大 学 数 学（一） —— 一元微积分学 第三十讲 一元微积分的应用(三) —— 函数展开为幂级数 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 第三十讲 一元微积分的应用(三) —— 函数展开为幂级数 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中

第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。

第六章 一元微积分的应用 第四节 函数展开为幂级数 一、幂级数的解析运算 二、泰勒级数 三、函数展开为幂级数 四、函数展开为幂级数应用举例

一、幂级数的解析运算 1 幂级数在其收敛区间内具有内闭一致收敛性. 该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯. 将函数项级数与构造的一个常数项级数 进行比较即可. 该性质的证明与阿贝尔定理的证明类似.

育的政府官员，颇具才智，但对子女相当专横。 魏尔斯特拉斯11岁丧母，翌年其父再婚。他有一 个弟弟和两个终身未嫁的妹妹，她们一直在生活 Weierstrass, K. W 1815 — 1897 数学家魏尔斯特拉斯1815年10月31日出生于 德国的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。 魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教 育的政府官员，颇具才智，但对子女相当专横。 魏尔斯特拉斯11岁丧母，翌年其父再婚。他有一 个弟弟和两个终身未嫁的妹妹，她们一直在生活 上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。1834年其父将 他送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋取政府高级职位创造条件。

魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并于1854年发表于《克雷尔杂志》上。这篇出自一个名不见经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目。

1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师，并享受一年的研究假期。1856 年6 月14日柏林皇家综合科学校任命他为数学教授，他欣然地接受了聘书。同年的11月19日他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授，在此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础，进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔,成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。1873年他出任柏林大学校长，从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占去了他的全部时间，紧张的工作影响了他的健康，使他疲惫不堪，但他的智力未见衰退，研究工作仍继续进行。

1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎,医治无效，于1897年2月19日与世长辞，享年 82 岁。 除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（1856年）、巴黎科学院院士（1868年）、英国皇家学会会员（1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视为德意志的民族英雄。 魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论的奠基人，是无与伦比的大学数学教师。

幂级数的解析运算 2 幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的 在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.

幂级数的解析运算 3 幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性 在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续, 故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然, 幂级数也在其收敛区间内可积. 逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变.

例1 解 首项为 x , 公比为 x .

例2 分析 符合积分要求了

例2 解 等比级数

幂级数的解析运算 4 幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性 逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数 相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数 为零, 故有些幂级数在求导后要改变下标的起 始值 .

例3 解 由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性, 得

例4 分析 请自己完成

在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分. 就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性. 幂级数的性质多好啊 ！

如何将函数表示为幂级数? 怎么做？

二、泰勒级数

将函数展开为幂级数得的问题是否 就是将函数展开为泰勒级数的问题?

问题 一个幂级数在其收敛区间内代 表一个函数, 即它的和函数: 任意一个函数能否在某一个区间内表示为 某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有 某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有 工程需要 泰勒公式

回忆泰勒中值定理的构建过程

按照上面的方法不断地做下去, 是否有下面的结论: 等号成立吗？ 该级数收敛吗？ 即算级数收敛, 其和函数等于 f (x) 吗？

定理

证 由定理的条件可知, 且其和函数 于是有

由数学归纳法, 得 该定理说明, 幂级数的和函数, 则该幂级数一定是下列形式:

定义 定理和定义给我们提供了什么信息 ?

定理和定义告诉我们： 处有任意阶导数, 则它 就有一个相应的泰勒级数存在. 但此泰勒级数不一定收敛, 即算收敛, 其和函数也不一定等于 就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是条件的. 内可表示为幂级数的形式, 则该幂级数一定是函数 f ( x ) 的泰勒级数.

问 题

回忆泰勒中值定理的构建过程 由级数的部分和及收敛性 质看出一点什么没有 ?

定理

证 余下的工作由学生自己完成.

推 论

证 （提示） 自己做!

马克劳林级数

就可写出它的泰勒级数. 但它的泰勒级数不一 定收敛, 即使收敛,其和函数 只有当拉格朗日余项 时, 泰勒级数才收敛于 一个函数如果能够展开为幂级数形式, 则 该幂级数一定是它的泰勒级数, 且这种展开是 唯一的.

三、函数展开为幂级数 直接展开法 函数展开 为幂级数 间接展开法

直接展开法 该方法是先求出函数 写出它的泰勒级数,然后, 判断泰勒公式中的 拉格朗日余项是否满足 确定级 数的收敛区间.

例4 解

例5 解

间接展开法 从一些已知函数的泰勒展开式出发, 利用 幂级数的四则运算和解析运算性质, 以及进行 适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公 式的方法, 称为间接展开法.

例6 解

例7 解 利用变量代换

例8 解 等比级数的和