第四节 对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、路西定理 四、小结与思考.

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一、问题提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、 微分的求解 六、 微分的应用 七、 小结.
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第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个方程所确定的隐函数 及其导数 隐函数的微分法.
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§5 微分. 一 问题的提出 1 面积问题 设有一边长为 的正方形 2 自由落体问题 二 微分的定义 1 定义.
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第二章 导数与微分 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
第二章 导数与微分. 二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分.
第二节 换元积分法 一、第一类换元积分 法(凑微分法) 二、第二类换元积分法. 问题 解决方法 利用复合函数,设置中间变量. 过程令 一、第一类换元积分法(凑微分法)
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2.3 函数的微分. 四川财经职业学院 课前复习 高阶导数的定义和计算方法。 作业解析:
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第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性
第三节 函数的求导法则 一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结.
第六章 微分中值定理及其应用.
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第四节 对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、路西定理 四、小结与思考

一、对数留数 1. 定义 具有下列形式的积分: 1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 说明: 在C内孤立奇点处的留数的代数和; 的奇点.

2. 定理一 其中, N为 f(z)在C 内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数. 且C取正向. 注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.

由以上所述和留数定理,得 [证毕]

二、辐角原理 1. 对数留数的几何意义 . 不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原 点若干圈.

等于零 单值函数

结论: 对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k (k总为整数)

由定理一及对数留数的几何意义得 可计算f(z)在C内零点的个数 此结果称为辐角原理

2.定理二 (辐角原理) 如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在 C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于 乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.

三、路西定理 定理三(路西定理) 说明: 利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 .

证 在C内部解析

[证毕]

例1 试证方程 证

在圆内的零点数也为n 在圆内的零点数为n

例2 对数留数. 解 所以这些零点是二级零点, 从而是 f(z) 的二级极点.

所以由对数留数公式得

四、小结与思考 通过本课的学习, 应熟悉对数留数及其与函 数的零点及极点的关系; 了解辐角原理与路西定 理.

思考题

思考题答案 只有一个根. 放映结束,按Esc退出.