§ 18.4 条件极值 一、极值 二、 条件极值拉格朗日乘数法

一、极值 若函数 在点 的某个邻域内成立不等式 则称 在点 取到极大值 ，点 称为函数 的极大点；

类似地， 若函数 在点 的某个邻域内 成立不等式 则称 在点 取到极小值 ， 点 称为函数 的极小点；

极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。 由定义可见，若 在点 取得极值，则当固定 时，一元函数 必定在 取相同的极值。 同理，一元函数 在 也取相同的极值。于是 由一元函数极值的必要条件，可得

于是得到二元函数取得极值的必要条件如下： 设二元函数 在点 的偏导数存在，若 在 取得极值，则 称满足上式的点 为 的驻点或稳定点。 上述条件不是充分的，例如函数 在原点 （0，0）有 但此函数的图形是一马鞍面， 因而在原点没有极值。

此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如： 这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， 的点都是函数的极小点，但是当 时，偏导数不存在。 综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数 不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使 偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该 点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。

如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式 当点 在 附近变动时是否有恒定的符号。 为此我们考察 的符号。

实二次型 为正定的必要条件是行列式 实二次型 为正定的充要条件是矩阵 A 的顺序主子式都大于零。 实二次型 为负定的充要条件是矩阵 A 的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。

那末有以下结论： ⑴ 当 时，函数有极值； 若 ，则函数有极大值。 若 ，则函数有极大值。 ⑵ 当 时，函数没有极值； ⑶ 当 时，函数有无极值还需进一步考察判定。

例 1 求 的极值。 解 分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组 解方程组得 的稳定点 再求 的二阶偏导数在 的值： 因为 且 所以 有极小值：

例 2 讨论 是否存在极值。 解 分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组 解方程组得 的稳定点为原点： 再求 的二阶偏导数在 的值： 因为 所以 无极值。

以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 这样的极值称为无条件极值. 但还有很多极值问题， 除受自变量定义域限制外, 还受到其他条件的限制. 例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试 问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？ 为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面 积为 依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要 求： x > 0 , y > 0, z > 0, 而且还须满足条件

这类附有约束条件的极值问题称为条件极值. 条件极值问题的一般形式是在条件组： 的限制下，求目标函数 的极值.

条件极值的一种求解方法是代入法. 例如，在上述例子中，由条件 解出 代入目标函数中， 得到 然后求这个函数的无条件极值.

然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因 为要从条件组 解出 m 个变元常常是不可能的. 下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极值的一种有 效方法.

拉格朗日乘数法. 设 可确定隐函数 则问题等价于一元函数 的极值问题, 由极值的必要条件，知极值点 x0 必满足 因 故有 即 记

极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足: 辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.

利用拉格朗日乘数法求函数 在条件 下的极值步骤如下： 1. 作拉格朗日函数 2. 求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组： 再考察稳定点是否是极值点

拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 例如, 求函数 在条件 下的极值. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 .

例1. 要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱, 问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 求 x , y , z 使在条件 下水箱表面积 最小. 令 ⑴⑵⑶⑷ 解方程组

⑴ － ⑵ 得 若 于是 代入⑴式得 不合题意. 代入⑶式得 若 代入⑴式得 代入⑷式得

得唯一稳定点 由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.

例2. 抛物面 被平面 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 解 这个问题实质上就是求函数 在条件 下的最大值、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法， 作拉格朗日函数

令 L 的一阶偏导数都等于零，则有 ⑴⑵⑶⑷⑸

⑴ － ⑵ 得 代入⑷式后，再将⑷代入⑸ 得 解得 这就是拉格朗日函数的稳定点，由于 f 在有界闭集 上连续，故所求问题存在最大值与最小值.

计算 得： 计算 得 所以该椭圆到原点的最长距离为 最短距离

内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法

如求二元函数 在条件 下的极值, 设拉格朗日函数 解方程组 求驻点 . 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值

练习题 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 , 得 解方程组 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为