流体力学 主讲：张卫 流体力学 第一章 绪论 第二章 流体静力学 第三章 流体动力学 第四章 相似和量纲分析 第五章 管 中 流 动 第一章 绪论 第二章 流体静力学 第三章 流体动力学 第四章 相似和量纲分析 第五章 管 中 流 动 第六章 孔口和缝隙流动 第七章 气体的一元流动

§1-2 流体的概念及其模型化 §1-3 流体的主要物理性质 第一章 绪论 §1-1 流体力学研究的内容和方法 §1-2 流体的概念及其模型化 §1-3 流体的主要物理性质

第二章 流体静力学 §2-1 平衡流体上的作用力 §2-2 流体的平衡微分方程 §2-3 重力场中的平衡流体 第二章 流体静力学 §2-1 平衡流体上的作用力 §2-2 流体的平衡微分方程 §2-3 重力场中的平衡流体 §2-4 静 压 强 的 计 算 §2-5 平衡流体对壁面的作用力 §2-6 液 体 的 相 对 平 衡

第三章 流体动力学 §3-1 描述流体运动的两种方法 §3-2 流体运动中的一些基本概念 §3-3 连 续 方 程 式 第三章 流体动力学 §3-1 描述流体运动的两种方法 §3-2 流体运动中的一些基本概念 §3-3 连 续 方 程 式 §3-4 理想流体的运动微分方程 §3-5 伯 努 利 方 程 及 其 应 用 §3-6 动 量 方 程 及 其 应 用

第四章 相似和量纲分析 §4 – 1 相 似 原 理 §4 -2  定 理 和 量 纲 分 析 的 应 用

第五章 管中流动 §5-1 雷诺实验 §5-2 圆管中的层流 §5-3 圆管中的湍流 § 5-4 管道中的局部阻力

第六章 孔口和缝隙流动

第七章 气体的一元流动 §8−1 声速和马赫数 §8–2 一元气流的基本方程和流动特性 §8–3 理想气体一元等熵流动的特征 第七章 气体的一元流动 §8−1 声速和马赫数 §8–2 一元气流的基本方程和流动特性 §8–3 理想气体一元等熵流动的特征 §8–4 收缩喷管与拉伐尔喷管的计算

第一章 绪 论 §1-1 流体力学研究的内容和方法 流体力学研究的主要内容： 1、建立描述流体平衡和运动规律的基本方程； 第一章 绪 论 §1-1 流体力学研究的内容和方法 流体力学研究的主要内容： 1、建立描述流体平衡和运动规律的基本方程； 2、确定流体流经各种通道时速度、压强的分布　 规律； 3、探求流体运动中的能量转换及各种能量损失　 的计算方法； 4、解决流体与限制其流动的固体壁面间的相互 　 作用力。

流体力学的研究方法： 1、较严密的数学推理； 2、实验研究； 3、数值计算。

§1-2 流体的概念及其模型化 一、流体的物质属性 1、流体与固体 流体：可承受压力，几乎不可承受拉力，承受剪 切力的能力极弱。 §1-2 流体的概念及其模型化 一、流体的物质属性 1、流体与固体 流体：可承受压力，几乎不可承受拉力，承受剪 切力的能力极弱。 易流性 —— 在极小剪切力的作用下，流体就将产生无休止的（连续的）剪切变形（流动），直到剪切力消失为止。 流体没有一定的形状。固体具有一定的形状。 固体：既可承受压力，又可承受拉力和剪切力，在一定范围内变形将随外力的消失而消失。

2、液体和气体 气体远比液体具有更大的流动性。 气体在外力作用下表现出很大的可压缩性。 二、流体质点的概念及连续介质模型 流体质点—— 流体中由大量流体分子组成的，宏观尺度非常小，而微观尺度又足够大的物理实体。（具有宏观物理量 、T、p、v 等） 连续介质模型—— 流体是由无穷多个，无穷小的，彼此紧密毗邻、连续不断的流体质点所组成的一种绝无间隙的连续介质。

§1-3 流体的主要物理性质 z y x 一、密度 lim M kg/m3 V0 V 流体密度是空间位置 P = 和时间的函数。 §1-3 流体的主要物理性质 z V. M  P ( x,y, z ) 一、密度 lim M kg/m3 V0 V 流体密度是空间位置 和时间的函数。 P = y x kg/m3 对于均质流体：

可压缩性—— 流体随其所受压强的变化而发生 二、压缩性 可压缩性—— 流体随其所受压强的变化而发生 体积（密度）变化的性质。 体积压缩率（体积压缩系数）： ( m2/N ) 式中：dV —— 流体体积相对于V 的增量； V —— 压强变化前(为 p 时)的流体体积； dp —— 压强相对于p 的增量。

体积（弹性）模量： ( N/m2 ) K  不易压缩。 一般认为：液体是不可压缩的（在 p、T、v 变 化不大的“静态”情况下）。 则  = 常数 或:

流体分子间的内聚力流体分子与固体壁面间的附着力。 三、液体的粘性 1、粘性的概念及牛顿内摩擦定律 y v。 流体分子间的内聚力流体分子与固体壁面间的附着力。 内摩擦力 —— 相邻流层间，平行于流层表面的相互作用力。 v0 F dy  v+dv v  y  x 定义：流体在运动时，其内部相邻流层间要产 生抵抗相对滑动（抵抗变形）的内摩擦力的性质称为流体的粘性。

内摩擦力： 以切应力表示： 式中：µ —— 与流体的种类及其温度有关的比例 常数； —— 速度梯度（流体流速在其法线方 向上的变化率）。 牛顿内摩擦定律

µ 的物理意义：产生单位速度梯度，相邻流层在单位面积上所作用的内摩擦力（切应力）的大小。 2、粘度及其表示方法 粘度 代表了粘性的大小 µ 的物理意义：产生单位速度梯度，相邻流层在单位面积上所作用的内摩擦力（切应力）的大小。 常用粘度表示方法有三种： <1>动力粘度 µ 单位 ： Pa  s （帕 • 秒） 1 Pa  s = 1 N/m2  s

<3>相对粘度—— 其它流体相对于水的粘度 恩氏粘度：ºE 中、俄、德使用 <2>运动粘度： 单位：m2 / s 工程上常用：10 – 6 m2 / s (厘斯) mm2 / s 油液的牌号：摄氏 40ºC 时油液运动粘度的 平均厘斯( mm2 /s )值。 <3>相对粘度—— 其它流体相对于水的粘度 恩氏粘度：ºE 中、俄、德使用 赛氏粘度 : SSU 美国使用 雷氏粘度: R 英国使用 巴氏粘度: ºB 法国使用 用不同的粘度计测定

3、粘压关系和粘温关系 〈1〉粘压关系 压强其分子间距离（被压缩）内聚 力粘度 一般不考虑压强变化对粘度的影响。 〈2〉粘温关系（对于液体） 温度内聚力 粘度   温度变化时对流体粘度的影响必须给于重视。

4、理想流体的概念 理想流体——假想的没有粘性的流体。 µ = 0  = 0 实际流体——事实上具有粘性的流体。

小 结 1、流体力学的任务是研究流体的平衡与宏观机械运动规律。 2、引入流体质点和流体的连续介质模型假设，把流体看成没有间隙 小 结 1、流体力学的任务是研究流体的平衡与宏观机械运动规律。 2、引入流体质点和流体的连续介质模型假设，把流体看成没有间隙 的连续介质，则流体的一切物理量都可看作时空的连续函数，可 采用连续函数理论作为分析工具。 3、流体的压缩性，一般可用体积压缩系数 k 和体积模量 K 来描述。 在压强变化不大时，液体可视为不可压缩流体。 4、粘性是流体最重要的物理性质。它是流体运动时产生内摩擦力， 抵抗剪切变形的一种性质。不同流体粘性的大小用动力粘度  或 运动粘度  来反映。温度是影响粘度的主要因素，随着温度升高， 液体的粘度下降。理想流体是忽略粘性的假想流体。 应重点理解和掌握的主要概念有：流体质点、流体的连续介质模型、 粘性、粘度、粘温关系、理想流体。流体区别于固体的特性。 还应熟练掌握牛顿内摩擦定律及其应用。

绝对平衡 —— 流体整体对于地球无相对运动。 相对平衡 —— 流体整体对于地球有相对运动，但流体质点间无相对运动。 平衡（静止） 第二章 流体静力学 绝对平衡 —— 流体整体对于地球无相对运动。 相对平衡 —— 流体整体对于地球有相对运动，但流体质点间无相对运动。 平衡（静止） 平衡流体内不显示粘性，所以不存在切应力 。

§2-1 平衡流体上的作用力 一、质量力 质量力 —— 与流体的质量有关，作用在某一体积 流体的所有质点上的力。（如重力、惯性力） 单位质量力 —— 单位质量流体所受到的质量力。 —— 单位质量力（数值等于流体加速度）。 fx 、fy、fz —— 单位质量力在直角坐标系中 x、y、 z 轴上的投影。

二、表面力 表面力 —— 由于V 流体与四周包围它的物体相 接触而产生，分布作用在该体积流体的表面。 单位面积上的表面力（应力）： 法向分量 lim Fn A0 A —— 压强 KPa， MPa pP =

归纳两点： 1、平衡流体内不存在切向应力，表面力即为 法向应力（即静压强）； 2、绝对平衡流体所受质量力只有重力，相对 平衡流体可能受各种质量力的作用。

三、 流体静压强的两个重要特性。 1、流体静压强的方向总是沿着作用面的内法线方向。 2、平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用面的方向无关，它只是该点空间坐标的函数。 证明：在平衡流体中取出一微小四面体ABOC，考察其在外力作用下的平衡条件。

<1>表面力 各个面上的静压力 ABC — 斜面面积

<2>质量力 若 则： 质量力在三个坐标方向上的投影

<3> x 方向上的力平衡方程式（Fx= 0）px1/2dydz  pn · ABC·cos(n,^x) + 1/6dxdydz fx = 0 因ABC·cos(n,^x) = 1/2dydz (ABC在yoz平面上 的投影) 则： 1/2dydz ( px – pn ) + /6·dxdydz fx = 0 略去三阶微量 dxdydz. 可得： px = pn

同理： 在 y 方向上有 py = pn 在 z 方向上有 pz = pn 则有： px = py = pz = pn 即：平衡流体中某点处所受的静压强是各向同 性的。 静压强是一个标量。其大小由该点所处的空间位置决定。 p = p ( x、y、z )

§2-2 流体的平衡微分方程（欧拉平衡微分方程） 平衡规律：在静止条件下，流体受到的静压力与 质量力相平衡。 平衡微分方程的推导： 从平衡流体中取出一微小正平行六面体微团。 体积:

分析微小正平行六面体微团受力： 一、质量力 dFmx = dxdydz fx dFmy = dxdydz fy dFmz = dxdydz fz

二、表面力 先讨论沿 x 轴方向的表面力。 形心A( x、y、z ) 处的静压强为pA( x、y、z ) 距A点 x 轴方向上 1/2dx 处的前、后两个面上的表面力分别为：

三、平衡微分方程 沿 x 轴方向有 Fx = 0 即： 化简整理后，将方程两边同除以微小六面体的质量 dxdydz

得： 静止流体的平衡微分方程 同理： (欧拉平衡微分方程） 方程的物理意义 : 在静止流体中，作用在单位质量流体上的质量力与作用在该流体表面上的压力相平衡。

将平衡微分方程的三个表达式分别乘以dx、dy、dz 然后相加 四、综合表达式 将平衡微分方程的三个表达式分别乘以dx、dy、dz 然后相加 得： 静压强的全微分 则： —— 欧拉平衡微分方程的综合表达式 此式便于积分。对于各种不同质量力作用下流体内的压强分布规律，均可由它积分得到。

五、质量力的势函数 对于不可压缩流体， =常数。 令p/ = w，因 p = p ( x, y, z )，则: w = w ( x, y, z ) 由综合式有： d (p/) = fxdx + fydy + fzdz = dw = (w/x)dx + (w/y)dy + (w/z)dz 则有 : fx= (w/x)， fy= (w/y), fz= (w/z) 由于坐标函数 w ( x, y, z )与质量力之间存在着上述关 系，则称函数 w 为质量力的势函数，这样的质量力称为有 势质量力。

§2-3 重力场中的平衡流体 讨论重力作用下，不可压缩平衡流体的压强分布规律。 一、静压强基本公式（方程） §2-3 重力场中的平衡流体 讨论重力作用下，不可压缩平衡流体的压强分布规律。 一、静压强基本公式（方程） 对于如图所示容器中的流体，单位质量 流体所受质量力在各坐标方向上的分量为： 将上述结果代入欧拉平衡微分方程的综合表达式 得： 移项后得：

或： 对于均质的不可压缩流体， = 常数 积分上式，则： 式中：C为积分常数 如图若 1、2 两点是流体中的任意两点，则上式 可写成 ： —— 重力作用下、连续、均质、不可压缩流体 的静压强基本公式（静力学基本方程）。

二、静压强分布规律 取流体中任意一点 A，考察该点处静压强。 对A点和液面上的一点C列写出静压强基本公式： 或 gz + p = gz0 + p0 整理得：p = p0 + g( z0  z ) = p0 + gh 式中：h —— A点处的液深 。 上式表示了不可压缩均质流体在重力作用下的压强分布规律，是流体静力学中最常用的公式。 静压强分布规律

对公式的几点说明： 1、任意一点的静压强由两部分组成：液面压强 p0 和液重产生的压强 gh； 2、任意点处的压强都包含了液面压强（帕斯卡原理）； 3、h   p , 呈直线规律分布； 4、距液面深度相同各点处的压强均相等。等压面为一簇水平面。

三、静压强基本公式的物理意义 mgz —— 位置势能 z —— 单位重力流体对某一基准面的位置势能(位置水头)。 对静止流体中的 A、B 两点列静压强基本公式 可得 所以: —— 单位重力流体的压强势能（压强水头） 物理意义：重力作用下，静止流体中任意点处单位重力流体的位置势能与压强势能之和（总势能）为一常数。

§24 静压强的计算 一、静压强的计算标准（表示方法） 绝对压强 —— 以绝对零值（绝对真空）为计算标准，所表示的压强。 §24 静压强的计算 一、静压强的计算标准（表示方法） 绝对压强 —— 以绝对零值（绝对真空）为计算标准，所表示的压强。 计示压强（相对压强、表压强）—— 以当地大气压为计算标准，所表示的压强。 真空度——以当地大气压为计算基准，小于大气压的部分。

三者之间的关系如图 或归纳如下： 绝对压强 =大气压强 + 计示压强 计示压强 = 绝对压强 大气压强 真空度 =大气压强 绝对压强

二、静压强的计量单位 1、应力单位：Pa (N/m2), KPa, MPa（法定计 量单位） 国外：bar (巴) 1 bar = 105 Pa psi (巴斯) 1 psi = 6.89 KPa 2、液柱高单位 ： m H2O , mm Hg 等 用不同介质的液柱高表示压强时的换算关系：

三、压强的测量 金属式压力表 —— 机械式 压力传感器 —— 电测法 液柱式测压计 —— 基于以静压强基本公式

§2-5 平衡流体对固体壁面的作用力 讨论质量力仅为重力时平衡流体对壁面的作用力。 一、固体平面壁上的作用力 （大小、方向、作用点） §2-5 平衡流体对固体壁面的作用力 讨论质量力仅为重力时平衡流体对壁面的作用力。 一、固体平面壁上的作用力 （大小、方向、作用点） 考察平面壁AB上的作用力。建立坐标 lom如图。 1、平板上的作用力（大小） 微元面积dA上的压强：p = p0 + gh 微元面积dA上的微小作用力为dF dF = ( p0 + gh ) dA = ( p0 + glsin ) dA

整个平板AB上的作用力 F 应为： F = AdF = A p0dA + + A g l sin dA = = p0A +g sin AldA 式中： AldA = lCA —— 面积矩定理 式中：lC —— 平面A形心C点的 l 轴坐标。

则 F = p0A + g sin lC A = ( p0 + ghc )A = pCA 式中: hC —— 平面A形心C处的液深； pC —— C点处的压强。 上式表明：重力作用下，静止液体对平面壁的作 用力等于平面形心处的静压强与平面面积的乘积。

2、压力中心（压力作用点） 因 F lD = A l dF 式中：lD —— 平面A压力中心D点的 l 轴坐标。 将 F 和 dF 的表达式代入上式 得：( p0 + ghc)A lD = A ( p0 + g l sin ) l dA 或：( p0 + g lC sin )A lD = = p0 A l dA + gsin A l 2 dA 式中： A l 2 dA = Im = Icm + lC2A （平行移轴定理）

Im —— 平面A对m轴的惯性矩； ICm —— 平面A对通过其形心C并与m轴平行的 C C 轴的惯性矩 ( 典型平面的ICm值可查表获 得)。

若 p0 = 0 （液面为大气压） , 则可得到很简单的形式： 可见总有: lD > lC ， 二者之间的距离为 压力中心D(作用点)液深 ：

若平面A关于 l 轴不是对称的,尚需求出点D的m轴坐标,才能确定压力中心D的位置 则 D( mD , lD ) 式中: Iml —— 平面A对m轴和 l 轴的惯性积。

二、曲面壁上的作用力 讨论如图所示的二维曲面（柱面）上的静止液体的作用力F。 设有一个承受液体压力的二维曲面ab，其面积为A，曲面在 xoz 坐标平面上的投影为曲线 ab。液深为h 处的微小曲面积 dA上的液体微小作用力为dF。 dF = ( p0 + gh ) dA

1、作用力的水平分力为Fx 微小水平分力为： dFx = dF cos = ( p0 + gh ) dA cos = ( p0 + gh ) dAx 式中：dAx—— 微小曲面积 dA 在 x 轴方向 (或 yoz 坐标平面)上的投影面积。

则 Fx = AxdFx = Ax ( p0 + gh)dAx = p0Ax + g Ax h dAx 式中： Ax hdAx = hCAx —— 曲面A在 yoz 平面上的 投影面积 Ax 对 y 轴的面积矩 。 hC—— 投影面积Ax形心处C的液深。 所以：Fx = p0Ax + ghC Ax = ( p0 + ghC)Ax ——作用力的水平分力

dFz = dFsin = ( p0 + gh)dA sin = ( p0+gh)dAz 微小垂直分力为： dFz = dFsin = ( p0 + gh)dA sin = ( p0+gh)dAz 式中：dAz—— 微小曲面积 dA 在 z 方向上 的投影面积。 则： Fz = AzdFz = Az ( p0 + gh)dAz = p0Az + g Azh dAz 显然，式中：Az hdAz = VF ——曲面ab上方的 液体体积，称为压力体。

所以： Fz = p0Az + gVF —— 作用力的垂直分力 液体对曲面的作用力: F 的作用方向：  —— F 的方向与垂直方向的夹角。

三、压力体的概念 积分式 Azh dAz —— 纯几何体积。 定义：由所研究的曲面A，通过曲面A的周界（外缘）所作的垂直柱面，以及对曲面A有作用的液体自由液面（或其延伸面）所围成的封闭体积，用VF表示，称为压力体。 压力体液重： gVF

实压力体 —— 压力体与受压面同侧。 虚压力体 —— 压力体与受压面异侧。

例题：某水坝用一长方形闸门封住放水口。闸门 高 L = 3 m ，宽 B = 4 m ，闸门两边水位分别为 H1= 5 m ，H2 = 2 m ，闸门垂直放置，试确定： 1、开启闸门时绳索的拉力（绳索与水平面的夹 角为 60 ）； 2、关闭闸门时 A 点处的支承力。 解：1、作用在闸门右侧的总压力为：

总压力 F1 的作用点： 作用在闸门左侧的总压力为： 总压力 F2 的作用点：

将闸门两侧的水压力及绳索拉力对转轴 O 点取矩， 应有： 即： 求得绳索的拉力 T = 348.9 KN 2、 即： 解得： FA = 174.4 KN

例题 ( 习题 2 — 32 ) : 求封闭液体关闭闸门所需 的力 F 。 解：设液体对弧形闸门（以 R 为半径的四分之一 圆柱面）的总压力为 P 。其垂直指向圆柱面， 且作用线通过圆柱曲面的曲率中心。 则应有：F R = P l 上式中：l = R sin —— P 对铰点 O 的力臂  —— P 的作用线与垂直方向的夹角 需求出

1、首先求出容器液面压强 p0 由 U 形管差压计知： 2、由 Px = pc Ax 得：

3、 4、 5、 6、 7、

例题：一圆柱形压力水罐（压力容器）。半径 R = 0.5 m，长 l = 2 m，压力表读数 pM = 23.72 KPa。 试求：1、两端部平面盖板所受的水压力； 2、上、下半圆筒所受的水压力。 解：1、端盖板所受的水压力

2、上、下半圆筒所受的水压力

或：压力表用测压管代替时

§2-6 液体的相对平衡 除了重力场中的流体平衡问题以外，还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。如果我们把运动坐标取在容器或机件上，则对于这种所谓的非惯性坐标系来说，液体就成为相对平衡了。 相对平衡流体所受的质量力：重力 惯性力 工程上常见的流体的相对平衡有两种： 1、作匀加速直线运动容器中的液体； 2、作等角速旋转运动容器中的液体。

讨论作等角速旋转运动容器内液体的相对平衡。 如图，盛有液体的圆柱形容器绕铅垂轴 z 以角速度ω作旋转运动，液体被甩向外周。 当旋转角速度ω稳定不变时，液体形成如图所示的自由表面，液体质点之间不再有相对运动,液体连同容器作整体回转。如果将运动坐标系固结在回转容器上,且坐标原点取在自由液面的最低点，则液体对运动坐标系形成相对平衡。 容器作等角速回转运动

此时作用在液体上的质量力有两种： 重力 △W = △mg 虚构的离心惯性力 △F = △mω2 r（方向与向心加速度的方向相反） 下面讨论其静压强分布规律和等压面方程。 单位质量力 单位质量液体所受质量力的各分量为： fx = ω2 r cosθ= ω2x fy = ω2 r sinθ = ω2y fz = − g 式中：r 流体质点到旋转轴的距离； x、y r 在两水平坐标轴上的投影。

一、等压面方程 在等压面上 p = C 则 dp = 0 由平衡微分方程式的综合表达式可得等压面微分方程式： fxdx + fydy + fzdz = 0 将各单位质量力的分量代入等压面微分方程式， 可得： ω2 x dx + ω2 y dy − g dz = 0 作不定积分得：

或: 可见等压面是一簇绕 z 轴的旋转抛物面。 或: 等角速旋转容器中 液体的等压面方程 自由表面方程： 在自由表面上，当 r = 0 时，z = 0，可得积分常数 C = 0，故自由表面方程为： 或:

上式中：z 0 超高（自由表面上任一点的 z坐标，即自由表面上的点比抛物面顶点所高出的铅直距离） 则 式中： 该点的圆周速度。 液面的最大超高为： 式中： R 容器的内半径； vc 容器内半径处的圆周速度。

在Oxy 坐标平面以上的旋转抛物体内的液体体积为 上式说明,圆柱形容器中的旋转抛物体的体积,恰好是高度为最大超高的圆柱形体积之半。

二、静压强分布规律 将前述单位质量力的各坐标分量代入平衡微分方程式的综合表达式中， 得： dp =ρ(ω2 x dx +ω2 y dy – g dz) 作不定积分，则 由边界条件：当 r = 0 时，z = 0 ； p = p0

p = p0 +ρg ( z0  z ) = p0 +ρg H 求得积分常数 C  p0 等角速旋转容器中液体的静压强分布规律 静压强分布规律的另一种表达形式： p = p0 +ρg ( z0  z ) = p0 +ρg H 式中：H —— 容器中某一点在自由液面下的液深。 可见：等角速旋转容器中液体的静压强分布规律与重力作用下静止液体中的静压强分布规律形式完全相同。

小 结 流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律。静止流体中 粘性不起作用，表面力只有压应力。所以流体静力学的核心问题是以 小 结 流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律。静止流体中 粘性不起作用，表面力只有压应力。所以流体静力学的核心问题是以 压强为中心，主要阐述流体静压强的特性、欧拉平衡微分方程、静压 强的分布规律、作用在平面壁或曲面壁上的静压力的计算方法等。 掌握以下基本概念：绝对压强、相对压强、真空度、测压管水头、压 力体、压力中心。 掌握静压强的两个重要特性 掌握并能运用欧拉平衡微分方程及其综合表达式，理解其物理意义， 掌握并熟练运用静力学基本方程、静压强分布规律（重力作用下）， 理解其物理意义， 掌握作用在平面壁和曲面壁上的静压力的计算方法。

流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。 描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变化的规律。 第三章 流体动力学 动力学比静力学多了两个参数：粘度和速度 §3-1 描述流体运动的两种方法 流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。 描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变化的规律。 一、拉格朗日法（随体法） 着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟踪每一个流体质点，分析其运动参数随时间的变化规律。

用初始时刻 t0 某流体质点具有的空间坐标(a,b,c)来标识不同的流体质点，用流体质点的初始坐标(a,b,c)和时间变量 t 共同表达流体质点的运动规律 x = x ( a,b,c,t )、y = y ( a,b,c,t )、z = z ( a,b,c,t )。 二、欧拉法（局部法、当地法） 着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置上的流体质点的运动规律。 广泛采用。 N —— 流体的运动参数。 N = N ( x, y, z, t ) = N[ x(t), y(t), z(t), t ] ( x, y, z, t ) —— 欧拉变数

§3-2 流体运动中的一些基本概念 一、定常（恒定）流动：流体的运动参数（物 理量） N 仅仅是空间坐标的函数，而与时间无关的流动。 即 N = N( x, y, z ) 或 二、控制体：流场中人为选定的，相对于坐标系有固定位置，有任意确定形状的空间区域。 三、物理量(运动参数)的质点导数(随体导数)： —— 物理量的质点导数（全导数）

N 是时间 t 的复合函数，由多元复合函数 求导法则可得： 时变导数(当地导数)： 位变导数(迁移导数)： 流体质点所在空间位置变化，所引起的物理量N对时间 t 的变化率。 在某一固定空间点上物理量N对时间 t 的变化率。

对于定常流动： （时变导数为零） 对于均匀流动： （位变导数为零） 对于不可压缩流体： (全导数为零）

四、一元（维）流动：运动参数仅沿着流动 方向变化的流动。

五、流线 ： 在某一瞬时，液流中的一条条光滑 曲线。在该瞬时，位于流线上各点处流体质 点的速度方向与流线相切。 流线的性质： <1>流线是一个瞬时概念。定常流动下，流线形状不随时间变化。 <2>流线不能相交，也不能突然转折。

六、流束 ：过液流中由封闭曲线 l 围成的面积 A 上 的每一点作流线，所作流线的集合称为流束。 微小流束 —— 当面积 A 无限缩小趋于零时的 流 束。 七、过流断面 ： 流束中与所有流线相垂直的截面。 缓变流动 —— 流线间基本平行的流动。 缓变流动下的过流断面可近似为一平面。

八、流量 ： 单位时间内流过某一过流断面的流 体体积。 q m3/s l/min dq = v dA —— 微小流束过流断面的流量。 q = A v dA —— 流束过流断面的流量。 九、断面平均流速 ：假想的过流断面上各点处 都相等的流速。

§3-3 连续方程式（一元流动） 物理本质：控制体中流体质量的增量，必然等于 同一时间内流入与流出控制体的流体质量之差。 沿如图所示的流束表面及两个过流断面 A1、 A2取出控制体。 —— 流体的连续方程式 则：

单位时间内流入、流出控制体的流体质量之差等于该控制体内流体质量（密度）的变化率。 一、定常流动 则： 二、对于不可压缩流体流动  = Const 则： 即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断面积成反比。

直角坐标系下微分形式的连续性方程 1、连续性微分方程的一般形式 在流场中取一微元平行六面体作为控制体 边长分别为dx、dy、dz。 中心点 A ( x,y,z ) 流速为vx、vy、vz ，密度为ρ( x,y,z,t ) 考察在 dt 时间内流入、 流出控制体的流体质 量与控制体内流体质 量变化的关系。 首先考察沿 y 方向流入、流出控制体的流体质量。

流入质量： 流出质量： 在 dt 时间内自垂直于 y 轴的两个面流出、流入的 流体质量之差为：

同理可得自垂直于 x、z 轴的平面流出、流入的 流体质量之差分别为： dt 时间内经控制体净流出的流体质量应等于该时 间控制体内流体质量的减少（由质量守恒定律）。 即：

于是可得流体连续性微分方程的一般形式为： 2、不同适用范围的使用形式 定常流动的连续性微分方程： 不可压缩流体的连续性微分方程：  = Const

物理意义：不可压缩流体在单位时间内， 流出、流入单位空间的流体体积之差等于零。 适用范围：理想、实际，定常流或非定常流的 不可压缩流体。

亥姆霍兹速度分解定理：任一流体微团的运动可以分解为三个运动： 1、随同任一基点的平移； 2、绕通过这个基点的瞬时轴的旋转运动； §3-4 流体微团的运动分析 一、流体微团运动的组成 亥姆霍兹速度分解定理：任一流体微团的运动可以分解为三个运动： 1、随同任一基点的平移； 2、绕通过这个基点的瞬时轴的旋转运动； 3、变形运动（包括角变形和线变形）。 按二维情况 平 动 平移+线变形 平移+角变形 平移+旋转运动 实际的流体运动多为平动、转动和变形三种基本运动形式或两种基本运动形式的组合。

二、流体微团的旋转运动 流体微团的旋转运动对流动分析有很重要的意义。 1、旋转角速度的定义—— 原相互垂直的两邻边的旋转角速度的平均值为流体 微团绕某转轴的旋转角速度ωi ( i = x, y, z )。 2、旋转角速度的数学表达式 A点速度：vx、vy 与A点相邻的 D 点速度：

AD边的旋转角： 同理AB边的旋转角： AD边与AB边的旋转角速度分别为： （顺时针为负） （逆时针为正）

由旋转角速度的定义，可得流体质点绕 z 轴的 同理：

有旋流动（亦称涡流），ωx、ωy、ωz中至少有 一个不为零。 三、有旋流和无旋流 按流体质点是否绕自身轴旋转，流动分为 有旋流动和无旋流动。 有旋流动（亦称涡流），ωx、ωy、ωz中至少有 一个不为零。 无旋流动（亦称有势流动）， ωx=ωy=ωz= 0 或 ， ， 有无旋仅取决于每个流体微团本身是否 旋转，而与流体微团的运动轨迹无关。

§3-5 理想流体的运动微分方程 (欧拉运动微分方程) 仍采用微元体积法：在流场中取出一个正平行六面体 流体微团。 dV = dxdydz. 在某瞬时 t 形心A( x, y, z ) 处的压强为 pA( x, y, z, t )， 形心A( x, y, z ) 处的速度为 vx, vy, vz ， 作用在微元平行六面体上的力有质量力和表 面力。 以 y 方向为例分析受力。

pA dz dy dx dFm

一、y 方向的质量力 dFmy =  dx dy dz fy 二、y方向的表面力 左表面： 右表面： 式中： —— 压强沿 y 方向的变化率。

三、y方向的运动方程（力平衡关系式） 由牛顿第二定律，在 y 方向上有： Fy = may 即： 所以： —— 单位质量流体在 y方向上运动规律的数学表达式 得：

同理，可推得在 x、z 方向有： 理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）

§3-5 伯努利方程及其应用 一、理想流体沿流线的伯努利方程 单位质量的流体质点经 dt 时间沿流线产生微小位移 。 dx = vxdt dy = vydt dz = vzdt 在三个坐标方向上的分量。

将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式的两边相乘，然后分别相加可得：

引入以下限制条件，对上式中的三类项分别进行化简。 <1> 流体为不可压缩的； <2> 流体作定常流动； <3> 流体所受的质量力仅为重力。 1、质量力（由条件3） fxdx + fydy + fzdz =  gdz 2、表面力（由条件2）

3、惯性力 于是化简后可得： 积分上式，并考虑条件 1 ，  = 常数 得：

除以 g, 则： 对于同一流线上的任意两点 1、2 ，上式可写成： 单位重力流体的动能 （速度水头） —— 在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，沿流线的伯努利方程(能量方程)。

物理意义：重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。

二、理想流体总流（流束）的伯努利方程 总流 —— 流体通过有限过流断面的流动。 表达了两个过流断面处流体能量的关系，但要以过流断面上的平均值表示。 式中：  —— 动能修正系数。 1、动能项 以断面平均流速将动能表示为： 过流断面上速度分布越均匀，   1。

2、势能项 若将 yoz 坐标平面取在缓变过流断面上， 则有： vx = v ， vy = vz = 0 于是欧拉运动微分方程可写成： 与平衡微分方程相同

即：过流断面上流体压强分布满足重力作用下静止流体的压强分布规律。 因此对于同一过流断面上有： 则：对于沿总流的任意两个过流断面上的 单位重力流体有： —— 沿总流的伯努利方程 (重力、理想、不可压、定常)

三、实际流体总流的伯努利方程 用能量的观点把“理想”拓广到“实际”中。 粘性摩擦对流体运动的阻力，要由一部分机械能去克服，使机械能  热能，沿流动方向机械能降低。 式中： hf —— 单位重力流体沿总流从1 断面流 到 2 断面，为克服粘性摩擦力而消耗的机械能，称为能量损失或水头损失。 所以：

应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意以下几点： 1、适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量力只有重力作用。 2、往往与连续方程联合使用。 3、在选取适当的位置势能为零的水平基准面后，可选择过流断面上任意高度为已知点 z1 和 z2 列出伯努利方程。（三选一列） 4、所选用的过流断面必须是缓变过流断面。且其中一个断面应选在待求未知量所在处，另一个断面应选在各参数已知处。

5、压强 p 可取绝对压强或计示压强。但两个断面必须采用同一种表示方法。 6、一般取 1 = 2 7、沿流程若有能量输入或输出时（经水泵、通风机等）， 式中：H —— 单位重力流体流经流体机械获得 ( + ) 或失去 (  ) 的能量。（水泵的扬程）

四、伯努利方程的应用（文丘里流量计） 文丘里流量计由进出口过流断面积分别为A1和A2的一段渐缩管组成。并在进出口处接入水银差压计（或测压管）。根据伯努利方程，只要读出 h’ 或 h 即可由 A1和 A2（或 d1和 d2）求得管中流量 q。 取基准面0-0，另在缓变流动区取断面1-1，2-2，断面形心为计算点。考虑理想流体（暂不计流动的能量损失）。

对两过流断面1-1，2-2列出伯努利方程： ( 取  = 1 ) 由连续方程知： 解出： 代入伯努利方程得：

解得： 对于测压管： 对于U 型差压计:

文丘里流量计若用测压管测压，则 推导： 则： 同除以  g 有 ： 则：

文丘里流量计若用U 形管差压计测压，则: 推导：取Ⅰ—Ⅰ水平面过U 型管左支管的两液 体分界面，列等压面方程。 左支管： 右支管： 即：

所以： 于是理论流量：qT = v1A1 考虑实际流体流动中的能量损失后 实际流量为：q = Cqv1A1 其中Cq —— 流量系数。 流量的测量、计算与文丘里流量计放置的倾斜角度无关。

例题 3 – 2：如图所示射流泵，将蓄水池中的水 吸上后从出水管排出。 已知：H = 1 m h = 5 m D = 50 mm 喷嘴 d = 30 mm 不计摩擦损失 求： 1、真空室中的 压强 p2 ， 2、排出水的流量 qV 。

解：取 5 个过流断面如图。 对1—1，3—3 断面列伯努利方程得： 则： 由连续方程知： 即：

再对 1—1，2—2 断面列伯努利方程得： 解得： 真空室压强 p2 低于大气压，降至 0.345105 Pa 后， 蓄水池中的水被压上来。 流量为： v — 吸水管中的流速

对 4—4 和 5—5 断面列伯努利方程求 v : 解得：

排出水的流量：

§ 3-6 动量方程及其应用 质点系的动量定理： 即：质点系动量的变化率等于作用在质点系上 所有外力的矢量和。

在某一瞬时 t ，从流场中取出一控制体（如虚线所示），其一部分控制表面与要计算作用力的固体壁面相重合。 按照作用力与反作用力大小相等、方向相反的原理，讨论运动流体对固体壁面的作用力。

一、分析流体质点系的动量变化 在 t 时刻，流体质点系的动量与控制体内流体的动量相等，均为 ( mv )t 。 t +dt 时刻，流体质点系的动量为: [( mv )Ⅲ]t +dt + [ ( mv )Ⅱ]t +dt 而 [( mv )Ⅲ]t +dt = = ( mv )t +dt  [( mv )Ⅰ]t +dt

则在dt 时间内流体质点系运动到新的空间位置后， 其动量的增量为： d(mv) = (mv)t +dt  [(mv)Ⅰ]t +dt + [(mv)Ⅱ]t +dt  (mv)t = [(mv)t +dt  (mv)t ] + [(mv)Ⅱ]t +dt  [(mv)Ⅰ]t +dt ① ② ③ 式中：① 项—— 控制体内流体动量在dt 时间内 的增量。 ② 项—— 在dt 时间内通过控制表面A2 流 出控制体的流体动量。 ③ 项——在dt 时间内通过控制表面A1 流 入控制体的流体动量。

= [(mv)Ⅱ]t +dt  [(mv)Ⅰ]t +dt = 2q2dt2v2  1q1dt1v1 二、定常、不可压缩、一元流动的动量方程 1、定常、一元流动 ①项为零, 则有： d(mv) = = [(mv)Ⅱ]t +dt  [(mv)Ⅰ]t +dt = 2q2dt2v2  1q1dt1v1 由动量定理得： F = 2q22v2  1q11v1

2、对于不可压缩、定常、一元流动 1 = 2 则：F = q（2v2  1v1） ——不可压缩、定常、一元流动的 动量方程。 动量方程的投影形式：（最常使用此形式） Fx = q（2v2x  1v1x） Fy = q（2v2y  1v1y） Fz = q（2v2z  1v1z）

式中： —— 动量修正系数 过流断面上流速分布越均匀，   1

三、应用动量方程应注意的几点 1、控制表面的一部分必须与对流体质点系有 作用力的固体壁面相重合。有一部分必须是 压强、流速已知或为所求的过流断面。在取 控制体时要特别注意。 2、 F 是作用在控制体内流体质点系上的所有 外力的矢量和。外力既包括表面力（固体壁面 及控制体外部液体对流体质点系的作用），也 包括质量力。

3、外力和流速的方向，与所选定的坐标方向相同时取“+”，反之为“”。 4、动量方程中的F 是外界（包括固体）对流体质点系施加的。实际问题中常常要计算的是流体对固体的作用力，应与前者等值反向。

四、动量方程的应用 1、流体对管道的作用力 2、自由射流对挡板的冲击力 以下举例说明。

例题：密度  = 1000 kg/m3的水从图示水平放置的 喷嘴中喷出流入大气。 已知：D = 8 cm d = 2 cm v2 = 15 m/s 求：螺栓组 A 所受 的力 F。 解：螺栓组所受 的力即为流体 对喷嘴的作用力。

可用动量方程求解。 沿喷嘴壁面及流入、流出过流断面取控制体。 控制体内的流体在 x 方向所受的力有： 液体的压力； 喷嘴对控制体内流体的作用力F’。 一、沿 x 方向列出动量方程 则：

二、列伯努利方程求 p1 在喷嘴进、出口处取两个过流断面1—1、2—2 ， 不计能量损失。 上式中： z1  z2  0 ， p2  0 则：

三、由连续方程求 v1 则： 将 v1 代入伯努利方程得：

四、将 p1 、v1 、q 代入动量方程 得： 所以螺栓组 A 受 力：

例题：设有一股在大气中流量为 q 的射流，以速 度v 冲射到与水平成  角的平板上，然后分 成两股（如图）。 自由射流对挡 板的冲击力F 求平板所受到的力及 流量 q1 和 q2。 解：取控制体及坐标系 如图。 设平板对流体的作用力 为F’，则平板受力为：

列出沿平板法线方向（ y 方向）的动量方程： 则： 再列出沿平板方向（ x 方向）的动量方程求流量： 若忽略液体的重力（或略去高度的变化）和流动 损失，则由于控制体内压强处处相等，故由伯努 利方程知，流入、流出断面上的速度均相等。 即：

则： 即： 又由连续性方程： 联解以上两式得：

小 结 本章介绍流体运动分析所需要的基本概念及描述流体运动的方法，建立描述流场中流体运动的普遍关系式。物理学和理论力学中的质量守恒定律、牛顿运动定律、机械能守恒定律及动量守恒定律等同样是流体运动遵循的规律，是本章推演流体运动普遍关系式的理论依据。 建立流体运动的关系式，目的在于确定流体的流速、加速度、压强等运动参数随时间与空间的变化规律及相互间的关系。。 深刻理解，熟练掌握以下主要概念：定常流动、均匀流动、控制体、质点导数、流线及其性质、一元流动、流管流束、过流断面、流量、断面平均流速。 理解描述流体运动的欧拉法。 掌握并熟练运用连续方程。 理解理想流体运动微分方程及其物理意义。 掌握并熟练运用伯努利方程，理解其物理意义。 掌握并熟练运用动量方程。

第四章 相似理论和量纲分析 相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验的理论基础（包括科学地设计组织实验及整理实验结果） 。 第四章 相似理论和量纲分析 相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验的理论基础（包括科学地设计组织实验及整理实验结果） 。 工程流体力学实验的两种类型： 1、工程性的模型实验——预测即将建造的大型机 械或水工结构上的流体流动情况。 2、探索性的观察实验——寻找未知的流动规律。 指导第一类实验的理论基础是相似原理，后者则要借助于量纲分析法。

§4-1 相似原理（应用于模型实验） 一、力学相似的基本概念 力学相似 —— 实物流动与模型流动在对应点上的 对应（同名）物理量都应该具有固 定的比例关系。 几何相似 力学相似 运动相似 动力相似

1、几何相似 —— 模型流动与实物流动有相似 的边界形状，且一切对应的 线性尺度成比例。

则 : 线性比例尺 (基本比例尺之一) (几何相似常数) 面积比例尺： 体积比例尺：

2、运动相似 —— 两个流动对应点、对应时刻 的流动速度方向都一致，大 小都成同一比例。 则 : 速度比例尺 ( 基本比例尺之二 ) : 时间比例尺： 加速度比例尺： （速度比例常数）

流量比例尺： 运动粘度比例尺：

3、动力相似 —— 两个流动在对应点上，对应瞬 时，质点受到同种性质的外力 作用，且对应的同名力方向相 同，大小成同一比例。 则 : 密度比例尺 ( 基本比例尺之三 ) : （密度比例常数） 其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量纲由上述三个基本比例尺（  l ，v ， ）确定 。

如：质量比例尺： 力比例尺： 上式中各同名力分别为压力P、粘性力F、重力G、惯性力 I。 对于惯性力根据牛顿定律有：I  m a 故： 压强比例尺：

动力粘度比例尺： 注意：<1>无量纲系数的比例尺: c  1 <2>单位质量重力的比例尺： g  1

二、相似准则 两流动力学相似，则必须满足动力相似。而动力相似又可以用相似准则（力学相似准则，力学相似判据，相似准数）的形式来表示。 即：同名相似准数相等。 1、重力相似判据（佛劳德准则） 流体所受重力为 G  mg  Vg 即：  l2 v2   l3 g

佛劳德准则（重力相似判据） 佛劳德相似准数（佛劳德准数） 整理得： 或： 定义： 则： 2、粘性力相似判据（雷诺判据） 作用于流体上的粘性力 即 ：

雷诺相似准数 (雷诺数) 定义： 整理得： 或： 则： Re  Re 雷诺准则 (粘性力相似判据) 即： l2 v2  p l2 3、压力相似判据（欧拉准则） 作用在流体上的压力 P  p A

整理得： 定义： 则：Eu  Eu 欧拉准则(压力相似判椐) 欧拉相似准数(欧拉数) 以上三个准则称为实际(粘性)不可压缩流体 定常流动的力学相似准则。

三、近似准则（近似相似） 完全相似必须保持下列三个相互制约关系： v2  g l ⑴   v  l ⑵ p   v2 ⑶ 这是相当困难甚至不可能的。 例如：由式⑴得 ： v  l 1/2 （g 1） 由式⑵得 ：   l 1/2 l  l 3/2 上述关系很难满足。

又如：若两流动使用同一种介质， 温度相同时：   1 由佛劳德准则有 ： v  l1/2 二者矛盾，不可能同时满足。 由雷诺准则有：

近似准则法： 根据具体问题，抓住支配流动的主要矛盾，忽略次要因素，选择决定性相似准则（主要相似准则 ），设计模型实验（流动）。 1、佛劳德准则作为决定性相似准则。 用于水利工程及明渠等无压流动中。 此类流动都是以水位落差形式表现的重力为主要矛盾，支配流动。 2、雷诺准则作为主要相似准则 用于有压管流和大气中物体的运动等情况。 流体克服粘性摩擦而流动，粘性力决定流动的性质。

四、模型流动的设计与数据换算（举例） 例：在设计高h = 1.5 m，最大速度为 v= 200km/h的轿车时，需要确定其在公路上以此速度行驶时的正面空气阻力。拟在风洞中进行模型实验，并假定风洞实验气流的温度与公路上行驶时的温度相同。⑴若风洞中模型流动的气流速度设计为v =83m/s，求模型实验中的轿车高度h；⑵在⑴的条件下和所求车身高度，若测得模型实验正面空气阻力F  =1000N，求实物汽车在公路上以最大速度 200 km/h 行驶时，所受空气阻力 F 为多少？

解：(1) 影响汽车所受阻力的因素主要是粘性力， 应以雷诺准则作为决定性相似准则。 即应使 或 因两流动是同种介质，且同温度，应有： 将 v = 200 km/h ， l = h = 1.5 m ，v = 83 m/s 代入雷诺准则式

则模型实验中轿车的设计高度应为： (2) 模型设计时已知： （同温度下的同种介质）

则： 可得实物汽车上的正面阻力为：

§4 - 2  定理和量纲分析的应用 量纲分析的目的是找出影响某一流动现象（过程）的各个变量（因素），把它们加以合理的组合，写成无量纲数的形式，从而把物理过程中各变量间的关系，概括地表示在由这些无量纲数组成的函数关系式中，同时指明实验方法，并使得实验中所需测量和处理的变量数减少。  定理是广泛应用于量纲分析的一种方法。

一、量纲和谐性原理 一个物理现象（或物理过程）用能正确反映其客观规律的物理方程表示时，方程中的每一项的量纲应该是和谐的、一致的。 若将物理方程中的各项的量纲均用基本量纲 的幂次式表示，则各项的基本量纲必须齐次。称 为物理方程的量纲齐次性原理。 此原理是量纲分析法的理论依据。

二、 定理 设影响某一个物理过程或某一物理现象 N 的 k 个因素 (物理量、变量) 为 n1，n2， ……，ni， ……，nk，则此物理现象可用函数式表示为： 若从这（k+1）个物理量中确定出三个物理量 n1，n2，n3 作为基本物理量，则这个物理现象可以用由（k+1）个物理量构成的（k+13）个无量纲参数 i 表达的函数关系式来描述。 即：  f ( 4，5 ，……，i ，……，k )

三个基本物理量必须满足的要求： ⑴基本物理量的量纲应该是各自独立的，且包含基本量纲 M、L、T。 ⑵其余（k+13）个物理量的量纲都可以由这 三个基本物理量的量纲表示（导出）。 应用 定理进行量纲分析的步骤： ⑴ 找出影响流动(物理)现象(规律)N 的全部 k 个物理量，将物理现象写成一般函数关系 式：

⑵ 从 k 个物理量中选出 3 个符合要求（包含不同基本量纲）的物理量作为基本物理量（一般选 l、v、 ，分别包含长度、时间和质量）。 ⑶ 用这三个基本物理量的组合（通常是这三个变量指数乘积的形式）依次与其余的（k+13）个物理量中的任一个一起组成（k+13）个无量纲的 项。即： ； 式中：n1、n2、n3 为基本物理量。 i  4, 5, ……, k

⑷ 确定无量纲的 项中的各指数 写出各变量的量纲，列出量纲关系式，依据量纲和谐性原理，比较各关系式等式两边基本量纲的因次（指数），列出代数方程式，解出各变量的指数xi、yi、zi ，代入上述（k+13）个无量纲 项。 ⑸ 将（k+1）个物理量之间的待求函数关系式改写成（k+13）个无量纲  项之间的待求函数关系式：   f ( 4，5，……，i ，……，k )

应用量纲分析法，除可得到反映流动现象的具体函数关系式外，还可将独立变量的个数减少 3 个，从而大大地简化实验过程（因使所需测量和处理数据的变量数减少）。

三、量纲分析法的应用（举例） 例：试用量纲分析（ 定理）法推出管中流动 的沿程水头损失的表达形式。 经实际观察和初步分析知道，流体在水平等径直圆管中的流动，由于沿程粘性摩擦而造成的两点间的压强降（压强差） p 与下列因素有关：管径 d ，两点间的管长 l ，管壁粗糙度  ，管内流体的密度  ，流体的动力粘度  ，以及管流的断面平均流速 v ，求 p 及 hf表达式。 解： ⑴ 各变量（因素）与 p 的函数关系可以 下式表示： p = f（ d，v，，，l，）

⑵ 上式中 k = 6，从中选出三个基本物理量 d，v，，按 定理，这（k+1）个有量纲物理量之间的待求函数关系式就可转换成（k+13）个无量纲参数之间的待求函数关系式：  f ( 4，5，6 ) ⑶ 选用 M，L，T 为基本量 纲。除三个基本物理量外，其余（k+13）= 4 个变量 （导出物理量） p， ，l， 均可由三个基本物理量的 指数乘积形式来表示

⑷ 以上各式中 xi ，yi ，zi 为待定指数。 写出每个物理量的量纲： p=ML1T2  d =L  v =LT1  =ML3  =ML1T1  l =L   =L 将各含有无量纲参数的方程写成量纲关系式：

依据量纲和谐性原理,由上述第一式可得: M: 1  z = 0 L: x + y  3z +1= 0 T: y  2 = 0 解此代数方程组得: x = 0, y = 2, z = 1 则: 又由上述第二式可得: M: 1  z4 = 0 L: x4 + y4  3z4 + 1 = 0 T: y4  1 = 0

解此代数方程组得: x4 =1 , y4 = 1 , z4 = 1 所以： 用同样的方法可解得： ⑸ 将各  值代入，前述无量纲参数之间的待求函 数关系式变为：

所以： 最后写出沿程水头损失的函数关系式： 达西公式 式中： 沿程阻力系数

小 结 本章主要介绍了相似原理和量纲分析。 在设计模型流动实验时，需要使模型流动与实物流动具有一定的对应关系，这就要求两个流动满足几何、运动、动力这三个层次上的相似（力学相似），其中动力相似是流动相似的主导因素。 动力相似要求两个流动各个同名力的比值都相等，由此提出了不同的相似准则，并定义了不同相似准数。从理论上说，只有当两个流动的各同名相似准数都相等时，流动才严格地满足动力相似。但在大多数情况下，并不需要、且常常也不可能同时满足所有的相似准则。因此，在设计模型流动时需要认真分析流动的各个影响因素，优先考虑起主导作用的相似准则。

量纲分析是以量纲的和谐性原理为依据，以 定理为基础的。 一个流动现象通常会与多个物理量相关。运用量纲分析（  定理法）可以综合若干个物理量的影响，组成无量纲综合量，使问题相关参量的数目减至最小，从而揭示参量之间的内在联系，使问题得到简化。 本章要求理解力学相似、量纲及量纲和谐性原理等概念， 重点掌握量纲分析的 定理法；雷诺相似准则和弗劳德相 似准则。

讨论流体在管道中的流动状态，速度分布规律，流量计算和流动中所产生的能量损失 hf (重点)。 第五章 管中流动 讨论流体在管道中的流动状态，速度分布规律，流量计算和流动中所产生的能量损失 hf (重点)。 §5-1 雷诺实验 一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流 动状态） 层流 —— 流体质点无横向运动，互不混杂，层 次分明地沿管轴流动。 湍流 —— 流体质点具有无规则的横向脉动。引 起流层间流体质点的紊乱，相互混杂 的流动。

二、雷诺数（流态的判定） 临界雷诺数： Rec = 13800 层湍 （上） （金属圆管） Rec = 2320 湍层 （下） —— 雷诺数 (无量纲） 对于非圆截面管道： 式中： —— 水力直径 式中：S —— 湿周，即过流断面的周界长度。

用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）： 当 Re < Rec = 2320 层流 当 Re > 2320 湍流 雷诺判据 雷诺数的物理意义：流体运动时所受到的惯性 力与粘性力之比。

§5-2 圆管中的层流 讨论层流状态下圆管过流断面上的速度分布、流量计算及沿程水头（压强）损失 hl (pl)的计算。 一、过流断面上的速度分布 水平放置的等径直圆管内流体作定常层流。从中取出一轴心与管轴重合的微小圆柱流体，分析其在水平方向（x方向）上的受力。

质量力：只有重力，无此方向上的分力 表面力： (1)两端面上的压力： （p1  p2)  r2 = p  r2 (2) 圆柱体侧表面上的粘性摩擦力 由Fx = 0 得：

整理后可得： 对上式积分： 由圆管边界条件：当 r = R时 v = 0 于是： 所以过流断面上的流速分布为：

上式说明：圆管层流下过流断面上的流速随 半径 r 呈二次旋转抛物面分布。 最大流速发生在轴线处（即 r = 0 处） 故：

二、流量计算

用圆管内径表示： 哈根 — 泊肃叶公式 上式反映了流量 q、压强差 p 与管径 d 的关系。同时也是工业上测定液体粘度的依据。

三、圆管层流的断面平均流速　　 将 v 和 v 的表达式代入  及  的计算式， 可得层流时： 　　  = 2 ，　 = 4/3 　　　　　　　　　　　　　　　　

四、沿程能量损失 １、管流中能量损失的类型 　　沿程能量损失——流（液）体在等径直圆管中流动时，沿流程克服摩擦阻力，使液体能量沿流动方向逐渐降低，造成的能量损失（可用沿程压强 损失 pl 或沿程 水头 损失 hl 表示）。 局部能量损失——流（液）体流动时克服过流断面突然改变等局部阻力造成的能量损失（同样可用局部 压强 损失 p 或局部 水头 损失 h 表示）。

2、沿程压强损失 pl 的计算 层流、湍流均适用 密度为  的液体以速度 v 流经长度为 l，内径为 d 的一段圆管时所产生的压强损失。  = f ( Re, /d ) —— 沿程阻力系数 式中：/d —— 相对粗糙度。  —— 绝对粗糙度。 不同流动状态下计算  的方法不同 。

对于层流： 由流量计算公式可得： 则：  只与雷诺数 Re 有关

3、沿程水头损失 hl 沿程能量损失亦可用水头损失表示： 同样，上式对于层流、湍流均适用。 对于层流 4、功率损失 流体功率： P = pq 功率损失：P = pq = ghl q

§5-3 圆管中的湍流 一、湍流运动参数的脉动现象及其时均化 —— 时均速度 —— 时均压强 二、过流断面上的速度分布 湍流的脉动性，流体质点相互混杂、碰撞，造成动量交换，使得过流断面上的时均速度趋于均匀化。

v = ( 0.8 ~ 0.9 ) vmax 因而湍流时： = 1 ， = 1 图中： 粘性底层（层流边界层）——管中湍流时，靠近管壁以很大的速度梯度作层流运动的流体薄层。  —— 粘性底层的厚度  —— 管壁绝对粗糙度(管壁凹凸差值的平均值)。

若    称为水力光滑管（ 淹没  ） 若    称为水力粗糙管（  突出在  之外） 湍流属于“水力光滑管”或“水力粗糙管”取决于 Re（影响  的大小）和  。

三、湍流的沿程阻力系数  = ( Re, /d ) 在工程设计计算中，圆管湍流求取  的方法有以下两种： 1、查莫迪（Moody）图 （根据雷诺数Re和管壁相对粗糙度 /d ） 2、按经验公式求取（根据不同的Re和/d值， 判断流动阻力区域后，选用适用的经验公式） 〈1〉临界区 2320  Re  4000  = 0.0025Re1/3



〈2〉光滑管湍流区 〈3〉过渡区 过渡区的  既与 Re 又与 /d 有关。 由柯列布茹克公式可绘制出莫迪图。

〈4〉粗糙管湍流区 光滑管湍流区：  = ( Re ) 粗糙管湍流区：  = ( /d ) 过渡区：  = ( Re, /d )  近似于

§5-5 管道中的局部阻力 局部阻力造成局部能量损失的原因： 1、局部装置（障碍）处存在流动旋涡区； 2、局部装置处存在速度重新分布 (大小，方向) 。 局部压强损失 局部水头损失 式中：  — 局部阻力系数（不同局部装置的 值由实验确定）。 v 一般用局部装置（即局部损失）后的速度值。

管流中的总能量（压强，水头）损失 —— 总压强损失 —— 总水头损失

例题：试推导流道突然扩大处的局部阻力系数  。 解：根据伯努利方程写出 局部能量（水头）损 失 h 的表达式。 取突扩前断面1—1和突扩 附壁后断面2—2列出伯努利方程： 注意到：（1）hl 可略去不计，（2）湍流时 = 1

可写出： 对照局部损失计算式： 需将压强势能项以动能形式表示。 取控制体列出流动方向的动量方程：

则： 代入 h 的表达式：

由连续方程知： 所以： 则：

例题：沿直径 d = 200 mm，长 l = 3000 m 的无缝 钢管（ = 0.2 mm）输送密度  = 900 kg/m3 的石油。已知流量 q = 27.810-3 m3/s，石油 的运动粘度在冬天 W = 1.092 10-4 m2/s ， 在夏天 s = 0.355 10-4 m2/s。 试求沿程能量（水头）损失 hl 。 解： 先求出流速，然后判断流态，计算，再求出 沿程水头损失。

因两季的  不同，则 Re 不同，可能流态不同， 计算  的方法亦不同。 冬季： 流动处于层流状态， 故：

夏季： 为湍流状态。 判断流动阻力区域：

且: 2320 < Re < 105 故： 或根据  / d 和 Re 查莫迪图：  0.038 代入达西公式得： hl  22.5 m

例题：离心泵从吸水池抽水。已知抽水量 q = 5.56 l/s 泵的安装高度 H = 5 m，吸水管直径 d = 100 mm 吸水管路的水头损失 hf = 0.25 m 水柱。 试求：离心泵进口断面 2—2 处的真空度 pV 。 解：用伯努利方程求解。 选吸水池水面为 1—1 断面，且作为基准面， 离心泵进口断面为 2—2 断面，列出伯努利方程：

上式中： 则：

变形：若已知最大真空度 pV ， 求离心泵安装位置距 水面的最大高度 Hmax ，且 hf 为待求。 则上式中的 其中  求法： Re  流态 ?   的计算式。

小 结 实际流体与理想流体的不同之处在于实际流体具有 粘性，这在实际流体的伯努利方程中表现为能量（水头） 损失。 本章讲述管中流动的两种形态——层流和湍流；能 量（水头）损失的两种形式——沿程能量（水头）损失 和局部能量（水头）损失及其计算。 本章学习要求： 掌握两种流态和雷诺数的概念及流态的判别方法； 了解圆管层流及湍流的运动规律、速度分布； 掌握管路沿程压强（水头）损失（特别是）和局部 压强（水头）损失的计算方法。

第六章 孔口出流 孔口出流的分类 孔口形式按结构不同 薄壁孔口 厚壁孔口 细长小孔 出流形式按孔口（出流）的下游情况分为： 第六章 孔口出流 孔口出流的分类 孔口形式按结构不同 薄壁孔口 厚壁孔口 细长小孔 出流形式按孔口（出流）的下游情况分为： 1、自由出流——出流直接流入大气。 2、淹没出流——出流后流入另一充满液体的容器 （空间）。

§6-1 薄壁孔口出流（淹没） 一、结构特征 孔口边缘尖锐 二、出流特征 出流后形成收缩断面 —— 断面收缩系数 出流过程只有因流体的收缩和扩散造成的局部能量损失。

由连续方程知：v1 = v2 ，且若Ac << A2 (即 d << D) 则： 三、孔口流量公式 对11和22断面列伯努利方程 突扩 突缩  h 由连续方程知：v1 = v2 ，且若Ac << A2 (即 d << D) 则：

令 —— 孔口的进、出口压强差 则： 式中： —— 流速系数 薄壁孔口出流的流量： 式中：Cq = CcCv —— 流量系数

四、孔口出流系数 考虑出流能量损失的收缩断面实际平均流速与未考虑能量损失的理想平均流速之比。 Cv , Cq 一般均由实验求得，再计算求出Cc。 当 (1) D/d  7（小孔口） (2) Re  105 时 两系数基本保持不变： Cv = 0.97 ~ 0.98 Cq = 0.61 ~ 0.62

五、大孔口的出流 若孔口不满足 d « D. 称大孔口。 此时流量计算公式形式同小孔口一样。只是出流系数Cv、Cq等与小孔口不同。

§6 - 2 厚壁孔口的出流 结构和出流特征： 出流过程能量损失包括收缩，扩散及沿程损失。 流速及流量计算公式与薄壁孔口形式一样。只是相应的Cv与Cq不同。可查有关手册。

§6-3 孔口及机械中的气穴（空化）现象 一、气穴（空化）现象的物理实质 在某一温度下，流动液体中某点处的绝对压强下降到低于该液体在相应温度下的空气分离压时，液体中过饱和的溶解空气将突然迅速地分离出来，形成大量气泡混杂在液体中，使液流成为不连续状态。这种现象称为气穴现象。

二、气穴产生的部位 1、节流部位气穴 在孔口或阀口处液流形成高速射流，而造成该局部绝对压强下降，产生气穴。 2、泵入口处气穴 泵吸入不畅或泵吸入管过长，则其吸入管道中压降较大，此外泵安装过高，则泵入口处压强过低，而产生气穴。 泵前产生气穴的判断及防止措施可应用伯努利方程来讨论。

三、气穴造成的危害 1、使流动性能变差； 2、产生振动和噪声； 3、产生局部高温，使液体加速变质； 4、产生气蚀（空蚀），造成机件破坏。 四、减小气穴破坏的措施 合理设计流动管路，避免产生局部高速和低压。

第七章 缝隙流动 缝隙流动状态：由于缝隙的水力直径较小，油液 的粘度较大， 因而缝隙中的流动一般呈层流状态。 常见的缝隙结构： 平行平板缝隙 第七章 缝隙流动 缝隙流动状态：由于缝隙的水力直径较小，油液 的粘度较大， 因而缝隙中的流动一般呈层流状态。 常见的缝隙结构： 平行平板缝隙 圆环缝隙 平行壁面缝隙 倾斜平板缝隙 具有锥度的圆环缝隙 倾斜壁面缝隙

流体在缝隙中产生流动的原因： 1、由于缝隙两端存在压强差，液体在压强差 作用下产生流动。称为压差流。 2、由于构成缝隙的壁面之间具有相对运动， 粘性液体在剪切力的作用下产生流动。称 为剪切流。

§7-1 平行平板缝隙与同心环形缝隙 在求出缝隙中流速分布规律的基础上，讨论缝隙流量的计算，以便分析和找出减少泄漏的途径。 一、缝隙中的速度分布 考查平行平板缝隙中的一元、定常、平行流动。缝隙尺寸如图。B >>  , l >>  。并 建立如图坐标系。

从缝隙液流中取出宽度为一个单位，长度为 dy，厚度为 dz 的流体单元。 pdz + (  + d ) dy = ( p + dp )dz +  dy

整理得： 由切应力表达: 得： 代入得： 注意到 与 z 无关，则将上式对 z 积分两次 得：

由边界条件确定积分常数： 1、当 z = 0 时 vy = 0 得 C2 =0 2、当 z =  时 vy = ± v0 得: 将 C1 和 C2 代入得： 上式为平行平板缝隙断面上的流速分布规律，包括压差流和剪切流。分别呈二次抛物线和直线规律分布。

二、缝隙流量 1、压差流动（固定平行平板缝隙的流量）

注意到压强 p 沿方向 y 呈线性分布 即: 代入流量式有： 可见：压差流缝隙流量（泄漏量）与  3、⊿p 成 正比，与  成反比。

2、剪切流动 ⊿p = 0 剪切流量与 v0、 成正比。

3、压差 —— 剪切流动 4、同心圆环缝隙 以  d = B 代入流量公式即可。

第八章 气体的一元流动 §8−1 声速和马赫数（两个重要参数） 压缩性的大小常常以声速判断，压缩性效应的度量又往往用马赫数。 第八章 气体的一元流动 §8−1 声速和马赫数（两个重要参数） 压缩性的大小常常以声速判断，压缩性效应的度量又往往用马赫数。 一、声速 声速 —— 微小扰动在气体（介质）中的传播速度。以字母 c 表示。 1、微小扰动波的传播过程 微小扰动波的传播方向与流体质点的运动方向是一致的，但 c >> dv。

2、微小扰动波传播速度（即声速 c）的表达 式(声速公式) 对所取的两个断面和控制体分别列连续方程和动量方程： 由连续方程知： cAdt = (  + d )( c − dv )Adt 略去二阶微量可得： c d =  dv —— () 由动量方程得： pA −  p + dpA =  q c − dv  − c  = −  c A dv 整理得： A dp =  c A dv dp =  c dv ——— ()

由上述两()式消去dv 得： 则:       声速公式(方程式) 微小扰动波的传播过程是一个绝热、可逆的等熵过程: (常数) 或: 又由理想气体 状态方程： 微分上式得： 得： 代入声速公式得： 声速公式的又一种形式

综合以上声速公式的两种形式可以看出： (1) 流体密度对压强的变化率 d / dp 反映了流体的压缩性，亦反映了声速的大小，所以声速是反映流体压缩性大小的物理参数。 (2)声速与某气体的热力学温度 T 有关，所以声速也是空间坐标的函数，常把声速称为当地声速。 (3)声速与气体的绝热指数  及气体常数 R 有关。 空气中的声速为：

二、马赫数 1、马赫数的定义：气体流动速度 v 与其本身(该 介质中) 的声速 c 之比。 记为：Ma = v / c 马赫数反映了气体的可压缩性程度，是气体可压缩性效应的一个重要度量。 气体动力学依据马赫数对可压缩气体流动进行分类: Ma  1 即 v  c， 为亚声速流动； Ma  1 即 v  c， 为(跨)声速流动(兼有亚 声速区和超声速区)； Ma >1 即 v > c， 为超声速流动。

2、微小扰动在空气中的传播特征 扰动波的传播有如图所示的四种情况。 （1）扰动源 O 点静止不动，即： v = 0。 微小扰动波面是一个个不同半径的空间球面。 （2）扰动源以小于声速的速度向左作等速直线运 动，即：v  c， Ma  1 (亚声速)。 扰动将始终走在扰动源的前面。 （3）扰动源的运动速度等于声速，即： v = c Ma = 1 (跨声速)。 扰动源将与它所产生的扰动同时到达同一空间的任何位置。

v = 0 v  c， Ma  1 (亚声速)

v > c Ma > 1（超声速） v = c Ma = 1 （跨声速）

（4）扰动源以大于声速的速度运动， 即：v > c Ma > 1（超声速）。 扰动源将永远走在所产生的扰动之前。 马赫锥 —— 扰动波面形成的一个空间圆面。 马赫角 —— 马赫锥半顶角。 sin = c / v = 1 / Ma 在不可压缩流体中，由于声速接近无穷大，扰动将立刻传至各处，扰动源永远不会到达扰动波的前方。在可压缩流体中，当Ma≪1时，扰动的传播特征与不可压缩流体相近，因此，对于低速流体，可以按不可压缩流体来处理。

例题：飞机在距地面高度为H = 2000 m 的上空，以 v = 1836 km/h 的速度飞行，空气的温度为T = 15℃， 试求：从飞机飞过观察者正上方，到观察者听到飞 机声要多少时间？ 解：当地声速为： 马赫数为： 马赫角为：

观察者听到飞机声的时间为：

§8−2 一元气流的基本方程和流动特性 一、理想气体一元定常流动的基本方程 1、连续方程 对于一元定常流动，连续方程为： vA = 常数　 取对数得： 微分得： 可压缩流体一元定常流动的连续方程

2、伯努利方程 根据三个限制条件曾对欧拉运动微分方程（理想流体运动微分方程）化简后得： 忽略质量力(重力)，g = 0 得： 或

积分上式得： 对于做等熵流动的理想气体，有： （绝热方程式） 即 则：

代入得： 可压缩流体的 伯努利方程 或 由于 ① ② ③ 还可得如下不同形式的伯努利方程：

此式与不可压缩流体的伯努利方程的区别在于 项， 该项表示单位质量气体所具有的内能。 －－－－－（✶） 或 此式与不可压缩流体的伯努利方程的区别在于 项， 该项表示单位质量气体所具有的内能。 －－－－－（✶） 又由热力学第一定律，有下述四个基本关系式： ,

又可得三种形式的 “伯”方程： -------（✶） 而 故 -------（✶）

上述一组同等效用，多种形式的伯努利方程的物理意义：在一元定常等熵气体流动中，沿流束任意断面上，单位质量气体的机械能和内能之和保持不变。

二、气体速度与密度的关系 即： 由于 由上式可以看出： 1、加速气流 ，必然引起压强降低，气体膨胀，密度减小。反之 ，则压强增大。气体压缩，密度增加，即气流沿流线（动）做加速运动（降压气流）或减速运动（升压气流），实质上相当于气体的膨胀或压缩过程。气体的运动伴随着密度的变化。

无论是亚声速 和超声速 气流都具有上述特性。 2、 Ma 数不同时，速度变化率 和密度变化率 的关系不同： 时， 。即若为加速降压气流，密度的减小率小于流速的增加率，若为升压减速气流，密度的增加率小于流速的减小率。

时， 这种变化率关系的不同，将导致如下亚声速和超声速气流在速度与流道断面积关系上的本质差异。 三、 气流速度与流道断面积的关系 由连续性方程 得 此式即为流速变化率与断面积变化率的关系式。 以下讨论此关系式。

与 具有相反的符号，可见对于亚声速变截面流动，截面积增加时，流速减小，压强增加，变化规律符合不可压缩流体的流动规律。 1、 若 （亚声速流动） 与 具有相反的符号，可见对于亚声速变截面流动，截面积增加时，流速减小，压强增加，变化规律符合不可压缩流体的流动规律。 反之，亚声速气流做加速降压流动时，过流断面积一定是逐渐减小的。 欲使气流加速，则必须使用渐缩管道。

2、若 Ma >1（超声速流动） 当过流断面积增加时，在超声速流动的情况下，流速增加，压强降低；反之，超声速气流作减速升压流动时，过流断面积一定是逐渐减小的。 欲使气流加速，则必须采用渐扩管道。

dA < 0 dA > 0

3、Ma =1 （跨声速流动） dA= 0， 过流断面积 无变化。 将气流从亚声速向超声速转变，或者相反，用 单纯的收缩管或单纯的扩张管都是无法实现的。 采用拉瓦尔喷管可获得超声速气流。拉瓦尔喷管由收缩管段、喉部、及扩张管段组成。

§8−3 理想气体一元等熵流动的特征 分析气体一元等熵流动，找出流动断面间各参数间的关系。 以滞止状态和临界状态来说明这种特征。 一、滞止状态和滞止参数 滞止状态 —— 假定在一元等熵流动中，气体在某一断面处速度等熵地降为零，该断面的气流状态称为滞止状态。 滞止参数 —— 滞止状态下的运动参数称为滞止参数。

滞止参数以下标“0”标识，对应的压强、密度、温度、声速分别记为： 、 、 、 。 在滞止状态下，由能量方程可得气流某一断面的运动参数与滞止参数之间的关系如下： －－－－－ （✶）

流动参数与马赫数之间的关系： 由（✶）式两边同乘以 ，可得： 所以： 又由等熵关系：

故： 或 所以：

由上述三式可见：对于一元等熵流动，只要知道滞止参数和马赫数 Ma，则沿流束各断面上的温度、压强和密度等参数都是可求的。 二、 最大速度状态和最大速度 气体的全部能量转化为动能，压强为零，速度达到最大值 ，分别称为最大速度状态和最大速度。

由状态方程可见：因 此时 ， 即 ，且声速 由能量方程可知： 或者： 得：

三、临界状态和临界参数 临界断面 —— Ma =1的喉部断面 ( 此断面处 )。 临界状态——临界断面上的气流状态称为临界状态。 临界参数——临界断面上的气流参数称为临界参数。 临界参数以下标 “ ”标识，如 、 、 、 、 。

临界参数与滞止参数的关系： 由前述流动参数与马赫数的关系式可得： 当 Ma = 1 时，则有： 临界参数与滞止参数的关系只与绝热指数  有关。 滞止参数和临界参数都是描述可压缩流体的参数。

§8−4 收缩喷管与拉伐尔喷管的计算 导出收缩喷管与拉伐尔喷管的速度和流量的计算公式。 可由已知的喷管尺寸和压强计算速度和流量，反之，亦可由要求的喷管流量和压强设计喷管的型式和尺寸。 一、收缩喷管 二、拉伐尔喷管

例题: 大容积容器中的压缩空气，经一收缩喷管喷 出。喷管出口处的压强为 100 KPa（绝对）， 温度为 30C，流速为 250 m/s。 试求大容器中的压强和温度。 解：大容积容器中空气的速度近似为零，其流动参 数为滞止参数。 收缩喷管出口处的声速为：

收缩喷管出口处的马赫数为： 大容积容器中的压强： 大容积容器中的温度：

例题：滞止参数为 p0 = 8  105 Pa，T0 = 400 K 的过 热蒸汽（  =1.33，R = 462 J/kg·K ），经一 收缩喷管流出。要求喷管的最大质量流量达 到 1.5 kg/s 。试设计收缩喷管出口的直径d 。 解：当收缩喷管的质量流量达到最大值时，出口处 气流为临界状态。 因而：qm = * v* A

又由： 得： 则：

小 结 本章主要介绍气体动力学的基础知识和基本方程， 讨论了可压缩气体一元定常等熵流动中各种参数之间的 关系和变化规律。 小 结 本章主要介绍气体动力学的基础知识和基本方程， 讨论了可压缩气体一元定常等熵流动中各种参数之间的 关系和变化规律。 本章要求：1、掌握声速、马赫数的基本概念及表达式， 理解微小扰动波的传播过程和传播特征。 2、掌握一元定常气流的基本方程，了解气 流速度与密度的关系，理解变截面管流 中流动参数的变化规律。 3、了解一元等熵气流的两种特定状态及其 参数，掌握流动参数与马赫数的关系。

流体力学复习、总结 一、绪论 1、理解流体的连续介质模型概念 用假想的在空间连续分布的流体质点（流体微 团）来代替实际上由分子组成的流体结构：流体 是由无穷多个，无穷小的，彼此紧密相邻、连绵 不断的流体质点组成的连续介质。 因此流体质点具有各种宏观物理量，流体的 运动参数可看成是 空间坐标 和 时间变量 的连续 函数。

2、流体的主要物理性质 定常流动 密度 不可压缩流体 可压缩性：用体积模量 K 的大小衡量流体可压 缩性的大小。 一般认为液体是不可压缩的。

★ 粘性：粘性的定义， 牛顿内摩擦定律，粘性摩擦力是粘性的具体表现。 粘度的表示方法、单位。 粘温关系，气体与液体的不同。 理想流体的概念： = 0 或  = 0

二、流体静力学 重点讨论绝对静止 （平衡）的情况流体所 受的质量力只有重力。 1、作用在流体上的力 质量力：最常见的是重力 表面力：压力、 剪切（摩擦）力 以应力表示：压强 p 、 切应力  ， 平衡流体  = 0

有关力的方程： 欧拉平衡微分方程 欧拉运动微分方程 力 平 衡 方 程 动量方程 反映流体受到的合外力与其 动量变化的关系。 方向 2、静压强的概念及两个重要特性 大小 方向指向作用表面的内法线 大小与作用面的方向无关

3、流体的平衡微分方程 在静止（平衡）流体中取出一微小平行六 面体流体微团，分析其上的总压力与质量力的 平衡，得到以三个方向上的力平衡式表达的欧 拉平衡微分方程：

此三式两边分别乘以 dx、dy、dz 然后相加 得综合表达式（压强微分公式）： 对压强微分公式积分可得不同质量力作用 下的静止流体压强分布规律。 3、重力作用下流体平衡时的压强分布规律 应用欧拉平衡微分方程的综合表达式，在 fx  0 、 fy  0 、 fz   g 的条件下积分得到： 重力作用下不可压缩流体 的静压强基本公式

物理意义：重力作用下静止流体中任意点处的压强 势能与位置势能（压强水头与位置水 头）之和为一常数 （对照伯努利方程） ★ 静压强基本公式的另一种形式 ： （常用的静压强分布规律） 式中：p0 液面压强 p 距液面深度为 h 处的压强

4、压强的表示方法、单位 绝对压强、计示（相对）压强、真空度三者 之间的关系。 单位： 应力 N/m2 或 Pa、KPa、MPa 液柱高

★ 5、静止液体对固体壁面的总压力（作用力） 物体受到的大气压的合力为零，计算静止液体对 固体壁面的总压力时，只需考虑计示压强的作用。 （1）平面壁上的总压力 大小：F  ( p0 +  g hc ) A  pc A 式中： hc 形心处的液深 pc 形心处的压强 压力中心 D ：

（2）曲面壁上的作用力 水平分力：F x  ( p0 +  g hc ) Ax  pc Ax 式中： Ax 曲面A在x方向（yoz 坐标平 面）的投影面积。 hc Ax 形心处的液深 pc Ax 形心处的压强 垂直分力： Fz  p0 Az +  g V 压力体液重 注意压力体 V 的概念和取法

三、流体动力学基础 1、欧拉法 着眼于整个流场（流体空间）不同空间点处，不同瞬时的流体物理量的分布规律。 v、p、 等物理量均为（ x、y、z、t ）的函数。 —— 物理量的质点导数（全导数） 时变导数 位变导数

所有的运动参数 N 均 与时间变量无关。 定常流动： 不可压缩流体： 密度  既不随时间亦不随 空间坐标而变化。

2、研究流体运动的一些基本概念 包括：控制体、理想流体、定常流动、 一元流动、过流断面、流线、微小流束、 流量、断面平均流速等。 定义：某瞬时，光滑曲线，其上各质 点的速度向量均与其相切。 ★ 流线 性质：瞬时性 不能相交及突然转折

★ 3、连续方程 物理实质：质量守恒  常数时（不可压缩流体） 流入流量  流出流量 ★ 4、伯努利方程及其应用 （1）理想流体的运动微分方程 （欧拉运动微分方程） 由 得出，也是力平衡关系。 方程两边同除以 m 得到单位质量流体的力平衡关系。

其形式与平衡微分方程相比多了加速度项 （2）理想流体的伯努利方程 物理意义：运动流体各断面处的不同形式的能量 之间可以相互转换，但总能量为常数。 几何意义：总水头线为水平线。

（3）实际流体总流的伯努利方程 考虑粘性后与“理想”的区别： 项 过流断面上流速分布不均匀, 用 求动能时, 要用 修正. （4）伯努利方程的两种形式 沿流线的伯努利方程 用于求流线上某点 的 v、p 或 z ； 沿总流的伯努利方程 用于求过流断面上 的平均流速 v，及某点的压强 p 或位置高度 z 。

（5）方程中的压强 p 可以是绝对压强或相对压强。 （6）缓变流动 流线平行或曲率半径很大处 的流动。 特点：沿流线法向，位置水头 z 与压强水头 之和是一个常数。 两个过流断面须取在缓变流处，此时， 可在断面上任意一点处取值。 对于管流则常在管轴线上取值。 （7）有能量输入、输出的形式

★ 5、动量方程 常用的投影（分量）形式： Fx = q（2v2x  1v1x） Fy = q（2v2y  1v1y） Fz = q（2v2z  1v1z） （1）应用动量方程时是取流体作为控制体，分析 其上的所有受力及过流断面上的动量交换 （即流出、流入的动量变化率）。 （2）控制面（过流断面）上的压强必须用计示压 强。

（3）建立适宜的坐标系，并写出动量方程的投影式。 注意把受力和流出、流入的动量向所选坐标方 向投影。 要求能应用上述三个基本方程（连续方程、伯 努利方程、动量方程）较熟练地分析和解决工程实 际问题。（有时需三个方程联立求解）

四、相似理论和量纲分析 1、力学相似的概念 实物流动、模型流动；对应点，对应物理量 大小成同一比例。 三个相似（几何、运动、动力） 对应三个基本比例尺 线性比例尺 l 速度比例尺 v 密度比例尺 其他物理量比例尺均可由上述三个基本比例 尺确定。

2、相似准则 力学相似 动力相似 力学相似准则 对于实际不可压缩流体定常流动，要满足： 佛劳德准则 雷诺准则 欧拉准则 各相似准数的表达式及物理意义。

3、近似相似法 完全相似（同时满足上述三个准则）是很 困难的，且会有矛盾。 佛劳德准则作为主要相似准则 （重力支配） 采用近似相似法 （分析主要矛盾） 雷诺准则作为决定性相似准则 （粘性力支配）

4、量纲分析的目的和理论依据 探求表达物理现象（过程）的物理方程的 形式，并以较少的无量纲数表达它。 量纲和谐性原理是量纲分析的依据：凡是 正确的物理方程其量纲关系必然和谐。 5、 定理 量纲分析广泛应用的方法：用（k + 1  3）个无量 纲的  项，描述（k + 1）个变量之间的函数关系。 三个基本物理量的选择是应用  定理进行量纲 分析的关键之一。

五、管中流动 ★ 1、流态与雷诺数 层流和湍流的特点。 用雷诺数 判断流态 对于圆管 2、圆管中过流断面上的速度分布 层流：

湍流（定性）：流速分布较层流均匀得多。 但存在速度梯度很大的层流底层，其厚度为 。  随 Re 而变。 水力光滑管：　 ＞  水力粗糙管：  ＜ 

★ 3、管流中的能量损失（水头损失）hf 沿程水头损失 hl （1）水头损失的两种类型 局部水头损失 hξ 均用速度水头（动能）表示

（2）沿程阻力系数 层流： 湍流：根据不同的雷诺数并由 判断流动区 域后选择相应的（半）经验公式计算。 或由 Re 和 查莫迪图确定 （3）局部阻力系数ξ查有关工程手册上的图表。 特别地对于流道突然 扩大的局部阻力系数

六、孔口出流 薄壁孔口 厚壁孔口 流量公式： 细长小孔： 理解利用孔口控制 流量 q 和 压强 p 的原理和方法。 气穴的概念 理解孔口处产生节流气穴的原因（高速、 低压能量转换造成）。 能用伯努利方程分析泵入口处产生气穴的 原因及防止措施。

七、缝隙流动 平行壁面缝隙 倾斜壁面缝隙 常见的缝隙结构 压差流 剪切流 造成缝隙流动的两种原因 平行壁面缝隙中的速度分布： 平行壁面缝隙流量公式： 理解影响缝隙泄漏量大小的因素。

八、气体的一元流动 讨论可压缩流体的一元定常流动。 1、声速和马赫数（气体动力学中的两个重要参数） ★ 声速的定义及声速公式 表明与 T 有关 表明可压缩性的大小 T 热力学温度（K）；  绝热指数 R 气体常数（J/ Kg.K）

★ 马赫数： 马赫角 超声速流动中被扰动与未被扰 动流体的分界面锥角。 依据 Ma（即 v 与 c 的关系）对可压缩流体的流动 分类： Ma < 1 ( v < c ) 亚声速流动 Ma > 1 ( v > c ) 超声速流动 Ma  1 ( v  c ) （跨）声速流动

2、理想气体一元定常流动的基本方程式 连续方程：  v A  常数 （计算流量） 由此式、声速公式及运动方程给出了流速与过流断面积的关系，即收缩管道及扩张管道的概念。

能量方程（伯努利方程）： 对运动方程积分 状态方程： 绝热方程：

★ 3、气流速度与流道断面积的关系 （变截面管道中的等熵流动） 可见：在收缩管道中（ dA < 0）, Ma < 1（亚声 速流）气体作加速运动； Ma > 1 （超声 速流）气体作减速运动。（同样可分析 扩张管道）

4、滯止参数和临界参数（一元等熵流动的特征） 滯止状态、参数和临界状态、参数的概念 ★ 气流中任一断面的运动参数与滯止参数的关系： 根据能量方程有：

或用马赫数表示： 临界参数与滯止参数的关系： 上述公式中，当 v = c 即 Ma =1 时，将任一断面参数以临界断面参数 T*、p*、* 代替即得。