第一章 复数与复变函数 第一节 复数 第二节 复数的三角形式 第三节 复平面上的点集 第四节 无穷大与复球面 第五节 复变函数

第一节 复 数 一、复数的概念 二、复数的四则运算 三、复平面 小结与思考

一、复数的概念 1. 虚数单位: 对虚数单位的规定:

i:虚数单位 2. 复数的代数形式的定义: 实部（Real） 记做：Rez=x 虚部(Imaginary) 记做：Imz=y 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 记作

复数不能比较大小!!! 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 即 则 特别地，复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 即 复数不能比较大小!!!

二、复数的四则运算 1. 两复数的和差: 2. 两复数的积: 3. 两复数的商: 复数的减法运算是加法运算的逆运算 复数的除法运算是乘法运算的逆运算 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致

共轭复数的性质:

三、复平面 复数的向量表示法

两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.

小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点. 思考题 复数为什么不能比较大小？

思考题答案 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.

第二节 复数的三角形式 一、复数的模与幅角 二、复数三角形式和指数形式 三、复数三角形式的乘除法 四、复数的幂与方根 小结与思考

一、复数的模与幅角 1. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立

2. 复数的辐角(argument) 说明 q 辐角不确定.

辐角主值的定义:

3. 复数模的三角不等式 几何意义如图：

二、复数的三角形式和指数形式 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 复数可以表示成 复数的指数表示式

例1 将复数 化为三角表示式与指 数表示式． 解 故三角表示式为 指数表示式为

三、复数三角形式的乘除法 1．乘法 从而

说明 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 两复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.

由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:

2．除法 从而

例2 解

四、复数的幂与方根 1. n次幂:

2.棣莫佛公式 棣莫佛资料 棣莫佛公式 从几何上看,

例3 解 即

小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法.应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛公式 n次方根的公式

思考题 是否任意复数都有辐角? 思考题答案 否. 它的模为零而辐角不确定.

Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland 欧拉资料 数学大师 ——欧拉 Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia

欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741－1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。 欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。 欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。 欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C表示对应的三个角( 1748 )；创用  表示求和符号 ( 1755 )；提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数的底；还用y 表示差分等等。

欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖,曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》，《微分学原理》以及《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书外，欧拉平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们整理出他的研究成果多达74卷。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中都能经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

棣莫佛资料 Abraham de Moivre Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England 棣莫佛，法国数学家 ，发现了棣莫佛公式 ，将复数 和三角学 联系起来。其他贡献主要在概率论 上，1692 年 ，他结识牛顿 ，并成为其好友。他在 1697年加入皇 家学会。 1710年他被指派处理牛顿和莱布尼茨关于微积 分发明人的争议。 棣莫佛1685年 离开法国，在 英国度 过余生。他十分贫穷，借下国际象棋赚钱。他死于伦敦 ， 葬于圣马丁教堂 。

第三节 复平面上的点集 一、 复平面点集的一般概念 二、 区域 三、 平面曲线 小结与思考

一、复平面点集的一般概念 即 Nδ(z0)={z | |z-z0|<δ} 定义1 邻域: 记作:Nδ(z0)． 即 Nδ(z0)={z | |z-z0|<δ} 记作：Nδ0(z0)={z | 0<|z-z0|< δ}

 若在z0的任意一个邻域内,都有属于Ｇ的点,也有不属于Ｇ的点,则称z0为Ｇ的边界点． 定义2 内点、边界点、孤立点 设有点集Ｇ及一点z0 :  若存在点z0 的某邻域 Nδ(z0) Ｇ 则称 z0为Ｇ的内点；  若在z0的任意一个邻域内,都有属于Ｇ的点,也有不属于Ｇ的点,则称z0为Ｇ的边界点． 点集Ｇ的全体边界点组成的集合称为Ｇ的边界.记为：Ｇ．  若z0属于Ｇ ，但在z0某邻域内除z0外不含Ｇ的点， 则称z0为G的孤立点． 即 z0为Ｇ的孤立点 δ >0: Nδ(z0) Ｇ={z0}

y z o x 定义3 开集与闭集 如果 Ｇ 内每一点都是它的内点,那么Ｇ 为开集． 平面上不属于 Ｇ 的点的全体称为Ｇ的余集； 开集 定义3 开集与闭集 如果 Ｇ 内每一点都是它的内点,那么Ｇ 为开集． 　　平面上不属于 Ｇ 的点的全体称为Ｇ的余集； 开集 的余集称为闭集． 或开集及其边界的并集称为闭集． 定义４ 有界集和无界集 z x y o Ｇ 有界！

二、 区域 定义5 区域 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域． (1) D是一个开集； 定义5 区域 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域． D z2  (1) D是一个开集； z1  (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. D加上D的边界称为闭域，记为D＝D+D ．

(2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. 不包含边界！ 说明 (1) 区域都是开的. (2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. 以上基本概念的图示 边界 区域 邻域 边界点

课堂练习 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界.

三、 平面曲线 C的实参数方程 终点z() z y o x C的复参数方程 定义6 连续曲线 平面曲线C的复数表示: 起点z() 定义6 连续曲线 终点z() 平面曲线C的复数表示: z x y o C 起点z() C的复参数方程 C的正向：起点终点

例如： 复数形式为 复数形式为 或

例1 求下列方程所表示的曲线: 解

没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或Jordan曲线). 定义7 简单曲线 重点 重点 重点 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或Jordan曲线). 换句话说, 简单曲线自身不相交.

课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 答 案

简单闭曲线的性质约当定理 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集.满足： C 边界 C I(C) E(C) （1）I(C) 是一个有界区域（称为C的内部）. （2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）. （3）C是I(C),E(C)的公共边界.

定义8 光滑曲线: 特点 光滑曲线上的各点都有切线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.

定义9 单连通域与多连通域: 复平面上的一个区域D, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多（复）连通域. 单连通域 多连通域

满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 例2 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域.

是多连通域. 不是区域.

小结与思考 应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域.

第四节 无穷大与复球面 一、 复球面 二、 扩充复平面 小结与思考

一、 复球面 1．南极、北极的定义 取一张复平面， 再作一个与复平面 N 切于原点的球面． x y O z S

对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系． 2．复球面的定义 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系． x O N S z 因此，可以用球面上的点来表示复数. 用来表示复数的这个球面称为复球面. P 全体复数与复球面-{N}成一一对应关系. z

二、 扩充复平面 规定: 北极N与一个模为无穷大的假想的点对应. 这个假想的点称为“复数无穷远点” 记作. P(z) z 这个假想的点称为“复数无穷远点” 记作. O S z y x 因而球面上的北极 N 就是复数的几何表示. 复平面加上后称为扩充复平面，记作C

包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.

注：包括无穷远点自身在内， 且满足|z| >M 的所有点的集合{z| |z|>M} (其中M >0) 称为无穷远点的邻域. M |z|>M

小结与思考 本节主要介绍了复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．

第五节 复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限与连续 小结与思考

一、 复变函数的概念 1.复变函数的定义:

2.单(多)值函数的定义: 3.定义集合和函数值集合:

4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如,

5. 复变函数的几何意义——映射 取两张复平面，分别称为z平面和w平面. u v w x z y G D w=f(z) w z

例:

且是全同图形.

根据复数的乘法公式可知,

6. 反函数的定义: 今后不再区别函数与映射.

二、复变函数的极限与连续 1.函数极限的定义: 注意:

几何意义: x y O z0 d z u v A e f(z)

2. 极限计算的性质 定理 说明

定理 惟一性 与实变函数的极限性质类似. 复合运算等

例1 证 (一)

根据定理一可知, 证 (二)

3. 函数连续的定义:

由函数连续的定义: （1） f(z)在z0处有定义 连续的 三要素: （2）f(z)在z0处有极限 （3）f(z)在z0处的极限值等于函数值

例2 证 y ． x O

．

4. 连续函数的性质

特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.

定理 例如,

5.有界闭集上连续函数的性质 定理 设E是有界闭集，f(z)在E上连续，则有： 　（1） f(z)在E上有界： M>0 zE |f(z)|<M （2） |f(z)|在E上有最值. 即： z1, z2E zE |f(z)|<|f(z1)| ,|f(z)|>|f(z2)| （3） |f(z)|在E上至少取得最大值与最小值一次．

小结与思考 1. 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了. 2. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.

思考题 思考题答案 “函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？ 在复变函数中, 对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就点的对应而言的.