第三章 一元流体动力学基础

重点内容 描述流体运动的两种方法：欧拉法和拉格朗日法 恒定流动、流场的概念 恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。 恒定总流能量方程的应用条件和注意事项，并会应用恒定总流的连续方程和能量方程联合求解流体力学工程问题。

重点内容 总水头线、测压管水头线的绘制；理解总水头线、测压管水头线、水力坡度与测压管水头、流速水头、总水头和水头损失的关系。 恒定气流能量方程及其应用；总压线和全压线的绘制。 动量方程及其应用，应用恒定总流的连续方程、能量方程和动量方程联合求解流体力学工程问题。

第一节 描述流体运动的两种方法 一、拉格朗日法 二、欧拉法

一、拉格朗日法

拉格朗日法的基本特点 把流场中流体看作是无数连续的质点所组成的质点系 追踪流体质点的运动，对每一质点的运动进行描述。

质点标志 把流体质点在某一时间 t0时的坐标（ a 、 b 、c）作为该质点的标志，则不同的（ a 、 b 、c）就表示流动空间的不同质点。这样，流场中的全部质点，都包含在 （ a 、 b 、c） 变数中。

拉格朗日变量 表达式中的自变量（ a 、 b 、c、 t ) ，称为拉格朗日变量。

拉格朗日法表示流体质点的速度

二、欧拉法

特点 以固定空间点为研究对象，描述各瞬时物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。

欧拉变量 变量 （x 、 y 、 z 、 t ）称为欧拉变量。

本书以下的流动描述均采用欧拉法！

第二节 恒定流动和非恒定流动

非恒定流动 运动不平衡的流动，在流场中各点流速随时间变化，各点压强，粘性力和惯性力也随着速度的变化而变化。

恒定流动 流场中各点流速不随时间变化，由流速决定的压强，粘性力和惯性力也不随时间变化。这种流动称为恒定流动。

第三节 流线和迹线 流线 迹线

一、流线 在某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点的流速方向重合的空间曲线称为流线。 流线是欧拉法对流动的描绘。

流线的绘制

流线微分方程

流线的性质 流线不能相交（驻点处除外），也不能是折线，因为流场内任一固定点在同一瞬时只能有一个速度向量。流线只能是一条光滑的曲线或直线。

二、迹线 同一质点在各不同时刻所占有的空间位置联成的空间曲线称为迹线。 迹线是拉格朗日法对流动的描绘。

在恒定流中，流线和迹线是完全重合的。

第四节 一元流动模型

1、流束 在流场内，取任意非流线的封闭曲线 l 。经此曲线上全部点作流线，这些流线组成的管状流面，称为流管。 流管以内的流体，称为流束。

2、元流 当流束的过流断面无限小时，这根流束就称为元流。 元流的边界由流线组成，因此外部流体不能流入，内部流体也不能流出。

元流的特点 元流断面上流速和压强就可认为是均匀分布。 如果从元流某起始断面，沿流动方向取坐标s，则全部元流问题，简化为断面流速 u 随坐标S而变。u 是 S 的函数，即求 u = f （S）的问题。

3、过流断面 垂直于流束的断面，称为流束的过流断面。 处处垂直于总流中全部流线的断面，是总流的过流断面。 以后如不加说明，所说断面均指过流断面。

4、过流断面流速分布 过流断面上的流速一般是不相等的，管道轴线附近区域的流速较大，越靠近管壁流速越小。

5、断面平均流速 流速问题简化为一元问题。

第五节 恒定总流连续性方程 质量守恒定律

积分形式 当流体不可压缩时密度为常数，

三通管的合流和分流 分流时： 合流时：

例 3 一 2 求通过送风管 1 一 1 , 2 一 2 , 3 一 3 各断面的流速和流量。

例 3 一3

第六节 恒定元流能量方程 研究对象： 不可压缩无粘性流体恒定流动

一、元流能量方程的推证 外力（压力）作功等于流段机械能量增加

压力作功为： (a) 动能增量为： (b) 位能增量为： (c)

理想不可压缩流体恒定流元流能量方程(伯努利方程）:

二、恒定元流能量方程本身及其各项含义 Z 断面对于选定基准面的高度，水力 学中称为位置水头，表示单位重量的位置势能，称为单位位能。 是断面压强作用使流体沿测压管所能上升的高度，水力学中称为压强水头，表示压力 y 作功所能提供给单位重量流体的能量，称为单位压能。 以断面流速 u为初速的铅直上升射流所能达到的理论高度，水力学中称为流速水头，表示单位重量的动能，称为单位动能。

表示断面测压管水面相对于基准面的高度，称为测压管水头，表明单位重量流体具有的势能称为单位势能。 称为为 总水头，表明单位重量流体具有的总能量，称为单位总能量。

方程含义 能量方程式说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变。

三、元流能量方程的应用——毕托管

毕托管 用于测量水流和气流点流速的仪器。 测压管：两端开口并与流向正交； 测速管：两端开口并成直角弯曲，下端开口正对来流，与待测点处于同一水平面且相距很近。 沿AB流线写元流能量方程：

四、实际元流能量方程

第七节 过流断面的压强分布

一、均匀流过流断面的压强分布

1、均匀流的特点 质点流速的大小和方向均不变的流动叫均匀流动。 均匀流的流线是相互平行的 均匀流的过流断面是平面。

均匀流过流断面压强分布 即均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。

推导

均匀流过流断面测压管水头高度相等

例 3 一5

例 3 一 6 尽管E 、 D 两点和 A 点在同一水平面上，它们的压强不等于 A 点压强。 流体静力关系，只存在于每一个渐变流断面上，而不能推广到不在同一过流断面的空间。

二、弯曲段断面的压强分布

思考题 拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？

第八节 恒定总流能量方程式

将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。 均匀流或渐变流过水断面上 V→u， 动能修正系数,1.05~1.1 取平均的hw

实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。 方程式的物理意义： 实际恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 2 1 总水头线 测压管水头线 实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。

恒定总流伯努利方程式: 方程适用条件： （一）恒定流 （二）不可压缩流体 （三）过流断面在渐变流段。 （四）两断面间没有能量输入或输出。 （五）两断面间没有分流或合流的情况下推得的。 （六）计算点可以在断面上任取。

有能量输入 有能量输入，如有水泵或风机，将输入的单位能量项加在输入断面：

有能量输出的情况 如有水轮机或汽轮机）时，将输出的单位能量项加在能量输出的端的过流断面上：

两断面之间有分流或合流

第九节 能量方程的应用

一般的实际工程问题，不外乎三种类型： 求流速； 求压强； 求流速和压强

求流速的一般步骤 求流速的一般步骤是：分析流动，划分断面，选择基面，写出方程。

过流断面的选择 图中的 A 、 B 、 C 三部分构成不可分离的流动总体。这就是说，为求流速压强而划分的断面，不仅可以划在 B 管中，而且可以划在水箱水体中，静压箱中，或者大气中。 两断面应划分在压强已知或压差已知的渐变断面上。

一、总流能量方程的应用要点： （1）基准面是写方程中 Z 值的依据。一般通过两断面中较低一断面的形心，使一Z 为零，而另一Z 值为正值。 （2）两计算断面必须是均匀流或渐变流断面并包含已知和要求参数； （3）过水断面上计算点的选取，可任取，一般： 管流－断面中心点， 明渠流－自由液面上； （4）两计算断面压强必须采用相同计算基准〕 （绝对、常用：相对压强）； （5）方程中各项单位必须统一。

管流出口断面应取中心点作计算点。它的位置高度代表整个断面位能的平均值。

两点注意： (1) 整个流动是从水箱水面通过水箱水体经管道流人大气中，它和大气相接的断面是水箱水面 1 - 1 和出流断面 2 - 2 ，p=0, 这就是我们取断面的对象。 (2) 水箱中的速度水头，对于管流而言常称为行近流速水头。当水箱断面积比管道断面积大得多时，行近流速较小，行近流速水头数值更小，一般可忽略不计。

二、文丘里流量计 (Venturi meter) 原理：测压管水头差=速度水头差

文丘里流量计 以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失， 对1-1、2-2断面列能量方程式： 整理得： 由连续性方程式可得： 或 1 1 2 2 收缩段 喉管 扩散段 h h1 h2 以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失， 对1-1、2-2断面列能量方程式： 当水管直径及喉管直径确定后，K为一定值，可以预先算出来。 整理得： 由连续性方程式可得： 或 μ称为文丘里管的流量系数，一般约为0.95~0.98 代入能量方程式，整理得： 则 若考虑水头损失，实际流量会减小，则

三、毕托管 (Pitot tube) 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用毕托管来进行，其测量原理如图所示。在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。

B A V Z Z 毕托管测速原理

则 由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用上计算出的要小

如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如下图所示，则

考虑到实际情况， 在工程应用中多将静压管和毕托管组合成一件，称为皮托-静压管，又称动压管，习惯上常简称它为毕托管。

例 3 -9

【例题】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2. 8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0 【例题】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。 【解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本

方程求出Ｈ值 则 代入到上式 （m/s） 所以管内流量 （m3/s）

【例题】 风管直径 D=100 mm ,空气重度 ，在直径 d＝50 mm 的喉部装一细管与水池相连，高差 H=150 mm ,当汞测压计中读数 时，开始从水池中将水吸入管中，问此时空气流量为多大？ 例题附图

【例题】水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0. 2m，h1=0. 72m H2O，管径d1=0 【例题】水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。 【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：

(mH2O) 则列1-1和2-2断面的伯努利方程

由连续性方程： 将已知数据代入上式，得 （m/s） 管中流量 （m3/s）

空化和气蚀 由伯努利方程可知，当总水头一定时，水流中某一有效截面上的位置水头和速度水头很大时，其相应的绝对压强就低，当压强降低到空气分离压pg时，原先以气核形式（肉眼看不见）溶解在液体中的气体便开始游离出来，膨胀形成小气泡；当压强继续降低到液体在该温度下的饱和压强pv时，液体开始汽化，产生大量的小气泡。并继续产生更多的小气泡。它们将汇集成较大的气泡，泡内充满着蒸汽和游离气体。这种由于压强降低而产生气泡的现象称为空化（气穴）现象。

空化产生的气泡被液流带走。当液流流到下游高压区时，气泡内的蒸汽迅速凝结，气泡突然溃灭。气泡溃灭的时间很短，只有几百分之一秒，而产生的冲击力却很大，气泡溃灭处的局部压强高达几个甚至几十兆帕，局部温度也急剧上升。大量气泡的连续溃灭将产生强烈的噪声和振动，严重影响液体的正常流动和流体机械的正常工作；气泡连续溃灭处的固体壁面也将在这种局部压强和局部温度的反复作用下发生剥蚀，这种现象称为空蚀（气蚀）。

第十节 总水头线和测压管水头线

总水头和测压管水头 总水头： 测压管水头： 差值：

总水头线 每一个断面的总水头，是上游断面总水头，减去两断面之间的水头损失。根据这个关系，从最上游断面起，沿流向依次减去水头损失，求出各断面的总水头，各断面总水头的连线就是总水头线。

从断面的总水头减去同一断面的流速水头，即得该断面的测压管水头。各断面测压管水头的连线就是测压管水头线。

取距基准面的铅直距离来分别表示相应断面的总水头与测压管水头。 测压管水头线是根据总水头线减去流速水头绘出的。

例 3-9 水流由水箱经前后相接的两管流出大气中。大小管断面的比例为 2 : 1 。全部水头损失的计算式参见图 3 一 29 。（ 1 ）求出口流速 v 2; ( 2 ）绘总水头线和测压管水头线； ( 3 ）根据水头线求 M 点的压强 pM 。

水头线的绘制

第十一节 恒定气流能量方程式 虽然恒定总流伯努利方程是在不可压缩这样的流动模型基础上提出的，但在流速不高（小于 68m / s ) ，压强变化不大的情况下，同样可以应用于气体。

能量方程用于气体流动时，由于水头概念没有像液体流动那样明确具体，我们将方程各项乘以容重 γ ，转变为压强的因次。并且压强同取绝对压强。 液体在管中流动时，由于液体的容重远大于空气容重，一般可以忽略大气压强因高度不同的差异。 即 则有

考虑大气压强因高度不同的差异

相对压强表达的最终结果 静压：p 动压： 位压：

相对压强表达的最终结果 全压： 总压：

容重差与高程差的乘积，称为位压，位压是以 2 断面为基准量度的 1 断面的单位体积位能。 热气流，下部位压大，自动上浮，如烟囱中的烟气运动。 冷气流，上部位压大，自动下灌。

例 3-10

第十三节 恒定流动量方程 在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。

将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即 一、动量方程 将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即

设不可压缩流体在管中作恒定流动，如图所示。取有效截面1-1和2-2之间的流段作为研究对象，流段在质量力、两截面上的压强和管壁的作用力的作用下，经过dt时间后从位置1-2流到1’-2’。与此同时，流段的动量发生了变化，其变化等于流段在1’-2’和1-2位置时的动量之差。由于定常流动中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此1’-2这部分流体（图中阴影部分）的动量没有改变。于是在dt时间内流段的动量变化就等于2- 2’段的动量和1- 1’段的动量之差。

由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数加以修正。根据实验测定值约为1. 02～1 由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数加以修正。根据实验测定值约为1.02～1.05，近似于l，所以为计算方便，在工程计算中通常取 ＝1。于是上式可改写成 或 根据不可压流体一维流动总流的连续性方程，流过截面1-1的流量和流过截面2-2的流量相等，即 （3-13-2） 方程(3-13-2)就是不可压缩流体恒定流动的动量方程。

把上式写成分量形式为 (3-13-4) 管流的恒定动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题。由式(3-13-4)可知，在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。

应用动量方程解题时要注意以下几点： 动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。注意外力、速度和方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。 在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断面对控制体内流体的作用力。 外力中包含了壁面对流体作用力 ，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力 ，这两个力按牛顿第三定理 。 动量修正系数在计算要求精度不高时，常取1。

适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。 如图所示的一分叉管路，动量方程式应为： v3 1 2 3 ρQ3 ρQ1　 ρQ2 v1 v2

应用动量方程式解决问题的步骤： １．取控制体； ２．正确分析受力，未知力设定方向； ３．建立坐标系 1 应用动量方程式解决问题的步骤： １．取控制体； 2 ２．正确分析受力，未知力设定方向； FR FP1 x z y FG ３．建立坐标系 FP2 ４．右侧为(下游断面的动量)-(上游断面的动量)

动量方程式在工程中的应用 弯管内水流对管壁的作用力 水流对建筑物的作用力 射流对平面壁的冲击力

弯管内水流对管壁的作用力 管轴竖直放置 管轴水平放置 沿x方向列动量方程为： 沿x方向列动量方程为： 沿y方向列动量方程为： 1 2 P1=p1A1 P2=p2A·2 R G x z y V1 V2 Rz Rx P1=p1A1 P2=p2A·2 R V1 V2 Ry Rx x y 沿x方向列动量方程为： 沿x方向列动量方程为： 沿y方向列动量方程为： 沿z方向列动量方程为：

例题 一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直径由 dA＝200 mm 变为 dB＝150 mm ，在流量 时，压强 ，求水流对 AB 段 弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。 解：求解流体与边界的作用力问题，一般需要联合使用连续性方程，能量方程和动量方程。 例题 附图

水流对建筑物的作用力 1 FR FP FP1=ρgbh12/2 FP2= ρgbh22/2 2 x 沿x方向列动量方程为：

射流对平面壁的冲击力 V0 V V0 V 1 FR x FP 2 沿x方向列动量方程为： 整理得： 前进

例：设有一股自喷嘴以速度v0喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成α角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力FP，并求出Q1和Q2各为多少？ α 1 2 V0 V2 Q2 V1 Q1 Q 1 2 V0 V2 Q2 V1 Q1 Q FP FR x y 沿y方向列动量方程为：

FP α FR y 对0-0、1-1断面列能量方程为： 可得： 同理有： 依据连续性方程有： 沿x方向列动量方程为： 整理得： 所以： 1 1 2 V0 V2 Q2 V1 Q1 Q 1 2 V0 V2 Q2 V1 Q1 Q FP FR x y 对0-0、1-1断面列能量方程为： 可得： 同理有： 依据连续性方程有： 沿x方向列动量方程为： 整理得： 所以：

思考题 3-1描述液体运动有哪两种方法？两种方法有什么区别？ 3-2什么是流线和迹线？流线具有什么性质？ 3-3什么是过水断面和断面平均流速？为何要引入断面平均流速？ 3-4什么是恒定流动？

思考题 3-4 叙述流动的分类和其特征？ 3-5 有人说“均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流”，这种说法是否正确？为什么？ 3-6 动水压强与静水压强有什么不同？在推导恒定总流能量方程时，为什么过流断面必须位于渐变流段？

思考题 3-7 在使用能量方程时应注意哪些问题？ 3-8 应用能量方程判断下列说法是否正确：（1）水一定从高处向低处流动；（2）水一定从压强大的地方向压强小的地方流动；（3）水总是从流速大的地方向流速小的地方流动？ 3-9 什么是水头线和水力坡度？总水头线、测压管水头线和位置水头线三者有什么关系？沿程变化特征是什么？

小结 1、欧拉法 2、恒定流动 3、流线 4、元流、 5、断面平均流速 6、均匀流、渐变流

小结 7、连续性方程 8、比托管测速原理

小结 9、均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。 10、恒定总流伯努利方程

作业 3-4、3-9 、3-12 、3-13 、3-18、3-21 、3-22、3-29