经济数学 第六章 多元函数微分学

6.1 二元函数的极限与连续 6.2偏导数和全微分 6.3复合函数与隐函数的微分法 6.4二元函数的极值

第六章 多元函数 6.1 二元函数的极限与连续 6.1.1二元函数的概念 1.空间解析几何简介 第六章 多元函数 6.1 二元函数的极限与连续 6.1.1二元函数的概念 1.空间解析几何简介 为了确定空间上一个点的位置，我们需要引入空间直角坐标系． 为此,过空间中一点 分别作三条互相垂直的数轴 (见右图所示)，常称这三条数轴为三个坐标轴，分别记为 轴、 轴和 轴．

三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标平面，分别是 xOy面 yOz面 zOx面 z 三个坐标平面把空间分成八个部分,称为八个卦限. y x

2 .空间点的坐标 设 为空间中任意一个点,过 点分别作三个平面,并使得其分别与 轴 轴 轴垂直, 则该三个平面分别与三个坐标轴各有唯一一个交点A、B、C, 设 OA= , OB= , OC= ,那么点 唯一确定了一个三元的有序数组 ;反过来,对于任意一个三元有序数组 ,必可以分别在 轴、 轴、 轴上找到一个点A、B、C,使得OA= ,OB= ,OZ= ,然后,分别过A、B、C三点作平面,(见右图所示)使其分别

垂直于三个坐标轴,那么这三个平面必然交于一个点.可见空间中任何一个点 必然与一个三元有序数组 为点 的坐标,记作 有一一对应关系.于是,我们称三元有序数组 垂直于三个坐标轴,那么这三个平面必然交于一个点.可见空间中任何一个点 必然与一个三元有序数组 在直角三角形 中 显然有 3.空间两点间的距离 而在直角三角形 中 设 为空间任意两点, 则这两点之间的距离为 例1 求空间中点(2,4,-1)到坐标轴 的距离. 因此 解 点(2,4,-1)到 轴的距离,显然即为点(0,4,-1)到原点(0,0,0)的距离, 于是其距离为:

在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹 6.1.2 空间曲面和空间曲线的一般方程 曲面的方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹 曲面上任一点的坐标都满足方程，不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称此方程为曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。

为某商品的销售量， 为商品的销售价格， 为购买商品的人数为设此种商品的销售量 与 ， 6.1.3二元函数 1.引例 例1 矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x>0,y>0)， 其中长x 和宽y 是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y 的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应. 为某商品的销售量， 为商品的销售价格， 为购买商品的人数为设此种商品的销售量 与 ， 例2 有关系： 其中， ， ， 均为正常数

2.二元函数的定义 定义 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z 为x，y的二元函数，记作 z=f(x,y) 或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.

类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数. 与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。 函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.

例： 求函数 的定义域(a>0,b>0). 解 函数的定义域由不等式组 其图形是矩形内部(包括边界). 例： 求函数 的定义域. 解 函数的定义域为 它的图形是单位圆内部(不包括边界).

二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点. 全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是： (1) 其边界是由一条或几条曲线所组成, (2) 点集内不包含边界上的点, (3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.

如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为 ： 点集内包含边界上所有的点. 这种平面点集称为平面闭区域. 如果一个区域可以被包围在 一个以原点为圆心的某个圆内， 则称此区域为有界区域， 否则称其为无界区域.

6.1.4 二元函数的极限与连续 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义(点(x0,y0) 可以除外),如果动点P(x,y) 以任意方式趋于定点(x0,y0)时，函数的对应值f (x,y)趋于一个确定数A，则称A为函数z=f(x,y),当 时的极限，记作 或 对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方式趋于定点P0(x0, y0)，函数都无限接近于A. 当P(x,y)以不同路径趋于点P0(x0, y0) 时，函数趋于不同的 值，则可以断定函数在该点的极限不存在.

定义 如果当 时，函数z=f (x,y)的极限存在，且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)， 即 则称函数f(x,y)在点 P0(x0,y0)处连续. 如果函数z=f (x,y)在开区域D上各点都连续，则称函数z=f (x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数z=f (x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.

如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点. 则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点.

与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质： 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值. 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.

6.2 偏导数和全微分 6.2.1 偏导数 偏增量 定义　 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增量 称为关于 x 的偏增量．记为 即 相应的

1.偏导数的定义 如果极限 存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作 即 类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为

记为

偏导函数: 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即 存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作

偏导函数: 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即 存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作

2、偏导数的求法 求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用. 例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 时，可将 自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x 求导.

若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 ，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为 常数y0.

例：设 ，求 ， ， 和 解： = -1 = -14

例：设 ，求 和 解： 类似可得，

由上面的例子可以看出，函数 对于x 或y 的偏导数仍是x，y的 数称为 的二阶偏导数，记为 纯导数 混合偏导数 或简记为 或

例：设 ，求二阶偏导数. 解：

例：设 ，求 ， ， ， ， 解： 、 、 、

问题：混合偏导数都相等吗？ 例：设 ，求 的二阶混合偏导数. 解： 当 时， =0 =1 显然，

问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 定理 如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．

6.2.2 全微分 一、全微分的定义 全增量设二元函数y = f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 和 时，函数的全增量为

例：设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加 ，宽自y0增加 ，其面积相应增加 全增量 由 三项组成. 比其余两项小得多.

定义 设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量 可表示为 其中A，B与 无关， 是比 高阶的无穷小，则称 为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记作dz，即 也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.

二、 全微分在近似计算中的应用 从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差是 的高阶无穷小，所以当 很小时有 又 从而

例：求z=xy在点(2,3)处，关于 的全增量与全微分. 解 将各值代入上式，得到

例： 求 的近似值. 解 计算 的值可以近似看作 当 时 的值 取

6.3复合函数与隐含数的微分法 6.3.1 复合函数的微分法 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 6.3.1 复合函数的微分法 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 ，如果能构成 z 是x ,y 的 二元复合函数 如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？

定理 设函数 在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在，且 复合函数的结构图是

下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全导数公式. 1.设函数w =f (u,v)有连续偏导数，而 可导，则复合函数 只是自变量x的函数， 求z 对x的导数 . 可得

例： 设 求 解法1 得

解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到 ，z 是x，y二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得

例： 设 ,其中f(u,v)为可微函数，求 解 令 ，可得 其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.

例：设 求 解 在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的. 显然不等于 .

例： 设 求 解 得

一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求导公式 6.3.2 隐含数的微分法 一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求导公式 若函数F(x, y)在点P0(x0,y0)处的偏导数 ， 则方程F(x,y)=0在点P0的一个邻域内，确定了一个隐 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数 求导的一般公式.

二、由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数公式 将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式 将上式左端看成x，y的复合函数，两端对x和y求导，得 前面已假定 ，由上式解出 ，得

例：设 解 将方程定成 ，令 若 ，方程F(x,y,z)=0确定了函数z=z(x,y)，由公式(4)，得

6.4 二元函数的极值 6.4.1 二元函数的极值 定义 设函数 在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定义，如果在该邻域内任何点 的函数值恒有 则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点). f (x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值. 极大值点和极小值点统称为极值点.

注 （1）极值点一定是区域内的点 （2）不等式f(x,y)≤f(x0,y0 )(或f(x,y)≥f(x0,y0)) 也只在某个邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成立

定理 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有 注（1）驻点不一定是函数的极值点.例如，函数z=x2–y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即 容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. （2）极值点也可能不是驻点，因为偏导数 不存在的点也可能是极值点，如锥面 的 顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点.

定理 (极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数的一个驻点，即 ,记 ，则 当B2–AC<0时, 是函数的极值点, A<0时, 为极大值点，f(x0,y0)为极大值； A>0时， 为极小值点，f(x0,y0)为极小值. (2) 当B2–AC>0时，f(x0,y0)不是极值. (3) 当B2–AC=0时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值.

综合以上两个定理，对于具有二阶连续偏导数的函数 求其极值的步骤如下： 1.求方程组 的一切实数解，得到所有驻点. 2.求出二阶偏导数 ，并对每一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C. 3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2–AC的符号，按照定理2的结论判定f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值.

例： 求函数 的极值. 解 求方程组 的一切实数解，得驻点(1,0). 求函数的二阶偏导数 在(1,0)点处，有A=2，B= –1，C=2. B2–AC= –3<0，且A>0， 由极值的充分条件，得f(1,0)= –1为极小值.

C(万元)与A、B两种产品的产量 (百件)与 (百件)之间具有如下关系 解 令 得方程组 解得驻点为 ,即 ,又 而 所以 ,因此 为极小值点, 又由于仅有唯一一个极值点,因而它也是最小值点.此时 5(万元) 故:当A、B两种产品的产量分别为100件和200件时,可使

总成本最低.最低成本为5万元. 二、条件极值 1.条件极值的概念 在求函数 的极值时,有时其自变量 会受到另一个方程 的制约,我们称这样的函数极值为条件极值,其中称方程 为约束条件. 以上条件极值问题是针对二元函数定义的 类似的也可以定义三元、四元及更多元的条件极值,且它们的约束条件可以不止一个,但要注意约束条件的个数须小于自变量的个数. 2.条件极值的解法 条件极值一般有两种解法:(1)化为无条件极值法;(2)拉格朗日乘数法.

在条件极值中,可以从约束条件 中解出变量 (或变量 ),代入目标函数中,则可将条件极值问题转化为无条件极值问题,这种方法称之为化无条件极值法;但条件极值往往很难化为无条件极值. 下面介绍一种直接求条件极值问题的方法 ------ 拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法的一般解题步骤为: (1)构造拉格朗日函数 (2)分别求 对 的偏导数,令其为零建立方程组 并解该方程组得

(3)判断 是否为极值点(一般可以根据实际问题的背景判断即可). 例： 某化妆品公司计划通过报纸和电视台做化妆品的促销广告.根据统计资料,销售收入R与报纸广告费用 (百万元)和电视广告费用 (百万元)之间有如下关系: (1)若不限制广告费的支出,求最佳广告策略; (2)若可供使用的广告费为150万元,求相应的最佳广告策略. 解 纯销售收入=销售收入-广告费支出.因此 (1)该公司的纯销售收入为

于是,原问题转化为求使得该函数达到最大值时的自变量的取值. 显然它是无条件极值问题,为求解,令 解之得驻点为 又 所以 , 即 又 ,所以 是极大值点, 又因为极值点仅有唯一一个,所以它也必然是最大值点, 即报纸广告费投入75万元,电视广告费投入125万元为最佳广告策略.此时该公司纯销售收入最高.

(2)如果限定广告费支出为150万元.则问题转化为求函数 在条件 限制下的条件极值问题. 用拉格朗日乘数法求解如下: 构造拉格朗日函数 求偏导数,建立方程组得 解之得 故根据该问题的实际意义知,此时将广告费全部用于电视广告,可使得该公司获得最大的纯销售收入.