第十章 第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 格林公式 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 区域 D 分类 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有 ( 格林公式 ) 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

即 ① 同理可证 ② ①、②两式相加得: 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

格林公式 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 所围面积 例如, 椭圆 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 则 利用格林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 计算 其中L为一无重点且 不过原点的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 由格林公式知 设 L 所围区域为D, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在D 内作圆周 取逆时 针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 , 对区域 应用格林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 函数 在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (4) 在 D 内每一点都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明 (1) (2) 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段 光滑 曲 线, 则 (根据条件(1)) 证明 (1) (2) 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段 光滑 曲 线, 则 (根据条件(1)) 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 定理2 目录 上页 下页 返回 结束

证明 (2) (3) 在D内取定点 和任一点B( x, y ), 因曲线积 分 与路径无关, 有函数 则 同理可证 因此有 证明 (2) (3) 在D内取定点 和任一点B( x, y ), 因曲线积 分 与路径无关, 有函数 则 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 同理可证 因此有 定理2 目录 上页 下页 返回 结束

证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 从而在D内每一点都有 定理2 目录 上页 下页 返回 结束

证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 (如图) , 利用格林公式 , 得 证毕 证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 (如图) , 利用格林公式 , 得 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 证毕 定理2 目录 上页 下页 返回 结束

3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 说明: 根据定理2 , 若在某区域内 则 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 则原函数为 取定点 及动点 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 或 定理2 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 计算 其中L 为上半 圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围 区域为D , 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 。 。 例5. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 。 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 验证 在右半平面 ( x > 0 ) 内 存在原函数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 例7. 设质点在力场 作用下沿 曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 取圆弧 思考: 积分路径是否可以取 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 在 D 内与路径无关. 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 在 D 内有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 设 提示: 第四节 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5) 第四节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 设 C 为沿 从点 依逆时针 到点 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 例6练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等 于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) 解: 由图知 故所求功为 例21 ( L.P363 例10;考研1990 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束