第二章 控制系统的数学模型 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。 第二章 控制系统的数学模型 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。 描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型。 常用的数学模型为微分方程。

建立系统数学模型的方法，一般采用解析法和实验法 。 所谓解析法，即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证，从而建立系统的数学模型。 实验法是对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。

微分方程 传递函数 频率特性

控制系统微分方程的建立 首先必须了解系统的组成、工作原理，然后根据支配各组成元件的物理定律，列写整个系统输入变量与输出变量之间的动态关系式，即微分方程。 列写微分方程的一般步骤： ①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量（变量）之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。

②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。 ③对已建立的原始方程进行处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等。 ④消除中间变量，写出关于输入、输出变量之间关系的数学表达式，即微分方程。

根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立RC无源网络的微分方程。 输入量为电压ur(t),输出量为电压uc(t) i(t)为流经电阻R和电容C的电流，消去中间变量i(t)，可得

令RC=T，则上式又可写为 式中：T称为无源网络的时间常数,单位为秒(s) 一般情况下把输出变量写在等式的左边,输入变量写在等式的右边。

2.1 拉氏变换 拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。

用拉氏变换解微分方程示意图

一、 拉氏变换的定义和存在定理 1. 定义 设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分 存在，则由此积分所确定的函数可写为

称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换，并记作 F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作

2. 拉普拉斯变换的存在定理 若函数f(t)满足下列条件： 在t≥0的任一区间上分段连续。 在t充分大后满足不等式|f(t)|≤Mect，其中M、c都是实常数。则f(t)的拉氏变换 在平面上Re(s)>c一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内F(s)为解析函数。

二、几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数1(t) 数学表达式为 其拉氏变换为

2.单位斜坡函数 数学表达式为 其拉氏变换为

3.等加速函数 数学表达式为 其拉氏变换为

4.指数函数e-at 数学表达式为 其拉氏变换为

5.正弦函数sint 正弦函数定义为 其拉氏变换为

6. 单位脉冲函数(函数)  函数的表达式为 其拉氏变换为

三、拉氏变换的基本法则 1.线性法则 设F1=L [ f1(t)]，F2=L [ f2(t)]，a和b为常数，则有

2.微分法则 设F=L [ f (t)]，则有 式中：f(0), f(0), …,f (n-1)(0)为f(t)及其各阶导数在t=0处的值。

3.积分法则 设F(s)=L [f(t)] ，f(0)=0 ，则有

4. 终值定理 若F(s)=L [f(t)]，且当t时，f(t)存在一个确定的值，则其终值 该式为求系统的稳态误差（即t ）提供了方便。

5. 位移定理 设F(s)= L [f(t)]，则有 及 分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。

四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下 一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先将F(s)分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。

F(s)通常是s的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，F(s)的一般式为 式中a1、a2、…、an及b1、b2、…、bm为实数，m、n为正数，且m<n。 如果F(s)可分解成下列分量

并且F1(s)、F2(s)、…、Fn(s)的拉氏反变换可以很容易地求出，则

例2.1 求 的拉氏反变换。 解： 进行反变换得

五、用拉氏变换求解微分方程 用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是t=0-时的值。 ②解代数方程，求出象函数的表达式。 ③用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。

例 用拉氏变换求解微分方程。 解： 对微分方程两端进行拉氏变换 代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式

将X(s)展成部分分式，利用拉氏变换对照表，求出x(t)。

2.2 传递函数

一、传递函数的概念及定义 无源RC网络的微分方程为 设初始值uc(0)=0，对上式取拉氏变换,得

令 则 传递函数

传递函数的定义： 线性定常系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为系统(或元部件)的传递函数。

设线性定常系统的微分方程一般式为 式中c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量，a0, a1,…,an 及b0 , b1, …, bm 均为系统结构参数决定的常数。

设所有初始条件均为零的条件下，对上式两端进行拉氏变换，得 按照定义得系统的传递函数

二、对传递函数的说明 1. 传递函数是复域(s域)中的一个表达式，它通过系统结构参数使线性定常系统的输出和输入建立联系，而与输入形式无关。只适用于线性定常系统。 2. 传递函数分母多项式阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m，这是由于系统中含有较多的储能元件及受能源的限制所造成的。分母多项式的最高阶次为n，称该系统为n阶系统。如n＝1、2，称为一、二阶系统。

3. 传通函数只描述系统输入-输出之间的关系，但不反映系统内部结构的任何信息。因此，不同的物理系统完全可能有相同形式的传递函数，这就给数学模拟创造了条件。 4. 同一系统不同观测点的输出信号对不同作用点的输入信号之间的传递函数的形式具有相同的分母，所不同的只是分子。把分母多项式称为特征式，记为D(s) 。

5. 传递函数与微分方程具有相通性。 6. 传递函数G(s)的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数g(t)，脉冲响应是系统在单位脉冲(t)输入时的输出响应，此时R(s)=L [(t)]=1，所以有

7. 传递函数的描述有一定的局限性：只能研究单入、单出系统，对于多入、多出系统要用传递矩阵表示；只能表示输入、输出的关系，对系统内部其他各变量无法得知(经典控制理论的不足)；只能研究零初始状态的系统特性，对非零初始状态的系统运动特性不能反映。

三、求取系统传递函数的方法 求取物理系统的传递函数时，一般假设: 1. 系统不带负载，即在系统的输出端不吸收能量。 2. 假设系统的参数为线性集中常数。

求取传递函数的方法与步骤： 1. 首先确定出系统的输出信号(被控量等)和输入信号（如给定值、干扰等）。 2. 把系统分成若干个典型环节，求出各环节的传递函数，填写在方框内。用信号线把这些方框连接起来，得到系统的动态结构图。 3. 对动态结构图进行变换，得到所要求的传递函数。

四、传递函数的零点和极点 零极点分布图 zj: 零点，用“ ”表示 pi: 极点，用“”表示

若传递函数 该传递函数的 极点为p1 =−1， p2=−2; 零点为z1=−0.5 零极点分布图

2.3 动态结构图及其等效变换 一、动态结构图(或称方块图、方框图) 动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。 1. 定义 2. 组成 ①信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向，信号线上标信号的原函数或象函数。

②方框：表示输入、输出信号之间的传递关系。 ③引出点(测量点)：表示信号引出或测量位置，从同一点引出的信号完全相同。

④比较点(综合点)：表示两个或两个以上的信号，在该点相加、减。注意，比较点处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)，一般不标者取正号。同时进行运算的信号必须具有相同的量纲。

3.系统动态结构图的建立 (1) 建立系统各元部件（或典型环节）的微分方程。 (2) 对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并做出各元部件的方框图。 (3) 按照系统中各变量的传递顺序，依次用信号线将各元件的方框图连接起来。系统的输入变量在左端，输出变量（即被控量）在右端，便得到系统的动态结构图。

如RC网路的微分方程 对上式进行拉氏变换，得

绘制上式各子方程的方框图 将方框图连接起来,得出系统的动态结构图。

三、结构图的等效变换 进行结构变换首先应明确以下四点： 1. 结构变换的等效性。即变换前、后输入输出总的数学关系应保持不变。 2. 所得结果(传递函数)的惟一性；结构图的多样性(不惟一性)。 3. 信号传递的单向性。 4. 多输入系统的叠加性。

动态结构图的等效变换法则： l.串联变换法则 n个传递函数依次串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积 。

2.并联变换法则 n个传递函数并联，其等效传递函数为该n个传递函数的代数和。

3.反馈变换法则 称为闭环传递函数

4.比较点移动法则 比较点前移“加倒数”；比较点后移“加本身”。 前移 后移

5. 引出点移动法则 引出点前移“加本身”；引出点后移“加倒数”。

6. 相邻的比较点之间可以随意调换位置，亦可综合为一个比较点。相邻的引出点之间亦可互相调换位置。 7. 相邻的比较点和引出点之间可以调换位置。

动态结构图等效变换需注意的问题: (1)串联、并联、反馈三种典型结构可直接用公式;不是典型结构不可直接用公式。 (2)向同类移动：比较点和引出点。 (3)由里向外变换：对多回路结构，由内回路向外回路进行变换，逐个减少内回路，直到变换成一个等效的方块。 (4)多输入变换多次：系统有多个输入量，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。

解：(1)求C(s)/R(s)。 把比较点前移 把比较点前移 再进行并联和内回路反馈变换 设N1=0，N2=0 设N1=0，N2=0 例：求下图所示系统被控量C(s)对各输入信号的传递函数C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。 N1(s) N2(s) + + - R(s) C(s) G1 G2 G3 - - 解：(1)求C(s)/R(s)。 N1(s) 把比较点前移 把比较点前移 再进行并联和内回路反馈变换 设N1=0，N2=0 设N1=0，N2=0 N1 N1 N2 N2 R(s) + + + + + - - C(s) G1 G1 G1 - -

R(s) C(s) G1 G3 - 串联后再作反馈变换 R(s) C(s) 进行串联变换 R(s) C(s)

(2)求C(s)/N1(s) ，设R(s)=0，N2(s)=0，得 因此，

(3) 求 ，设R(s)=0，N1(s)=0 N2(s)信号只能单向传递 所以，

例 已知一控制系统的微分方程组为 试画出其动态结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。 解：r(t)为输入信号，c(t)为输出信号

对系统微分方程进行拉氏变换,得到相应的代数方程 根据各个代数方程组画出相应的方块图，然后连接起来就得到系统的动态结构图。

引出点前移，进行内回路变换，然后再进行外回路反馈变换得系统的传递函数

四、用梅森（S. J. Mason）公式求传递函数 方块图———系统的传递函数 等效变换 方块图的复杂程度—变换过程的复杂和困难 梅森公式 式中：(s) －系统的闭环传递函数  －特征式 ，且 =1-La+ LbLc- LdLeLf+…

Pk－第k条前向通道的传递函数。 k－余子式，即在特征式中把与Pk前向通道接触的回路所在项除去(置为零)后余下的式子。 n－前向通道数。

明确几个概念： 前向通道－由输入端单向(沿箭头)传递至输出端的信号通道被称为前向通道。 回路－闭的通道，即在结构图中信号可以沿箭头方向闭合流动且经过的任一元件不多于一次的闭合回路。 互不接触回路 － 相互间没有共同接点的回路。

例 求图示系统的传递函数C(s)/R(s)。 解：(1)前向通道有1条:

(2)单独回路有4个： 有2个回路互不接触，所以有 特征式：

余子式： (不存在与P1不接触的回路) (3)闭环传递函数C(s)/R(s)为

利用梅森公式求传递函数的注意事项： (1) k条前向通道，是指从输入信号到输出信号前向通道的总数，不要漏掉，也不要错划。通过节点只有一次，不得重复。 (2) 单独回路数，互不接触回路数，不要漏掉，也不要重复。与k 应计算无误。 (3) 反馈的极性应体现在回路传递函数的正负上，一定要注意符号。

2.4 典型环节的传递函数 一、比例(放大)环节 比例环节方块图 其微分方程为 K为常数，称比例系数或增益。 传递函数为

运算放大器： 电位器：

二、积分环节 微分方程为 传递函数为 积分器 电压的传递函数

空载油缸 流量 小惯性电动机

三、理想微分环节 微分方程 传递函数 测速发电机

四、惯性环节 微分方程 传递函数 运算放大器

五、一阶微分环节 微分方程 传递函数 在放大器上加以RC网络反馈,当增益K足够大时

六、振荡环节 微分方程 传递函数 式中: ——相对阻尼比(无量纲) n——无阻尼自然频率（s-1）

RLC网络

质量-弹簧-阻尼动力系统 牛顿第二定律 F=ma 取拉氏变换,整理后得

七、二阶微分环节 微分方程 传递函数 二阶微分环节的方框图

2.5 控制系统的传递函数 闭环控制系统的典型结构图 R(s)——指令信号，输入信号，作用于系统输入端。 2.5 控制系统的传递函数 闭环控制系统的典型结构图 R(s)——指令信号，输入信号，作用于系统输入端。 N(s)——干扰信号，一般是作用在被控对象上。 C(s)——被控量,输出信号 B(s)——反馈信号 E(s)——误差信号

一、系统开环传递函数 断开系统的主反馈通路。把G1(s)G2(s)H(s)之积称为该系统的开环传递函数。 定义

二、R(s)作用下的闭环传递函数 令N(s) =0，此时C(s)对R(s)的闭环传递函数为

三、N(s)作用下系统的闭环传递函数 令R(s) =0，并把N(s)前移到输入端

四、系统的总输出 根据线性叠加原理，系统的总输出等于各外作用引起的输出的总和

如果系统中控制装置的参数设置，能满足|G1(s)G2(s)H(s)|1及|G1(s)H(s)|1 ，则系统的总输出表达式可近似为 因此

五、闭环系统的误差传递函数 闭环系统在输入信号和扰动信号的作用下，以误差信号作为输出量时的传递函数为系统误差传递函数。

根据叠加原理，系统总误差为 如果满足条件|G1(s)G2(s)H(s)|1，而且|G1(s) |1 ，则系统总误差 上式表明，适当选择系统的元件参数，可以获得较高的工作精度。

本章小结 1．本章所讨论的问题是研究系统性能的基 础，要求掌握住由微分方程 s域的代数方程→画出系统动态结构图→进行结构变换→得到系统的传递函数，或用梅森公式求系统的传递函数的方法。 拉氏变换 2．对典型环节传递函数的标准型要牢固掌握。求传递函数时要注意反馈符号的正负。 反馈与并联不要混淆。要分清传递函数的具体定义。

3.系统有总的输出C(s)=C1(s)+C2(s)+…，但不能说有总的传递函数，(s)1(s)+2(s)+…。