第 5 章 数值积分 §1 插值型求积公式 §2 复化求积公式 §3 龙贝格 (Romberg) 求积方法 §4§4 数值微分 数值微分
第 5 章 数值积分 1.1 牛顿 ― 柯特斯 (Newton―Cotes) 公式 在一元函数的积分学中, 我们已经熟知, 若函数 f(x) 在区间［ a, b ］ 上连续且其原 ? 函数为 F(x), 则可用牛顿 ― 莱布尼兹公式 (5―1)
第 5 章 数值积分 来求定积分。公式 (5―1) 虽然在理论上或在解决实 际问题中都起了很大的作用,? 但它并不能完全解决定积 分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三 种 ? 情况 : (1) 被积函数 f(x) 的原函数 F(x) 不易找到。许多很简 单的函 ? 数, 例如 等, 其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第 5 章 数值积分 (2) 被积函数 f(x) 没有具体的解析表达式。其函数关 系由表格或图形表 ? 示, 无法求出原函数。 (3) 尽管 f(x) 的原函数能表示成有限形式但其表达式 相当复杂。例如定 ? 积分 的被积函数 的原函数就比较复杂, 从数值计 算角度来 ? 看, 计算量太大。
第 5 章 数值积分 如图 5.1, 若用 ? 左矩形近似地代替曲边梯形, 则得到 左矩形公式 同样可得到右矩形公式 (5―2) (5―3)
第 5 章 数值积分 图 5.1
第 5 章 数值积分 如图 5.2, 若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积, 则得到计算定积分 ? 的梯形公式 (5―4) 如图 5.3, 若用抛物线代替曲线 f(x), 则可得到抛物线 公式 (? 或辛普生公式 ) (5―5)
第 5 章 数值积分 图 5.2 图 5.3
第 5 章 数值积分 1.1 牛顿 ― 柯特斯 (Newton―Cotes) 公式 建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简 单又有足够精度的函数 φ(x),? 用 φ(x) 代替被积函数 f(x), 于是有 现用第四章介绍的插值多项式 Pn(x) 来代替被积函 数 f(x), 即有 取基点为等距, 即 a=x 0 ＜ x 1 ＜ … ＜ x n =b
第 5 章 数值积分 利用拉格朗日插值多项式 (5―6) 其中 (5―7)
第 5 章 数值积分 这里 y i =f(x i ), 对式 (5―6) 两边积分得
第 5 章 数值积分 为牛顿 ― 柯特斯求积公式,R n (f) 为牛顿 ― 柯特斯 求积公式的余项。 令 x=x 0 +sh, 0≤s≤n (5―8) (5―9) (5―10) 我们称
第 5 章 数值积分 (5―11)
第 5 章 数值积分 称 C (n) i 为柯特斯求积系数。 很显然, 当 n=1 时, 可算得 此时式 (5―10) 为 (5―12)
第 5 章 数值积分 这是梯形公式。 当 n=2 时, 可得 于是 (5―13)
第 5 章 数值积分 这是抛物线公式。 当 n=3 时,
第 5 章 数值积分 代入 (5―10) 式得到求积公式 (5―14) 类似地可分别求出 n=4,5, … 时的柯特斯系数, 从而建 立相应的求积公式。具体结果见表 5―1 。 从表中可以看出, 当 n≤7 时, 柯特斯系数为正 ; 从 n≥8 开 始, 柯特斯系数有正有负。因此, 当 n≥8 时, 误差有可能传播 扩大, 牛顿 ― 柯特斯求积公式不宜采用。
第 5 章 数值积分 柯特斯系数 C (n) i 仅与 n 和 i 有关, 与被积函数 f(x) 无关, 且满足 (5―15) 事实上, 式 (5―10) 对 f(x)=1 是准确成立的。
第 5 章 数值积分 例 1 试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分 解 利用梯形公式 利用抛物线公式
第 5 章 数值积分 原积分的准确值
第 5 章 数值积分 表 5―1
第 5 章 数值积分 1.2 误差估计 现对牛顿 ― 柯特斯求积公式所产生的误差作一个 分析。由式 (5―9), 牛顿 ― 柯特斯求积公式的余项为 易知, 牛顿 ― 柯特斯求积公式 (5―10) 对任何不高 于 n 次的多项式是准确成立的。这是因为 f (n+1) (ξ)≡0 故 R n (f)≡0
第 5 章 数值积分 一般说来, 若某个求积公式对于次数不高于 m 的多 项式都准确成立 ( 即 Rn(f)≡0), 而对于某一次数为 m+1 的 多项式并不准确成立 ( 即 Rn(f)0), 则称这一求积公式的 代数精确度为 m 。 牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精确度至少为 n 。 通常在基点个数相等的情况下, 代数精确度愈高, 求积公 式就愈精确。 定理 1 ( 梯形公式的误差 ) 设 f(x) 在区间［ a, b ］上具 有连续的二阶导数, 则梯形求积公式的误差为
第 5 章 数值积分 由于 ω 1 (x)=(x-a)(x-b) 证 由式 (5―9) 知, 梯形公式的余项为 (5―16)
第 5 章 数值积分 在区间 (a, b) 内不变号,f″(ξ) 是 x 的函数且在［ a,b ］ 上连续, 故根据积分第二中值定理参见有关《数学分析》 教材中 “ 一元函数积分学第二中值定理 ” 。 知, 存在某一 η ∈ (a, b) 使
第 5 章 数值积分 定理 2 ( 抛物线公式的误差 ) 设 f(x) 在［ a, b ］上有连 续的四阶导数, 则抛物线公式的误差为 (5―17) 证由式 (5―9) 知
第 5 章 数值积分 §2 复合求积公式 2.1 复合梯形公式 对于定积分 (5―1), 将积分区间［ a, b ］分成 n 个相等 的子区间［ x i,x i+1 ］, 这里步长 在每一个子区间［ x i,x i+1 ］上使用梯形公式, 则
第 5 章 数值积分 相加后得 (5―18) (5―19) 若 f″(x) 在［ a,b ］上连续, 由连续函数的介值定理, 存在某一 ξ ∈ (a,b) 使得
第 5 章 数值积分 因而 于是得到复合梯形公式 (5―21) 其余项为
第 5 章 数值积分 例 2 若用复合梯形公式计算积分 问积分区间要等分多少才能保证有五位有效数字 解 由余项 (5―21) 式 则当 0 ＜ x ＜ 1 时, 有 因为 又 故
第 5 章 数值积分 由于原积分的准确值具有一位整数, 因此要使近似 积分值有五位有效数字, 只需取 n 满足 两边取对数得 整理后得到
第 5 章 数值积分 2.2 复合抛物线公式 类似复合梯形公式的做法, 把区间［ a,b ］分成 n 个 相等的子区间［ x 2i,x 2i+2 ］ (i=0,1, …,n-1), 设每个子区间 上的中点为 x 2i+1 (i=0,1, …,n-1), 且 在每一个子区间［ x 2i,x 2i+2 ］上利用抛物线公式得 (5―22)
第 5 章 数值积分 相加后得 (5―23)
第 5 章 数值积分 图 5.4
第 5 章 数值积分 图 5.4
第 5 章 数值积分 若 f (4) (x) 在［ a, b ］上连续, 则 从而得到复合抛物线公式 (5―24)
第 5 章 数值积分 其余项为 (5―25) 复合抛物线公式的计算框图见 5.4 。 例 3 根据给出的函数 的数据表 5―2, 分别用复合梯形公式和复合抛物线 公式计算
第 5 章 数值积分 表 5―2
第 5 章 数值积分 解 用复合梯形公式, 这里
第 5 章 数值积分 用复合抛物线公式可得 而 I 的准确值为 …, 可见用复合抛物线 公式比用复合梯形公式精确。
第 5 章 数值积分 2.3 变步长公式 前面介绍的复合梯形公式和复合抛物线公式的步 长都是预先确定的。它的主要缺点是事先很难估计出 n 的大小 ( 或步长 h 的大小 ), 使结果达到预先给定的精度。 在实际计算中, 我们常常借助于计算机来完成积分步长 h 的自动选择, 即采用变步长求积公式。具体地讲, 就是将 步长逐次折半, 反复利用复合求积公式, 直到满足精度要 求为止。
第 5 章 数值积分 下面介绍变步长复合抛物线公式 ( 变步长复合梯形 公式留给读者作为练习 ) 。 逐次将区间［ a,b ］分成 2 1,2 2, …,2 m 等分, 并按复合抛 物线公式逐次计算积分得到 S 1,S 2, …,S m, 而 (5―26) 其中 再把每个子区间分成两半, 用
第 5 章 数值积分 图 5.5
第 5 章 数值积分 图 5.5
第 5 章 数值积分 作步长, 按复合抛物线公式计算出积分的近似值 S 2m 。 对于相邻两次的积分近似值 S m 、 S 2m, 考察 当｜ S 2m ｜＜ 1 当｜ S 2m ｜ ≥1 (5―27) 设预先给定的精度为 ε, 若 ｜ d ｜＜ ε 则以 S2m 作为所要求的积分近似值, 否则继续将区间 分半, 利用复合抛物线公式求积分, 直到满足预给的精度 为止。
第 5 章 数值积分 §3 龙贝格 (Romberg) 积分方法 我们已经知道, 当被积函数 f(x) 在区间［ a,b ］上连 续时, 要使得复合梯形公式或复合抛物线公式比较精确 地代替定积分 可将分点 ( 即基点 ) 加密, 也就是将区间［ a,b ］细分, 然后利用复合梯形公式或复合抛物线公式求积。
第 5 章 数值积分 若用 T m 表示把［ a,b ］作 m 等分并按复合梯形公式 求积的结果, 将每一小段再对分, 令新的小段的长 h′=h/2, 则 T 2m 与 T m 之间有如下关系 : (5―28) 其中
第 5 章 数值积分 另外, 若用 S m 表示把［ a,b ］分成 m( 偶数 ) 个小段按 复合抛物线公式计算的结果, 那么只要把 S m 中的 m 改为 2m,h 改为 h′ 就有 从 T m 的定义可得到关系式 (5―29)
第 5 章 数值积分 我们再举一个计算上半单位圆面积的例子 ( 它的准 确面积为 π/2) 。现用内接正多边形的逼近方法来计算。 如图 5.6, 图 (a) 、 图 (b) 是用同样的内接正多边形计 算上半单位圆的面积。图 (a) 是用梯形方法计算其面积, 图 (b) 是用三角形方法计算其面积。
第 5 章 数值积分 图 5.6
第 5 章 数值积分 设正多边形边数为 n=2k, 则由图 (b) 利用三角形公式 算得面积为 同理
第 5 章 数值积分 如果组合一下, 就会得到更精确的结果, 即 同理
第 5 章 数值积分 再以类似方法组合得 这样继续下去, 其值越来越接近上半单位圆面积 π/2 。 这种方法可以用到计算定积分
第 5 章 数值积分 为了推广公式 (5―29) 和上述计算上半单位圆面积 的组合方法, 我们引进龙贝格求积算法。 龙贝格求积算法本来是利用所谓外推法构造出的 一种计算积分的方法。为了避免从外推引入而带来理 论上的麻烦, 我们将直接从构造一个 T 数表开始。 首先将［ a,b ］依次作 2 0,2 1,2 2, … 等分, 记
第 5 章 数值积分 按复合梯形公式 (5―20) 算得的值相应地记为 T (k) 0 (k=0,1,2, … ); 把按式 (5―29) 算得的 S 2m 依次记为 T (k) 1 (k=0,1,2, 崐 … ), 而这每一个 S 2m 又理解为由 T 2m 与 T m 的 线性组合得到的改进值, 即 我们可按照类似的方法继续进行改进, 也即由 S 2m 与 S m 的线性组合得到改进值, 依次记为 T (k) 2 (k=0,1,2, … ), 即
第 5 章 数值积分 这样就可构造出一个数表 (5-30)
第 5 章 数值积分 其中除第 0 列 ( 即最左一列 ) 的 T(k)0 是按复合梯形公 式计算外, 其余各列都按下述规则 ( 对 m) (5―31) 递推地计算出来。箭头表示计算流程。其计算步骤为 : (1) 将区间［ a,b ］等分为 2 0, 用梯形公式计算 T (0) 0, 即
第 5 章 数值积分 (2) 将区间［ a,b ］等分为 2 1, 用梯形公式算出 T (1) 0, 即 再由 T (0) 0,T (1) 0 根据公式 (5―31) 算出 T (0) 1, 即 若 ｜ T (0) 1 -T (0) 0 ｜＜ ε, (ε 为预给的精度 ) 则停止计算 ; 否则继续往下计算 ;
第 5 章 数值积分 (3) 依次分别算出 T (2) 0,T (1) 1,T (0) 2, …, 这一行地往下推 算, 每一行算完, 就得验证 T (0) m (m=1,2, … ) 是否满足预给的 精度, 即若 则停止计算 ; 否则继续进行下一行。 为了便于在计算机上实现, 可运用下列公式编制程序 :
第 5 章 数值积分
图 5.7
第 5 章 数值积分 图 5.7
第 5 章 数值积分 例 4 计算积分 精确到 。 解
第 5 章 数值积分
于是 由于 实际上
第 5 章 数值积分 §4 数值微分 9.1 用插值法求数值微分 用插值多项式 P n (x) 近似地表示函数 f(x), 即 f(x)≈P n (x) 于是有 f(k)(x)≈P (k) n (x) 其余项相应地为 R (k) n (x) 。
第 5 章 数值积分 设插值基点为等距分布, 由牛顿前差插值多项式 其中 由于
第 5 章 数值积分 于是
第 5 章 数值积分 即 因为
第 5 章 数值积分 而当 x=x i 时,s=i, 此时 (4―59) (4―60) 特别当 x=x 0 时,s=0, 则 (4―61)
第 5 章 数值积分 1. 两点公式 (n=1) 于是在区间［ x 0,x 2 ］上有 (4―62)
第 5 章 数值积分 2. 三点公式 (n=2) 于是在区间［ x 0,x 2 ］上有
第 5 章 数值积分 9.2 用三次样条函数求数值微分 设 s(x) 是 f(x) 在各区间［ x k,x k+1 ］上的三次样条插值 函数, 则在区间［ x k, x k+1 ］上可通过三次样条函数来求 f(x) 的数值微分。 1. 一阶数值微分公式 (4―65)