数的一、二阶导数生成的。这样由光滑函数的导数得到小波函数的作法对一般情形也成立。设θ(t)是光滑函数，满足 则 就一定是小波函数，因为 如果ψ(t)是满足容许性条件的基小波，则由下述定理可以构造更多的基小波。 定理 如果ψ是一个基小波， 是一个有界可积函数，那么卷积 是基小波。

小波的光滑性与局部化性质 当对小波附加了容许性条件后，应用中有时还需要小波满足其它的性质，例如，要求小波是n次连续可微的或是无限可微的。用卷积方法可以增加小波的光滑性。例如ψ是Haar小波φ是Haar(尺度)函数，如果ψ与φ微n+1次卷积，则 是n次连续可微的。上个例子给出的小波是无限可微的,Mexic帽小波也是无限可微的。 除了小波的光滑性外，小波还需要描述的另一个性质是局部化性质。我们想ψ在时间与频率方面都有好的局部化。

局部化性质与消失矩 对于时域局部化，ψ和它的导数当t→0时必须很快地衰减。对于频率局部化， 当ω→0必须充分快地衰减，并且 在ω=0的邻域中是低平的。 消失距 在ω=0的低平性依赖于ψ的变为零的矩量的数目。ψ的k 阶矩定又为 称小波ψ具有n 阶消失矩(即n 阶矩量变零)，如果 或等价地

小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类 （重新审视） 连续小波变换 小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类

小波及连续小波变换 设函数 ，并且 ，即 ，则称 为一个基本小波或母小波。 (连续)小波函数 a和b的意义 性质： 线性性质 平移不变性 ……….

小波及连续小波变换 设函数 , 若 则称 为一个允许小波。 允许条件与 几乎是等价条件.

常用的基本小波 Haar小波

常用的基本小波 2. Daubechies小波 D4尺度函数与小波 D6尺度函数与小波

常用的基本小波 3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器 bior2.2, bior4.4 （7-5）小波滤波器:

常用的基本小波 4. Morlet小波 Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。

常用的基本小波 5. 高斯小波 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 5. 高斯小波 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴反对称。

常用的基本小波 6. Marr小波 （也叫墨西哥草帽小波） 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴对称。

常用的基本小波 7. Meyer小波 它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：

常用的基本小波 8. Shannon小波 在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。

常用的基本小波 9. Battle-Lemarie样条小波 Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形

时频分析 1. Fourier变换 Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。 2. 短时Fourier变换 短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。

窗口Fourier变换 非平凡函数 称为窗函数， 如果 窗口Fourier变换： 大致反映了 在时刻 b、频率为 的"信号成分"的相对含量。 通常我们用 作为窗函数 的宽度的度量。 窗口Fourier变换： 大致反映了 在时刻 b、频率为 的"信号成分"的相对含量。

窗口Fourier变换 给出了 在 的时间窗 内的局部化信息。

短时Fourier变换 若 及其Fourier变换 都是窗口函数 ，则称 为短时Fourier变换。 特别地，当窗口函数取Gaussian函数时， 相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。 同时给出了 在时间窗 和频率窗 内的局部化信息。 时间-频率窗 的特性：不变的宽度 和固定的窗面积 测不准原理： 应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。

小波时频分析 小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。 假设 是任一基本小波，并且 与 都是窗函数， 它们的中心 与半径分别为 和 不妨设 和尺度 a都是正数。 ， ， 。 给出了 在时间窗 内的局部化信息。 给出了 在频域窗 内的局部化信息。

小波时频分析 若用 作为频率变量 内的局部化信息, 即小波变换具有时—频局部化特征。 窗宽: 面积: 的宽度是 宽度的 倍. 检测信号 ，则 给出了信号 在时间—频率平面（ 平面）中一个矩形的时间—频率窗 内的局部化信息, 即小波变换具有时—频局部化特征。 窗宽: 面积: 的宽度是 宽度的 倍. 检测信号 的高频成分需用 具有比较小的 的分析小波 . 这时时间窗会自动 变窄，并在高频区域对信号进行细节分析.

各种变换的比较 小波变换的特性 Fourier变换的特性 分解种类：时间-尺度或时间-频率  分解种类： 频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量： 尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号 Fourier变换的特性  分解种类： 频率  分析函数： 正弦函数，余弦函数  变量： 频率  信息： 组成信号的频率 适应场合： 平稳信号  算法复杂度： 短时Fourier变换的特性 分解种类：时间-频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量：频率，窗口的位置 信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分； 窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差. 适应场合：次稳定信号

连续小波变换的计算 数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等） 在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。 连续小波变换的结果的显示方式： 灰度表示，三维表示

连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点 2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32

小波变换的分类 中 离散小波及离散（参数）小波变换： 二进小波及二进小波变换 三个变量均为连续变量， 通过对它们施加不同的 离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类： 离散小波及离散（参数）小波变换： 二进小波及二进小波变换 只对a,b离散化 ： 只对a离散化

离散小波及离散（参数）小波变换 令参数 ， ，其中 ，则离散（参数）小波为： 在这种情况下，常用 记 ，即 相应于离散小波 的离散（参数）小波变换为： 重构问题： 在满足什么条件下，可以由离散小波变换 重构原信号？ 可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。

离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论 尺度离散化： 实际工作中最常见的情况是,将尺度 a按照二进尺度离散化,此时a 取值为 位移离散化： 当a=2-J (也就是j =J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样. b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率). 每经过一次小波变换, 其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.

离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论 即对于分辨率j, b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时, 变为 ,为简化书写,通常认为b0=1, 也就是把b轴用b0加 以归一.并记

二进小波及二进小波变换 在连续小波变换中，令参数 ，而参数b仍取连续值. ， 则有二进小波： 这时， 的二进小波变换定义为： 重构问题： 在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？ 重要性质： 二进小波变换仍具有连续小波变换的平移不变性 .