第三章　非稳态热传导 3.1　非稳态导热的基本概念 3.2　零维问题的分析法－集中参数法 3.3　典型一维物体非稳态导热的分析解

１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集中参数法的基本原理及应用； ③ 一维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一定的时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

3 学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 温度达到某一值时所需时间 （管道运输、人体测温、蒸汽驱） 3 学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 温度达到某一值时所需时间 （管道运输、人体测温、蒸汽驱） 温度随时间的变化规律（温度分布、热应力） (2) 非稳态导热的导热微分方程式： 第三章 非稳态导热

3.1 非稳态导热的基本概念 3.1.1 非稳态导热过程及其特点 定义：物体的温度随时间而变化的导热过程。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f() 例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。

2 非稳态导热的分类 着重讨论瞬态非稳态导热。 周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化 2 非稳态导热的分类 周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡。 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值． 着重讨论瞬态非稳态导热。

非稳态导热区别于稳态导热特点： 在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的； 非稳态导热过程中 在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的； 不同位置间导热量的差别用于（或来自）该两个位置间内能随时间的变化。 对非稳态导热一般不能用热阻的方法来作问题的定量分析。

3 非稳态导热过程中复合壁的温度分布 1. 定性分析： 2. 热量传递过程： 例：一复合平壁，如图。 常物性，初温t0。 左侧突然置于高温t1中，右侧维持t0。 则温度变化如图所示。 2. 热量传递过程： 非正规状况阶段 正规状况阶段； 新的稳态

两个不同的阶段 依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为二个阶段。

非稳态导热热量传递过程 非正规状况阶段(右侧面不参与换热 )：在此阶段物体温度分布受 初始t0分布的影响较大。温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布。 　　　环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布控制的阶段。必须用无穷级数描述。

正规状况阶段(右侧面参与换热 )： 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物性的非稳态导热过程。 特点：环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。可以用初等函数描述。 二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的两个不同阶段，而周期性导热不存在。

4 导热量的变化 各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段Ⅰ：Φ1急剧减小，Φ2保持不变； 正规状况阶段Ⅱ： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。 4 导热量的变化 平板非稳态导热过程中两侧表面上导热量随时间的变化 Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段Ⅰ：Φ1急剧减小，Φ2保持不变； 正规状况阶段Ⅱ： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。

3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律 非稳态导热问题的求解实质： 三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形式统一表示为： 在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式。 三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形式统一表示为： 温度的拉普拉斯算子

初始条件的一般形式 简单特例 f(x,y,z)=t0 边界条件：着重讨论第三类边界条件

解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。

3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响 1.1）毕渥数的定义： 毕渥数属特征数（准则数）。 2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。

2.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响 在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。 已知：平板厚 、初温 、表面传热系数 h 、平板导热系数 ，将其突然置于温度为 的流体中冷却。 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：

图 3-4 Bi数对平板中温度分布的影响（p116）

（1） 这时，由于表面对流换热热阻 几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到 。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。

（2） 这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。

（3） 与 的数值比较接近 这时平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。 （3） 与 的数值比较接近 这时平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。 由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数。

3.2 零维问题的分析法－集中参数法 1.定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时， ，温度分布只与时间有关，即 ，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。

3.2.1 集中参数法温度场的分析解 一个集中参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中。 求物体温度随时间变化的依变关系 h, t A φc ΔΕ ρ, c, V, t0

建立数学模型－利用两种方法 根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交换的热流量φc 。

方法一 椐非稳态有内热源的导热微分方程： ∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的一元函数，与坐标x、y、z无关，即

φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即： 物体被冷却，∴φ应为负值 适用于本问题的导热微分方程式

方法二 当物体被冷却时（t >t）,由能量守恒可知 物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量 适用于本问题的导热微分方程式

初始条件 控制方程 方程式改写为：

积分     过余温度比 其中的指数： 傅立叶数 温度呈指数分布

应用集中参数法时，物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线

3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数 1、导热量计算 瞬态热流量：

导热体在时间 0－ 内传给流体的总热量： 当物体被加热时(t<t)，计算式相同。

2、时间常数 方程中指数的量纲： 即与 的量纲相同

上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称 为时间常数，也称弛豫时间，用 表示。

时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。 如果导热体的热容量（ cV ）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数 ( Vc / h A) 小

当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即τ=τc，则 θ/θ0 τ/τs 0.386 1 τ=4τc，时 工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态

3 物理意义 Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体，各点地温度就越接近周围介质的温度。 3 物理意义 无量纲热阻 无量纲时间 Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体，各点地温度就越接近周围介质的温度。 Fo物理意义：表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。

3.2.3 集中参数系统的适用范围 如何去判定一个任意的系统是集中参数系统 ？ 特征长度 特征长度的取值

无限大平板 对半径为R的无限长圆柱 对半径为R的 球 工程计算中，物体中各点过余温度的差别小于5% 是与物体几何形状有关的无量纲常数 对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的无限长圆柱 对半径为R的 球

对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将修正系数M取为1/3，即

【例】 将一个初始温度为20℃、直径为100mm的钢球投入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为h=50W/(m2·K)。已知钢球的密度为7790kg/m3，比热容为470J/(kg·K)，导热系数为43.2W/(m·K)。 试求钢球中心温度达到800℃所需要的时间。 【解】首先判断能否用集中参数法求解： 毕渥数为

可以用集中参数法求解。

作业： P152 3-5 3-6 3-10

第三章　非稳态热传导 §3.1　非稳态导热的基本概念 §3.2　零维问题的分析法－集总参数法 §3.3　典型一维物体非稳态导热的分析解

§3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解 3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解 3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化 §3.3　典型一维物体非稳态导热的分析解 3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解 3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化 3.3.3 非稳态导热正规状况阶段工程计算方法 3.3.4 分析解应用范围的推广

1、平板 厚度 2 的无限大平壁，、a为已知常数；=0时温度为 t0; 突然把两侧介质温度降低为 t并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。

导热微分方程： 初始条件： 边界条件： (第三类)

采用分离变量法求解： 与Fo数、Bi数及η有关

μn为超越方程的根： 可查表求部分Bi数下的μn值

傅里叶准则 Fo：称之为傅里叶准则或傅里叶数，表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能的对比关系，是给定系统的动态特征量。

2、圆柱 半径为R的一实心圆柱，、a为已知常数；初始温度为 t0;初始瞬间把两侧介质温度降低为 t并保持不变；圆柱表面与流体之间的表面传热系数h为常数。 与Fo数、Bi数及η有关 第一类贝塞尔函数查表P572附录14

3、球 半径为R的一实心球，、a为已知常数；初始温度为 t0;初始瞬间把两侧介质温度降低为 t并保持不变；圆柱表面与流体之间的表面传热系数h为常数。 与Fo数、Bi数及η有关

平板、圆柱与球中的无量纲过余温度与Fo数、Bi数及无量纲距离η有关。

1、非稳态导热正规状况的物理概念和数学含义 3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化 1、非稳态导热正规状况的物理概念和数学含义 物理概念：非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失，温度分布主要取决与边界条件的影响，非稳态导热的这一阶段称为正规状况阶段。 数学含义：取无穷级数第一项。

以平板为例进行说明 特征值μn是Bi数的函数。在一定的Bi下，特征值μn随n的增加而迅速增长。当Bi＝1时，μn的前4个值： 无穷级数第一项后各项随Fo数的增大而迅速减小。 数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于1%。

以平板为例进行分析 与时间无关， 只取决于边界条件 平板中心处过余温度

2、正规状况三个分析解的简化表达式

3、一段时间间隔内所传导的热量计算式 平板从初始时刻到热平衡所传递的热量 非稳态导热所能传递的最大热量 若令Q为 内所传递热量 平均过余温度

热量计算式

三种几何形状物体的正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一为：

3.3.3 正规热状况的实用计算方法 当Fo>0.2时，可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量，也可采用简化的拟合公式和诺模图求得。

对上述公式中的A，B，μ1，J0 可用下式拟合 1、近似拟合公式 对上述公式中的A，B，μ1，J0 可用下式拟合 式中常数a，b ,c ,d 见P128表3-2 教材错误！ 常数见表3-3

2、图线法 诺模图：工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。 海斯勒图：诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图。

诺谟图 以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可 三个变量，因此，需要分开来画

三个变量，需分来画 为平板中心的过余温度

P130图3-8

P129图3-7

定义无量纲的热量 其中Qτ为0时间内传导的热量（内热能的改变量） 为至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量）

P130图3-9

如何利用线算图 a）对于由时间求温度的步骤为，计算Bi数、Fo数和x/δ ，从图3-7中查找θm/ θ0 和从图3-8中查找θ /θm ，计算出 ，最后求出温度t。 b) 对于由温度求时间步骤为，计算Bi数、 x/δ和θ / θ0 ,从图3-8中查找θ/θm, ，计算θm/θ0然后从图3-7中查找Fo,再求出时间 。 c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算Q0、Bi数、Fo数之后，从图3-9中Q/Q0查找，再计算出

线算图法评述 优点：简洁方便。 缺点：准确度有限，误差较大。 目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视。

解的应用范围 教材中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2

无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析 1.无限长圆柱 式中r0 为无限长圆柱体的半径 类似有 ： 和 t t∞ h t0 r 式中r0 为无限长圆柱体的半径 类似有 ： 和 P573附录16

球体处理方法与无限大圆柱体完全相同，相应的线算图示于P575附录17之中。 2.球体 球体处理方法与无限大圆柱体完全相同，相应的线算图示于P575附录17之中。 这里要注意的是特征尺寸R为球体的半径，r为球体的径向方向。 t t∞ α r t0

对分析解的讨论 1. Fo准则对温度分布的影响 θ m/θ0随F0增大而减小。

2. Bi准则对温度分布的影响 Bi （Bi=h / ）表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系 。 当 Bi 时，意味着表面传热系数 h  ，对流换热热阻趋于0。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度 t 。

当Bi0时，意味着物体的热导率很大、导热热阻 0（Bi= h/ ）。物体内的温度分布趋于均匀一致。 可用集总参数法求解.

非稳态导热求解方法 求解非稳态导热问题的一般步骤： 1、先校核Bi是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考虑集总参数法；若性质属于h或δ未知，可先假设，然后校核； 2、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟图或近似公式； 3、若上述方法都不行则采用数值解。 4、确定温度分布、加热或冷却时间、热量。

【例】一块被烧至高温(超过400℃)的红砖，迅速投入一桶冷水中，红砖自行破裂，而铁块则不会出现此现象。试解释其原因。 答：红砖的导热系数小，以致Bi较大，即在非稳态导热现象中，内部热阻较大，当一块被烧至高温的红砖被迅速投入一桶冷水中后，其内部温差较大，从而产生较大的热应力，则红砖会自行破裂。

【例】一块厚200mm的大钢板，钢材的密度为ρ=7790kg/m3，比热容cp=170J/(kg·K)，导热系数为43 【例】一块厚200mm的大钢板，钢材的密度为ρ=7790kg/m3，比热容cp=170J/(kg·K)，导热系数为43.2W/(m·K)，钢板的初始温度为20℃，放入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为 h=300W/(m2·K)。试求加热40分钟时钢板的中心温度。 解：根据题意，δ=100mm = 0.1m。 毕渥数为

钢材的热扩散率为 傅里叶数为 查图可得

思考题： １非稳态导热的分类及各类型的特点。 ２Bi 准则数, Fo准则数的定义及物理意义。 ３Bi0 和Bi  各代表什么样的换热条件? ４集总参数法的物理意义及应用条件。 ５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方 　法。时间常数的定义及物理意义. ６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特 　点。 ７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。 ８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的 　概念如何应用在实际工程问题中。 第三章 非稳态导热 86

８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况阶段的换热问题? ９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热问题? 10半无限大平板非稳态导热的计算方法。 第三章 非稳态导热 87