3.2.1 几类不同增长的函数模型 （1）

一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.（底数a>0）

例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？

问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？ 问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？ 问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？

分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.

解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述； 方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述； 方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.

我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）。 x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量/元 1 40 10 0.4 2 20 0.8 3 30 1.6 4 3.2 5 50 6.4

x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量/元 6 40 60 12.8 7 70 10 25.6 8 80 51.2 9 90 102.4 100 204.8 … 30 300 214748364.8 107374182.4

再作出三个函数的图象（图3.2-1）。

由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.

从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.

下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下： 天数 回报/元 方案 1 2 3 4 5 6 一 40 80 120 160 200 240 二 10 30 60 100 150 210 三 0.4 1.2 2.8 12.4 25.2

天数 回报/元 方案 7 8 9 10 11 一 280 320 360 400 二 450 550 660 三 50.8 102 204.4 409.2 818.8

因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.

例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否 符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例 2的解答吗？

分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.

解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2） 200 400 600 800 1000 1 2 3 5 4 6 8 7 O x y y=0.25x y=5 y=log7x+1 y=1.002x

观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y=0. 25x，y=1 观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求. 下面通过计算确认上述判断.

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求； 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 ，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；

对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4 成立.

令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000]. 利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3） 200 400 600 800 1000 1200 -250 -300 -200 -150 -100 -50 O x y

由图象可知它是递减的，因此 f(x)<f(10)≈-0.3167<0 即 log7x+1<0.25x. 所以当x∈[10,1000]时， 说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.

课堂小结 通过师生交流进行小结： 确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

3.2.1 几类不同增长的函数模型 （2）

新课 1．通过图、表比较y=x2，y=2x两个函数的增长速度.

利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表1）. x 1 2 3 4 5 6 7 8 … y=2x 16 32 64 128 256 y=x2 9 25 36 49

1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 16 14 20 18 24 22 O y x y=x2 y=2x 再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图1）

从表1和图1可以看到， y=2x和y=x2的图象有两个交点， 这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x>x2，有时2x<x2.

利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表2）. x 10 20 30 40 y=2x 1 1024 1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12 y=x2 100 400 900 1600 50 60 70 80 … 1.13E+15 1.15E+18 1.18E+21 1.21E+24 2500 3600 4900 6400

再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图2） 50 100 1.13E+15 1.10E+12 O y x y=x2 y=2x

从表2和图2可以看出，当自变量x越来越大时，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.

2．探究y=x2，y=log2x两个函数的增长速度.

利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表3）. x 1 10 20 30 y=x2 100 400 900 y=log2x 3.322 4.322 4.907 40 50 60 … 1600 2500 3600 5.322 5.644 5.907

1 2 3 4 8 6 10 O y x -1 -2 -3 -4 y=x2 y=log2x 再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图3）

从表3和图3可以看到， 在区间(0,+∞)上，总有x2 >log2x.

3．说说函数y=2x，y=x2，y=log2x的增长差异. 在区间(0,+∞)上，总有x2>log2x； 当x>4时，总有2x>x2. 所以当x>4时，总有2x>x2>log2x.

4．一般的，在区间(0,+∞)上， 尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x的增大， y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度， 而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有 logax<xn<ax.

探究：

利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表4）. x 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 … 0.933 0.812 0.707 0.616 0.536 0.467 0.406 0.354 3.162 1.826 1.414 1.195 1.054 0.953 0.877 0.817 3.322 1.737 1 0.515 0.152 -0.138 -0.379 -0.585

再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图4） 1 2 3 4 -1 -2 5 O y x

从表4和图4可以看到， 在区间(0,+∞)上，存在一个x0,当x>x0时，总有

在区间(0,+∞)上，总存在一个x0,当x>x0时，总有 xn>ax>logax（n<0,0<a<1）.

3.2.2 函数模型的应用实例 （1）

复习导入 问：对幂函数、指数函数、对数函数，你是否注意到函数变化的速度有什么不同？

课堂例题 例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示.

（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象.

解：（1）阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.

（2）根据图3.2-7，有

这个函数的图象如图3.2-8所示. 1 2 3 4 5 t s O 2000 2100 2200 2300 2400

例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题. 认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据 例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y0ert, 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

表3-8是1950~1959年我国人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 1955 1956 1957 1958 1959 61456 62828 64563 65994 67207

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解： （1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9. 可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200. 同理可得， r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250， r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276， r8≈0.0222，r9≈0.0184.

于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为 r=（r1+r2+… +r9）÷9≈0.0221. 令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 y=55196e0.0221t，t∈N.

根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象（图3.2-9）. 4 5 t s O 5000 5500 6000 6500 7000 6 9 7 8 由图3.2-9可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.

（2）将y=130000代入 y=55196e0.0221t（t∈N）， 由计算器可得 t≈38.76.

所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿 所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.

课堂练习 x 1. 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： y1 y2 y3 y4 5 10 15 20 25 30 y1 130 505 1130 2005 3130 4505 y2 94.478 1785.2 33733 6.37×105 1.2×107 2.28×108 y3 55 80 105 155 y4 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005 关于x呈指数函数变化的变量是____________

2. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？

解：设第一轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3台……被感染， 依题意有 a5=10×204=1600000 答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.

课后作业 课本第107页习题3.2A组第1、2、3题

3.2.2 函数模型的应用举例 （2）

课堂例题 例1. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表3-9所示. 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

解：根据表3-9，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶. 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为 480-40（x-1）=520-40x（桶）.

由于x>0，且520-40x>0，即0<x<13，于是可得 y=(520-40x)x-200 =-40x2+520x-200，0<x<13. 易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以，只需将价格单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

例2. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表3-10. 身高/cm 60 70 80 90 100 110 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 120 130 140 150 160 170 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

（1）根据表3-10提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式. （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

分析：根据表3-10的数据画出散点图（图3.2-10） O y x

思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型. 观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系.

解： （1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图3.2-10. O y x

根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重与身高关系的函数模型.

用计算器算得 这样，我们就得到一个函数模型：

将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3.2-11） O y x 可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.

（2）将x=175代入y=2×1.02x，得 y=2×1.02175， 由计算器算得 y≈63.98. 由于 78÷63.98≈1.22>1.2， 所以，这个男生偏胖.

建立函数模型解决实际问题的基本过程； 收集数据 画散点图 不符合实际 选择函数模型 求函数模型 检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

课堂练习 1. 某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元. （1）分别求出总成本y1（单位：万元），单位成本y2（单位：万元），销售总收入y3（单位：万元），总利润y4（单位：万元）与总产量x（单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析.

2. 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68 2. 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74，78，83，你认为谁选择的模型较好？

例3. 北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0. 20元，卖出的价格是每份0. 30元，卖不掉的报纸可以以每份0 例3. 北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

解：设每天报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有 y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250) =0.5x+625，x∈[250,400]. 因为函数y在[250,400]上单调递增， 所以x=400时，ymax=825（元）. 答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.

课后作业 课本第107页习题3.2A组第4、5、6题.