第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章 三、全微分方程

区域 D 分类 单连通区域 ( 无 “ 洞 ” 区域 ) 多连通区域 ( 有 “ 洞 ” 区域 ) 域 D 边界 L 的正向 : 域的内部靠左 定理 1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明 : 1) 若 D 既是 X - 型区域, 又是 Y - 型区域, 且 则 定理 1 目录 上页 下页 返回 结束

即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得 : 定理 1 目录 上页 下页 返回 结束

2) 若 D 不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域, 如图 证毕 定理 1 目录 上页 下页 返回 结束

推论 : 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆 所围面积 定理 1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令证: 令 则 利用格林公式, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 2. 计算 其中 D 是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形闭域. 解: 令解: 令, 则 利用格林公式, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 3. 计算 其中 L 为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令解: 令 设 L 所围区域为 D, 由格林公式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在 D 内作圆周取逆时 针方向,, 对区域 应用格 记 L 和 l ˉ 所围的区域为 林公式, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

应用 Green 公式时, 务必注意以下基本条件 : (1) L 是简单闭曲线 ; (2) P,Q 在 L 上及其内部有连续的一阶偏导数. 当 L 不是闭曲线时, 通常用添加辅助线段的方法将 L 补成闭曲线. ( 如 P164 图 11-8 ) 则有

机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 计算 其中 L 为上半 圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解 : 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与 L 所 围区域为 D, 则 原式

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理 2. 设 D 是单连通域, 在 D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L, 有 (2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价 : 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明 : 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2) 设 为 D 内任意两条由 A 到 B 的有向分段光滑曲 线,线, 则 ( 根据条件 (1)) 定理 2 目录 上页 下页 返回 结束

证明 (2) (3) 在 D 内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点 B( x, y ), 与路径无关, 有函数 定理 2 目录 上页 下页 返回 结束

证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x, y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在 D 内每一点都有 定理 2 目录 上页 下页 返回 结束

证明 (4) (1) 设 L 为 D 中任一分段光滑闭曲线, ( 如图 ), 利用格林公式, 得 所围区域为 证毕 定理 2 目录 上页 下页 返回 结束

说明 根据定理 2, 若在某区域内 则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求 d u = P dx + Q dy 在域 D 内的原函数 : 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线 ; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径 ; 定理 2 目录 上页 下页 返回 结束

例 5. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证 : 设则 由定理 2 可知, 存在函数 u (x, y) 使 。 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 6. 验证 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 数, 并求出它. 证: 令证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

或

例 7. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功 W 解:解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考 : 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 8. 设积分 在上半平面（不含 x 轴）内与路径无关，求 a 与 解 : 将被积式记为 Pdx+Qdy ，则依定理 2 有 Q x =P y, 而 于是 或

由此解出 取 L 为从点 (1,1) 经点 (0,1) 到点 (0,2) 的折线，得 说明：由定理 2 知，若 L 是分段光滑闭曲线， P,Q 在 L 上及内部有一阶连续偏导数，且 Q x =P y, 则 但若上述条件不完全满足，例如 P 和 Q 内部某点不连续或 D 为复连通区域，则可用

定理 3 ：设除点 M 0 以外， P ， Q 处处有连续的一阶 偏导数，且 Q x =P y, 则对任何包围点 M 0 的正向简单闭 曲线 L ，取同一值（即与环路路径无关）。 证 : 设 L ， C 是包围点 M 0 的两条简单闭曲线，不妨 设 C 在 L 的内部。作一辅助线段 AB ，从点 A 出发沿 L 之 正向绕行一周，然后从 A 经线段 AB 至 B ，沿 C 之负向 绕行一圈到 B ，再经 BA 回到 A ，这样构成一闭曲线 Γ ， 在 Γ 上及其内部有 Q x =P y ，因而

例 9. 求 解 : 在原点以外可验证 于是由定理 3 有

三、全微分方程 则称 ① 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ). 判别 :P, Q 在某单连通域 D 内有连续一阶偏导数, ① 为全微分方程 求解步骤 : 1. 求原函数 u (x, y) 方法 1 凑微分法 ; 方法 2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C.

例 1. 求解 解 : 因为 故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为

例 2. 求解 解:解: ∴ 这是一个全微分方程. 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 或 故原方程的通解为

思考 : 如何解方程 这不是一个全微分方程, 但若在方程两边同乘 就化成例 2 的方程. 积分因子法 若存在连续可微函数使 为全微分方程, 为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.

常用微分倒推公式 : 积分因子不一定唯一. 例如, 对 可取

例 3. 求解 解 : 分项组合得 即 选择积分因子 同乘方程两边, 得 即 因此通解为 即 因 x = 0 也是方程的解, 故 C 为任意常数.

内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 设 提示 : 第四节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 设 C 为沿 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解 : 添加辅助线如图, 利用格林公式. 原式 = 到点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 质点 M 沿着以 AB 为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点 B(3, 4), 到原点的距离, 解 : 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于 OM, 且与 y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点 M 所作的功. ( 90 考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 设 L ， D 满足定理 2 ， D 有面积 σ ， 是 L 的单位 外法矢：求 L 取正向。 （ P164— 例 13 ） 解 : 由于法向量垂直于 L 的切向量：

4. 设 如上例，函数 u 在 D 及 L 上有连续的二阶 偏导数，证明 其中 证 : 注意