5.2.1 变量可分离的微分方程 形如 的微分方程成为变量可 分离的微分方程. 解法 分离变量法 5.2 一阶微分方程（80）

例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 5.2 一阶微分方程（80）

解 通解为 5.2 一阶微分方程（80）

求解微分方程： 例 3 解 两端作不定积分，得 所求解为： 5.2 一阶微分方程（80）

解 衰变速度 由题设条件 （衰变系数） 衰变规律 5.2 一阶微分方程（80）

例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每分2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 分后 的含量为 在 内, 车间内 的改变量为 的通入量 的排出量 5.2 一阶微分方程（80）

的通入量 的排出量 的改变量 答：6分钟后, 车间内 的百分比降低到 5.2 一阶微分方程（80）

5.2.5 小结与思考题1 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分---隐式通解. 5.2 一阶微分方程（80）

思考题 求解微分方程 5.2 一阶微分方程（80）

思考题解答 为所求解. 5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题 5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题答案 5.2 一阶微分方程（80）

5.2.2 齐次微分方程 形如 的方程称为齐次微分方程. 解法 作变量代换 代入原式，得 变量可分离方程 5.2 一阶微分方程（80）

方程的奇解 5.2 一阶微分方程（80）

例 6 求解微分方程： 解 微分方程的解为 5.2 一阶微分方程（80）

例 7 求解微分方程 解 5.2 一阶微分方程（80）

微分方程的解为 5.2 一阶微分方程（80）

实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 例 8 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 (如图) 5.2 一阶微分方程（80）

所以由夹角正 切公式得： 5.2 一阶微分方程（80）

从而得微分方程： 5.2 一阶微分方程（80）

分离变量 积分得 5.2 一阶微分方程（80）

平方化简得 抛物线 5.2 一阶微分方程（80）

1、可化为齐次的微分方程 形如 的微分方程 称为可化为齐次方程的微分方程. 解法 （其中h和k是待定的常数） 5.2 一阶微分方程（80）

有唯一一组解. 得通解代回 上述方法不能用. 5.2 一阶微分方程（80）

可分离变量的微分方程. 否则 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 5.2 一阶微分方程（80）

解 代入原方程得 5.2 一阶微分方程（80）

方程变为 分离变量法得 得原方程的通解 5.2 一阶微分方程（80）

2、利用变量代换求解微分方程 解 代入原方程 原方程的通解为 5.2 一阶微分方程（80）

5.2.5 小结与思考题2 齐次方程 齐次方程的解法 可化为齐次方程的方程 5.2 一阶微分方程（80）

思考题 方程 是否为齐次方程? 5.2 一阶微分方程（80）

思考题解答 方程两边同时对 求导: 原方程是齐次方程. 5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题 5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题答案 5.2 一阶微分方程（80）

5.2.3 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的， 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 5.2.3 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的， 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 5.2 一阶微分方程（80）

一阶线性微分方程的解法: 1. 线性齐次方程 分离变量并积分： 齐次方程的通解为 5.2 一阶微分方程（80）

2. 线性非齐次方程 讨论： 两边积分 令 5.2 一阶微分方程（80）

非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: 即，常数变易法： 把齐次方程通解中的常数易为函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 5.2 一阶微分方程（80）

积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 5.2 一阶微分方程（80）

例11 解 5.2 一阶微分方程（80）

例12 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 解 两边求导得 解此微分方程 5.2 一阶微分方程（80）

所求曲线为 5.2 一阶微分方程（80）

方程为非线性微分方程. 1、可化为一阶线性的微分方程：伯努利方程 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程, 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 5.2 一阶微分方程（80）

令 代入上式 求出通解后，将 代入即得 5.2 一阶微分方程（80）

例 13 解 5.2 一阶微分方程（80）

2、 用适当的变量代换求解微分方程 解1 所求通解为 5.2 一阶微分方程（80）

解2 所求通解为 5.2 一阶微分方程（80）

解1 代入原式 分离变量法求解得 所求通解为 解2 5.2 一阶微分方程（80）

解 分离变量法求解得： 所求通解为 5.2 一阶微分方程（80）

5.2.5 小结与思考题3 1.一阶线性非齐次方程 2.伯努利方程 5.2 一阶微分方程（80）

思考题 求微分方程 的通解. 5.2 一阶微分方程（80）

思考题解答 5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题 5.2 一阶微分方程（80）

5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题答案 5.2 一阶微分方程（80）

5.2.4 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式 前面主要讨论了显式形式 的求解问题，这里介绍两类特殊情形： 5.2 一阶微分方程（80）

1、情形： 引入参量 p , 即令 方程化为 两边对 x 求导，得 对此方程求解即可. 5.2 一阶微分方程（80）

例17 解 从微分方程中解出 y , 得 令 ，则 两边对 x 求导, 得变量可分离方程 5.2 一阶微分方程（80）

分离变量并积分, 得 于是,原方程的通解可由下面参数方程表示： 5.2 一阶微分方程（80）

例18 解 从微分方程中解出 y , 得 令 ，则 两边对 x 求导, 得变量可分离方程 5.2 一阶微分方程（80）

分离变量并积分, 得 于是,原方程的通解可由下面参数方程表示： 5.2 一阶微分方程（80）

2、情形： 引入参量 p , 即令 方程化为 两边对 y 求导，得 对此方程求解即可. 5.2 一阶微分方程（80）

例19 解 微分方程的参数表达形式为 微分上式第一函数, 得 将此结果代入第二个函数, 得 5.2 一阶微分方程（80）

于是, 上式两边积分，得 因此, 方程的通解可表为： 5.2 一阶微分方程（80）

例20 解 令 ，则 两边对 y 求导, 得 积分得 通解为： 5.2 一阶微分方程（80）

3、全微分方程或恰当方程 若有全微分形式 全微分方程 或恰当方程 则微分方程 称为全微分方程或恰当方程. 其通解为 称为全微分方程或恰当方程. 其通解为 5.2 一阶微分方程（80）

例如 所以，此方程是全微分方程. 5.2 一阶微分方程（80）

解法: 全微分方程 应用曲线积分与路径无关： 通解：  用直接凑全微分的方法. 5.2 一阶微分方程（80）

例21 解 是全微分方程, 原方程的通解为 5.2 一阶微分方程（80）

例22 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 5.2 一阶微分方程（80）

例23 求微分方程 解 将方程左端重新组合,有 原方程的通解为 5.2 一阶微分方程（80）

例24 解1 整理得 A 常数变易法: B 公式法: 5.2 一阶微分方程（80）

解2 整理得 A 曲线积分法: B 凑微分法: 5.2 一阶微分方程（80）

C 不定积分法: 原方程的通解为 5.2 一阶微分方程（80）

5.2.5 小结与思考题4 5.2 一阶微分方程（80）

思考题 利用曲线积分法求解全微分方程 . 5.2 一阶微分方程（80）

思考题解答 故方程的通解为 5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题 5.2 一阶微分方程（80）

课堂练习题答案 5.2 一阶微分方程（80）